Задача 40. Первое задание данной задачи — продолжение работы, начатой на листе определений. Поэтому ребятам помогут те же рассуждения, которые приведены на с. 27 — 28 учебника. Начинаем со следующей нераскрашенной позиции — позиции 9. Возможные ходы игры — 1, 3 и 4, следовательно, из позиции 9 могут получиться позиции 8, 6 и 5. Все они выигрышные, значит, позиция 9 проигрышная. Если кто-то из ребят испытывает трудности, поработайте вместе над позицией 9, используя наводящие вопросы: «Какие ходы может сделать игрок?», «Какие позиции могут получиться из позиции 9 в результате одного хода?», «Какими являются эти позиции (есть ли среди них проигрышные)?», «Какой (выигрышной или проигрышной) является позиция 9?».
Далее ребята продолжают раскрашивать числовую линейку самостоятельно до позиции 15:
Теперь, пользуясь раскрашенной числовой линейкой, учащиеся отвечают на вопросы, подводящие к пониманию поведения игроков в разумной партии. Как говорилось на листе определений, в разумной партии игрок всегда старается оставить противнику проигрышную позицию. Здесь же требуется подобрать такие ходы, которые могут быть в разумной партии.
Наконец, ребята должны составить разумную партию целиком. Мы уже обращали ваше внимание, что разумный ход (оставляющий противнику проигрышную позицию) может сделать лишь игрок, находящийся в выигрышной позиции. Поскольку игру начинает Первый и находится при этом в выигрышной позиции 15, то он может сделать разумный ход: взять 1 камешек и оставить Второму проигрышную позицию 14. Теперь в результате любого хода Второй оставит Первому выигрышную позицию (13, 11, 10). Второй просто не может сделать позицию проигрышной, поэтому он может делать любой ход, например взять 3 камешка. Первый снова должен сделать разумный ход и оставить Второму проигрышную позицию 7 и т. д. Итак, в данном случае разумной партию делает только Первый, все позиции, которые он оставляет Второму, должны быть проигрышными. Например, разумной будет следующая партия:
15 — 14 — 11 — 7 — 3 — 0.
Задача 41. Данная задача аналогична задаче 40, и работать с ней ребятам предстоит по той же схеме. Вот раскрашенная числовая линейка:
Существенное отличие обнаруживается лишь при выполнении последнего задания — написания цепочки разумной партии. Действительно, начальная позиция 12 — проигрышная, значит, Первый в начальной позиции не сможет сделать разумного хода: в результате любого его хода Второй получает выигрышную позицию. Зато Второй, оказавшись в выигрышной позиции, может сделать разумный ход — оставить противнику проигрышную позицию и поступать таким образом до конца партии, которая в этом случае закончится его победой. Вот одна из возможных разумных партий:
12 — 11 — 9 — 7 — 6 — 5 — 3 — 1 — 0.
Задача 42. Необязательная. Эта задача помечена как необязательная, хотя её первое задание ничем не сложнее обязательной задачи 40. Вот раскрашенная числовая линейка, которая должна появиться у ребят:
Однако ответ на вопрос потребует от ребят дополнительных размышлений и даже некоторого забегания вперёд — подобные вопросы мы будем обсуждать со всеми детьми позднее. Из материала листа определений и решения задачи 40 становится ясно, что игрок, находящийся в выигрышной позиции, может (делая до конца партии только разумные ходы) выиграть. Однако если он не будет делать разумные ходы, то может и проиграть. Обратите внимание, что в вопросе речь идёт не о разумной партии, а вообще о любой партии.
Проведя несколько партий в камешки по данным правилам (начальная позиция 11, разрешается брать 1 или 3 камешка), ребята могут убедиться в том, что выигрывает действительно всегда только Первый. Почему? Анализируя раскрашенную линейку, можно заметить, что Первый вынужден играть разумно, т. е. он при любом своём ходе оставляет Второму только проигрышные позиции. Это легко проверить, моделируя различные партии на раскрашенной числовой линейке.
