Глава 5. Случайные величины
5.1. Понятие случайной величины
В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Выпадение некоторого значения случайной величины хi. это случайное событие: Х = хi. Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измерений температуры в конкретные моменты времени.
Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: запись показаний спидометра или измерений датчика температуры в течение конкретного интервала времени.
Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х – действительное число и получена случайная величина X, при этом (x>X). Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х будет меньше этого фиксированного значения х.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее значения х, то есть:
где х – произвольное действительное число.
Случайная величина (непрерывная или дискретная) имеет численные характеристики:
1. Математическое ожидание М (Х). Эту характеристику можно сравнивать со средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины Х.
2. Дисперсия D(X). Это характеристика отклонения случайной величины Х от математического ожидания.
3. Среднее квадратическое отклонение (Х) для дискретной и непрерывной случайной величины Х – это корень квадратный из ее дисперсии:
Далее рассматриваются отличия между дискретной и непрерывной случайными величинами.
5.2. Дискретная случайная величина
5.2.1. Закон распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим дискретную случайную величину на примере.
Пример 1.
Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной величиной Х. Возможные значения числа появлений герба: 0, 1, 2, 3. Следует найти вероятность появления герба в одном испытании.
Решение.
Вероятность появления герба в одном испытании равна p=1/2. Противоположное ему событие: герб не выпал, вероятность этого события по формуле (4.5) равна q=1-p=1/2.
1) Событие 1. «Три раза бросили монету и ни разу герб не выпал». Это сложное событие состоит из появления трёх совместных и независимых элементарных событий: «герб не выпал в одном испытании». Для события «три раза бросили и ни разу герб не выпал», которое обозначим Р(0), вероятность вычисляется по формуле умножения (4.6а) для независимых событий:
.
2) Событие 2. «Три раза бросили монету и один раз герб выпал». Это сложное событие состоит из появления одного из трёх несовместных и независимых событий: «герб выпал в одном из трёх совместных испытаний». Для события «три раза бросили монету и один раз герб выпал» вероятность будет состоять из суммы несовместных событий по формуле (4.2а), где каждое слагаемое вычисляется по формуле умножения (4.6а) для независимых событий:
.
3) Событие 3. «Три раза бросили и два раза выпал герб». Для этого события вероятность события будет состоять из суммы событий:
.
4) Событие 4. «Три раза бросили и все три раза выпал герб». Вероятность этого события совпадает с первым и вычисляется по формуле умножения (4.6а).
.
Здесь: p1, p2, p3 – вероятность выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
q1, q2, q3 – вероятность не выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
Результаты вычислений вынесены в таблицу 5.1.
Таблица 5.1
-
Событие Х
|
герб
не выпал
|
герб
выпал 1 раз
|
герб
выпал 2 раза
|
герб
выпал 3 раза
|
хi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
Вероятность события:
Р(хi)=рi
|
|
|
|
|
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между полученными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Его можно задать:
1) таблично (рядом распределения);
2) графически;
3) аналитически (в виде формулы).
В примере 1 закон распределения задан в виде ряда распределения (таблицей 5.1), где представлены все возможные значения хi и соответствующие им вероятности рi = Р (Х = хi). При этом вероятности рi удовлетворяют условию:
,
потому что:
,
где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (хi) откладываются по оси абсцисс, а вероятности (рi) – по оси ординат. Точки c координатами (хi, рi) соединяются ломаными линиями.
Функция F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
где суммирование ведется по всем значениям i, для которых хi х.
Пример 2.
Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.
Решение.
Если х 0, то F(х) = Р (Х х) = 0.
Если 0 х 1, то F(х) = Р (Х х) = 1/8.
Если 1 х 2, то F(х) = Р (Х х) = 1/8 + 3/8 = 0,5.
Если 2 х 3, то F(х) = Р (Х х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.
Если х 3, то F(х) = Р (Х х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
В таблицу 5.2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной величины х.
Таблица 5.2
№
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Хi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
>3
|
функция распределения F(х)
|
0
|
0,125
|
0,5
|
0,875
|
1
|
Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х переписаны из таблицы 5.1 в таблицу 5.3 в более компактной форме.
Таблица 5.3
№
|
1
|
2
|
3
|
4
|
хi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
Ряд распределения Р(хi)= рi
|
0,125
|
0,375
|
0,375
|
0,125
|
Многоугольник распределения вероятности представлен на рис. 5.1.
Рис. 5.1. Многоугольник распределения
Функция распределения вероятности представлена на рис.5.2.
Рис. 5.2. Функция распределения
5.2.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
1) Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х это сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:
|
М (Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.
|
(5.4)
|
Cвойства математического ожидания:
-
Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
-
Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
-
Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной. М (С) = С.
-
Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.
M(X+Y+...+W)=M(X)+M(Y)+...+M(W).
-
Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин. М(XY) = M(X) M(Y).
-
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X).
2) Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:
|
D(X) = M [X – M(X)]2.
|
(5.5)
|
Формула (5.5) после возведения в степень и преобразований имеет вид:
|
D(X) = M (X2) – [M(X)]2.
|
(5.6)
|
Свойства дисперсии:
-
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
-
Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D (С) = 0.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СX)=С2D(X).