Ещё проще можно объяснить исход игры, используя чётность и нечётность позиций. Действительно, при начальной позиции 11 (нечётное число) все возможные позиции после хода Первого — чётные числа (ведь разрешается брать только 1 или 3 камешка). А после хода Второго остаются всегда только нечётные числа. Поэтому позиция 0 может получиться только после хода Первого (0 — чётное число), а после хода Второго позиция 0 получиться не может.
Задача 43. Необязательная. Если у кого-то из ребят возникли трудности с решением, попробуйте с помощью вопросов навести его на мысли о связи длины ползунка (чётности или нечётности числа его звеньев) и выигрыша определённого игрока (см. комментарии к задачам 27, 28, 37). Посоветуйте ребятам сначала работать на черновике (на запасных полях 4 × 3 на листах вырезания), а уже потом нарисовать соответствующие позиции в рабочей тетради. Лучше, если ходы Первого и Второго ребята будут, как обычно, раскрашивать двумя разными цветами, так им проще будет увидеть победителя, а вам будет проще проверить правильность ответа.
Задача 44. Необязательная. Скорее всего, дети воспользуются методом проб и ошибок или методом перебора. Проще всего узнать первую команду в первой конструкции повторения, так как команда «вправо» — это единственная команда, которую может выполнить Робик из начального положения, не выходя за пределы закрашенной фигуры. Вторую команду можно определить перебором. Действительно, команду «вниз» Робик выполнить не может (тогда он выйдет за пределы поля), команду «вправо» — может, но тогда Робик не сможет повторить команды внутреннего цикла даже дважды. Остаются две возможные команды — «влево» и «вверх», которые надо рассмотреть подробнее. Выбрав команду «вверх», подберём число повторений (здесь возможны два варианта — 2 и 3). Сравнивая на каждом этапе результат выполнения конструкции с клетками, закрашенными в задании, постепенно находим правильный ответ. Закончить решение задачи, конечно, необходимо проверкой — выполнением написанной программы на таком же поле (можно использовать поля на листе вырезания).
Ответ:
ПОВТОРИТЬ 3 РАЗА
вправо
вверх
КОНЕЦ
ПОВТОРИТЬ 3 РАЗА
влево
КОНЕЦ
ПОВТОРИТЬ 3 РАЗА
вниз
вправо
КОНЕЦ
Задача 45. Данная задача — обобщённый и сокращённый вариант задач 40 и 41, но уже не содержащий подсказок. Вот раскрашенная числовая линейка:
Здесь не указано, кто должен победить в разумной партии. Учащийся должен понять это сам, анализируя выигрышные и проигрышные позиции на числовой линейке. В данном случае начальная позиция 15 — выигрышная, поэтому разумность партии зависит от Первого, который должен в результате каждого своего хода оставлять Второму проигрышную позицию. Ходы Второго могут быть любыми. Если задачи 40 и 41 ребята решили легко, данную задачу можно использовать для промежуточного контроля. Здесь можно проверить, научились ли ребята самостоятельно раскрашивать числовую линейку и понимают ли они отличие разумной партии от других. Ниже приведена одна из возможных разумных партий:
15 — 12 — 9 — 8 — 6 — 4 — 2 — 0.
Задача 46. В ходе решения этой задачи ребята повторяют понятие уровней дерева. Однако самым сложным здесь оказывается обеспечить истинность утверждения в рамке, потому что бусины из мешков A, B, C, D можно просто нарисовать сразу на соответствующих уровнях.
Как же соединить эти бусины в дерево, чтобы в нём не было двух одинаковых путей? В данной задаче ситуация осложняется тем, что на каждом уровне есть несколько одинаковых бусин. В ходе проб и ошибок ребята могут заметить, что никакая бусина третьего уровня не может иметь две (или более) следующие, поскольку в этом случае в дереве сразу появятся одинаковые пути, потому что все бусины четвёртого уровня — одинаковые. Следовательно, каждая бусина третьего уровня должна иметь не более одной следующей. Из этого следует, что ровно одна бусина третьего уровня является листом. Лучше сделать листом жёлтую круглую бусину, чтобы уменьшить число одинаковых бусин, которые будут входить в пути длины 4. Соединим оставшиеся бусины третьего и четвёртого уровней. Теперь у нас появились два одинаковых конца пути (желтая круглая — зелёная круглая). Учитывая то, что первые бусины этих путей будут также одинаковыми (потому что все бусины первого уровня одинаковые), мы можем поправить дело только за счёт бусин второго уровня — взять в эти пути разные бусины второго уровня (красную квадратную и синюю треугольную). Правильный ответ в этой задаче не единственный, мы приводим лишь один вариант дерева Х:
Задача 47. Здесь при построении каждой цепочки требуется соблюдение двух условий: ползунок должен проходить через заданный отрезок, выиграть должен определённый игрок. Первое условие соблюсти достаточно легко — надо просто пристраивать ходы к заданному отрезку. Что касается второго условия, здесь могут помочь некоторые соображения, касающиеся связи между выигрышем определённого игрока и чётностью или нечётностью числа звеньев ползунка. Ясно, что, если число звеньев ползунка чётное, выиграет Второй, если нечётное — Первый. Кроме того, число звеньев ползунка связано с числом точек на поле, через которое он прошёл: ползунок из нечётного числа звеньев проходит через чётное число точек, и наоборот. Таким образом, чтобы выиграл Второй, нужно, чтобы ползунок прошёл через все 9 точек поля, а чтобы победу одержал Первый — через 8 или 6 (других вариантов на данном поле не может быть). Если кто-то из ребят будет строить ползунок наугад и запутается, натолкните его на подобные соображения. Ниже мы приводим два примера цепочки К и один пример цепочки Л.
Задача 48. Необязательная. В курсе 2 класса с такими задачами ребята уже встречались. Сложности здесь могут быть связаны с логической структурой условия. В частности, нужно понимать, что любое слово из мешка должно находиться в словарике, но в словарике есть и лишние слова, которые для решения не пригодятся. Каждая заготовка в мешке однозначно определяет слово, которое должно быть в неё помещено. Например, в словарике есть лишь одно слово из четырёх букв (ГУСЬ), именно его нужно вписать в заготовку из четырёх окон в мешке. То же относится и к другим словам, в том числе содержащим дефис. Так, в словарике есть лишь 2 слова, составленные из двух слов, которые пишутся через дефис, в первом из которых четыре буквы, а во втором — шесть. При этом лишь одно из этих слов заканчивается на букву К. Поэтому заготовка для первого слова в мешке определяет его однозначно (ОРЁЛ-КАРЛИК).
Уроки «Выигрышные стратегии в игре «камешки»
Работая с предыдущей темой, ребята анализировали в основном отдельные позиции игры «камешки» (и ходы, приводящие к ним). Теперь настало время проанализировать ход игры в целом. Перекидным мостиком между двумя этими темами является понятие разумной партии (и разумного хода). Мы уже выяснили, что в разумной партии каждый игрок должен стараться следовать общему правилу — всегда оставлять противнику проигрышную позицию. В ходе решения задач ребята могли заметить, что в одной партии игры «камешки» только один из игроков может следовать этому правилу — тот, кто первым сможет занять выигрышную позицию. Теперь мы будем говорить, что такой игрок имеет выигрышную стратегию. Если он будет следовать ей, а значит, делать только разумные ходы и оставлять противнику только проигрышные позиции, то выиграет при любой игре противника.