-
Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y)=D(X)+D(Y).
3) Среднее квадратическое отклонение (Х) дискретной случайной величины Х определяется формулой (5.2). Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.
Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение =1.
Рассмотрим на примере вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин.
Пример 3.
Найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение (Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 5.4.
Таблица 5.4
Х
|
-5
|
2
|
3
|
4
|
р
|
0,4
|
0,3
|
0,1
|
0,2
|
Решение.
Математическое ожидание Х вычисляется по формуле (5.4):
M(X)=-50,4+20,3+30,1+40,2=-0,3.
Дисперсия вычисляется по формуле (5.6): D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2.
Закон распределения квадрата Х2 случайной величины задан в таблице 5.5.
Таблица 5.5
Х2
|
25
|
4
|
9
|
16
|
p
|
0,4
|
0,3
|
0,1
|
0,2
|
Математическое ожидание Х2:
М(Х2) = 250,4 + 40,3 + 9 0,1 + 160,2 = 15,3.
Искомая дисперсия:
D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21.
Тогда среднее квадратическое отклонение будет:
5.3. Непрерывная случайная величина
5.3.1. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Если рассматривать случайную величину Х, значения которой заполняют интервал [a,b] и составить перечень всех возможных её значений невозможно, то она называется непрерывной. В результате этого появилась необходимость дать общий способ задания любых типов случайных величин. Для этого вводится функция распределения вероятностей случайной величины (5.1). Функция распределения F(х) для непрерывной случайной величины имеет вид:
где: f(х) – функция плотности вероятности вычисляется по формуле:
Функцию распределения F(х) называют интегральным законом распределения, плотность вероятности f(х) называют дифференциальным законом распределения.
Cвойства функции распределения F(х):
Свойство 1. Значения функции распределения F(х) принадлежат отрезку [0, 1]: 0 F(х) 1.
Свойство 2. F(х) – неубывающая функция:
F (х2) F(х1), если х2 > х1.
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a X < b)=F(b)-F(a).
Свойство 3.Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b], то: F(x)=0 при x a; F(x) = 1 при x b.
Следствие 2. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то:
; .
Cвойства плотности вероятности f(х):
Свойство 1. Плотность вероятности не может быть отрицательной. f(х) 0.
Свойство 2.
Следствие. В частности, если значения случайной величины находятся в интервале [a, b], то вероятность попадания в заданный интервал
Функция распределения связана с плотностью формулой:
5.3.2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
-
Математическое ожидание
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х:
f(х) – плотность вероятности распределения случайной величины Х.
-
Дисперсия
Дисперсия непрерывной случайной величины Х:
-
Среднее квадратическое отклонение определяется формулой (5.2).
5.3.3. Равномерный и нормальный законы распределения непрерывных случайных величин
На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины называют законом распределения.
Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и соответствующие им числовые характеристики.
-
Равномерный закон распределения вероятностей
Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:
Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:
Числовые характеристики случайной величины X равномерно распределенной на интервале [a,b]:
1. Математическое ожидание по формуле (5.11):
.
2. Дисперсия по формуле (5.13):
.
3. Среднее квадратическое отклонение – (Х) по формуле (5.2):
Пример 4.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (2;6).
Решение.
Математическое ожидание:
.
Дисперсия:
.
Среднее квадратическое отклонение:
Это распределение реализуется, например, в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на интервале [a,b], при этом случайная величина X – абсцисса поставленной точки.
Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х на интервале [a,b], определяется по формуле (5.9а).
Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного прибора, проградуированной в некоторых единицах.
Пример 5.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит значение 0,04; б) меньше 0,04.
Решение.
Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения по формуле (5.14) равна:
,
где (b – a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х.
Вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей равна:
.
Тогда ошибка отсчета превысит значение 0,04, если она будет заключена в интервале (0,04; 0,2). По формуле (5.9а) вычисляется вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка превышающая значение 0,04:
.
Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 0,04) с вероятностью:
.
На рис. 5.3 представлен график функции р(х) случайной величины, равномерно распределенной на промежутке [a;b].
Рис. 5.3. Плотность распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [a;b]
-
Нормальный закон распределения вероятностей
Непрерывная случайная величина имеет нормальльное распределение с параметрами: m, > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид:
где: m – математическое ожидание, – среднеквадратическое отклонение.
Нормальное распределение называют еще гауссовским по имени немецкого математика Гаусса [1777-1855]. Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m,, обозначают так: N (m,), где: m=a=M[X];
Достаточно часто в формулах математическое ожидание обозначают через а. Если случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:
График плотности нормального распределения, который называют нормальной кривой или кривой Гаусса, изображен на рис.5.4.
Рис. 5.4. Плотность нормального распределения
Определение числовых характеристик случайной величины по её плотности рассматривается на примере.
Пример 6.
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:.
Определить вид распределения, найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Решение.
Сравнивая заданную плотность распределения с (5.16) можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с m =4. Следовательно, математическое ожидание M(X)=4, дисперсия D(X)=9.
Среднее квадратическое отклонение =3.
Функция Лапласа, имеющая вид:
связана с функцией нормального распределения (5.17), cоотношением:
F0(x) = Ф(х) + 0,5.
Функции Лапласа нечётная.
Ф(-x)=-Ф(x).
Значения функции Лапласа Ф(х) табулированы и берутся из таблицы по значению х (см. Приложение 1).
Нормальное распределение непрерывной случайной величины играет важную роль в теории вероятностей и при описании реальности, имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. На практике очень часто встречаются случайные величины, образующиеся именно в результате суммирования многих случайных слагаемых. В частности, анализ ошибок измерения показывает, что они являются суммой разного рода ошибок. Практика показывает, что распределение вероятностей ошибок измерения близко к нормальному закону.
С помощью функции Лапласа можно решать задачи вычисления вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения нормальной случайной величины.
5.3.4. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу, вычисляется по формуле (5.9а). Подставив в формулу (5.9а) значение плотности распределения из (5.16) для нормального распределения N(a, ) и сделав ряд преобразований, вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу [x1, x2], будет равна:
где а – математическое ожидание.
Пример 7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание a=60, среднеквадратическое отклонение =20. Найти вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30;90).
Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле (5.18).
Получим: P(30 < X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).
По таблице Приложения 1: Ф(1,5) = 0,4332.
P(30 < X < 90)=2 Ф(1,5) = 20,4332 = 0,8664.
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30; 90) равна: P(30
5.3.5. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины
Задачи вычисления вероятности отклонения нормальной случайной величины от заданного значения связаны с различного рода ошибками (измерения, взвешивания). Ошибки разного рода обозначаются переменной .
Пусть – отклонение нормально распределённой случайной величины Х по модулю. Требуется найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от математического ожидания не превысит заданного значения . Данная вероятность записывается в виде: P(|X-a|) ≤ .
Предполагается, что в формуле (5.18) отрезок [х1; х2] симметричен относительно математического ожидания –а. Таким образом: a–х1=; х2 –a =. Отсюда можно выразить границы отрезка [х1; х2] , которые будут иметь вид:
|
х1=а –; х2=а + .
|
(5.19)
|
В правую часть (5.18) подставляются значения х1, х2 из (5.19). Далее выражение в фигурных скобках левой части формулы (5.18) переписывается в виде двух неравенств:
1) х1 ≤ X и заменяется в нём х1 согласно (5.19), получится:
а– ≤ X или а–X ≤ .
2) X ≤ х2, аналогично заменяется х2 из (5.19), получится:
X ≤ а+ или X–a ≤ .
В результате этих замен формулу (5.18) можно переписать в виде:
|
P (|X–a| ≤ ) = 2Ф(/) = 2Ф(t),
|
(5.20)
|
где
Через функцию Лапласа выражается и функция нормального распределения в общем случае N(a, ):
Далее рассматриваются несколько примеров вычисления вероятности отклонения нормально распределённой случайной величины от своего математического ожидания.
Пример 8.
Производится измерение диаметра детали. Случайные ошибки измерения принимаются за случайную величину Х и подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а=0, со средним квадратическоим отклонение =1мм. Найти вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 2мм.
Решение.
Дано: =2, =1мм, а=0.
По формуле (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(/) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).
По таблице Приложения 1 можно найти: Ф (2,0)=0,4772.
Вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 1 мм равна:
P (|X| ≤ ) = 20,4772 = 0,9544.
Пример 9.
Случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а=50 и =15.
Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания – а будет меньше 5.
Решение.
По формуле (5.20) вычисляем вероятность отклонения случайной величины:
P(|X– 50| < 5) = 2Ф(5/15) = 2Ф(0,333) = 20,1293 = 0,2586.
Вероятность того, что отклонеиие случайной величина от своего математического ожидания будет меньше пяти, равна: P(|X–a|<5)=0,2586.
Пример 10.
Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания – а не больше, чем на 3.
Решение.
По условию задачи ≤ 3. С учетом (5.20) будем иметь:
,
где Ф(3) вычисляется по таблице функции Лапласа (Приложение 1):
Ф(3) 0.49865.
В итоге: P(|X-a| 3) = 2Ф(3) 0,9973.
5.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Случайная величина»
1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 1,4; b) 1,7; c) 1,1; d) 1.
2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 1; b) 1,4; c) 2,8; d) 2.
3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 0,5; b) 0,5; c) 5,5; d) 2,75.
4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 2,2; b) 1,0; c) 1,1; d) 2,0.
5. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 2,7; b) 1,35; c) 0,01; d) 1,5.
6. Формула
вычисления:
a) Математического ожидания; b)Дисперсии; c)Функции распределения; d) Плотности вероятности.
7. Формула
вычисления:
a) Функции распределения;
b) Дисперсии;
c) Плотности вероятности;
d) Математического ожидания.
8. Формула
вычисления:
a) Математического ожидания;
b) Дисперсии;
c) Плотности вероятности;
d) Функции распределения.
|