Итак, если игрок, имеющий выигрышную стратегию, будет следовать ей, то все возможные такие партии будут только разумными. Если начальная позиция выигрышная, то выигрышную стратегию имеет Первый, если проигрышная — Второй. Изложенное общее правило выигрыша — стараться оставлять противнику проигрышную позицию — в каждой игре «камешки» реализуется по-разному. Раскраска клеток числовой линейки определяет как игрока, обладающего выигрышной стратегией, так и его ходы (следование выигрышной стратегии). Правило выигрыша может быть сформулировано либо в виде последовательности ходов, которые должен делать игрок, либо в виде правила о том, какие позиции должен оставлять противнику данный игрок (если проигрышные позиции подчиняются некоей общей закономерности). В следующих задачах ребятам предстоит сформулировать выигрышные стратегии в виде правила.
Решение задач 49—62 из учебника
Задача 49. Изучая данный материал, ребята должны понять: выигрышная стратегия действительно помогает выиграть одному из игроков и нужно научиться ей следовать. Именно поэтому мы начинаем серию задач на эту тему с небольшого соревнования. Разрешённые ходы игры такие же, как на листе определений (1 и 2 камешка). Для следования выигрышной стратегии ребята используют раскрашенную числовую линейку с листа определений на с. 32, поэтому лучше посоветовать им не выбирать начальную позицию больше 10. Первое, что говорит о понимании ребятами материала листа определений: Первый выбирает в качестве начальной позиции выигрышную. В противном случае учащемуся надо посоветовать ещё раз прочитать материал листа определений. Второе условие правильного выполнения задания — все сыгранные партии должны быть разумными, т. е. в цепочке партии все позиции, получающиеся после ходов Первого, — проигрышные. Чтобы вам легче было проверить соблюдение этих двух условий, попросите ребят записывать на черновике цепочки всех сыгранных партий. Если в каждой партии Первый действительно следует выигрышной стратегии, то оба утверждения в рамках должны быть истинными. С теми парами учащихся, у которых так не получилось, можно порассуждать вместе. Эта задача является важным шагом при переходе от формального анализа отдельных позиций к содержательному анализу реальной игры.
Задача 50. В этой задаче проверяется понимание ребятами материала второй части листа определений — формулирования выигрышной стратегии в виде общего правила. Для начала стоит внимательно посмотреть на раскрашенную числовую линейку и выяснить, какой закономерности подчиняется размещение проигрышных позиций. Так, видно, что на линейке существует чёткое чередование позиций — проигрышная, две выигрышные, проигрышная, две выигрышные и т. д. Более того, все проигрышные позиции — числа, которые делятся на 3. Именно такие позиции должен оставлять противнику игрок, который первым сможет занять выигрышную позицию. В данном случае начальная позиция — число, которое делится на 3, это проигрышная позиция, значит, первым в выигрышной позиции окажется Второй и выигрышная стратегия имеется у него.
Задача 51. Здесь проверяется, может ли учащийся применить полученную в предыдущей задаче выигрышную стратегию для построения разумной партии игры. На предыдущем уроке ребята уже строили такие партии, но только с опорой на раскрашенную линейку. Здесь ребёнок может использовать начало такой линейки и правило выигрышной стратегии. Так, в данной задаче начальная позиция на 3 не делится, значит, она выигрышная и выигрышную стратегию имеет Первый. Первая ближайшая проигрышная позиция — 24 камешка, значит, первый ход Первый должен сделать именно в неё. Дальше Первый продолжает делать ходы только в проигрышные позиции: 21, 18, 15 и т. д.
Задача 52. На листе определений данная игра «камешки» (с ходами 1, 2 и 3 и любой начальной позицией) обсуждена исчерпывающе — сформулировано правило выигрышной стратегии, которое позволяет для любой начальной позиции определить обладателя выигрышной стратегии и научить его обыгрывать своего соперника. В частности, это правило позволяет легко раскрасить числовую линейку, ответить на вопросы и построить разумные партии. Тем не менее кто-то из ребят будет решать задачу так же, как на предыдущем уроке. Таких учеников не надо останавливать, для них это будет дополнительной возможностью повторить материал. Если вам важно, чтобы и эти дети в этой задаче использовали сформулированную на листе определений выигрышную стратегию, предложите им по окончании решения большие начальные позиции, для которых раскрасить числовую линейку будет затруднительно.
|
