Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии»




Скачать 197.26 Kb.
НазваниеМетодические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии»
Дата публикации06.06.2014
Размер197.26 Kb.
ТипМетодические указания
literature-edu.ru > Информатика > Методические указания
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Камская государственная инженерно-экономическая академия»

Основы расчётов в системе MATHCAD
Методические указания к лабораторным работам

по дисциплине «Компьютерные Технологии»

г. Набережные Челны

2007

УДК

Основы расчётов в системе MATHCAD: Методические указания к лабораторным работам – Набережные Челны: ИНЭКА, 2007, с.

Состтавители: ассистент Башмаков Д.А., ст. преподаватель Исрафилов Д.И.


Методические указания рассчитаны на студентов специальностей 15020665 "Машины и технология высокоэффективных процессов обработки", 26060165 «Машины и аппараты пищевых производств». Содержит пояснительную, справочную и расчетную части. Составлены в соответствии с программой курса "Компьютерные Технологии" с целью освоения студентами основ математического моделирования с использованием современных персональных компьютеров и математической системы MathCAD.


Ил.: 9. Библиогр. 7

Рецензент: к.т.н. доцент Сабиров И.С.


Камская государственная инженерно-экономическая академия, 2007
Лабораторная работа №1

«Символьные вычисления в MathCAD»

Цель работы

1. Ознакомиться с основными видами символьных (аналитических) вычислений, производимых в MathCAD.

2. Приобрести практические навыки выполнения символьных расчетов в MathCAD.
Задание

  1. Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.

  2. Произвести символьные вычисления в соответствии с вариантом задания (табл. 1).


Методические указания

Долгое время математические компьютерные программы (Eureka, Mercury, ранние версии MathCAD и MatLab) развивались как системы для численных расчетов. Однако в начале 90-х годов XX века быстрое развитие получили системы символьной математики (MathCAD, Maple, MatLab и др.). Им стали доступны такие интеллектуальные виды аналитических (символьных) вычислений, как нахождение пределов функций и их производных, вычисление определенных и неопределенных инте­гралов, разложение функций в ряд, подстановки, комбинирование и т.д. Результаты символьных вычис­лений представляются в аналитическом виде, т.е. в виде формул [1].

Для выполнения символьных расчетов в MathCAD используется меню символьных вычислений "Symbolics" или палитра "Символьные вычисления" (рис. 1).

Основным в данной палитре является оператор "Символический знак равенства" (кнопка →). Если при помощи него вместе знака "=" в выражениях использовать символ "→", то MathCAD будет производить аналитические вычисления, вместо численных. К таким операциям относятся, например, нахождение сумм рядов, производных, определенных и неопределенных интегралов, пределов функций (рис. 2).

Замечание. Если система не может выполнить символьное вычисление, то в качестве результата в этом случае выдается исходное выражение!



Рис.1. Меню символьных вычислений и палитра "Символьные вычисления"





Рис. 2 Примеры символьных вычислений





Рассмотрим на примерах ряд операторов палитры "Символьные вычисления" (рис. 1):

• simplify – упростить выражение, например



• expand - разложить по степеням какой-либо переменной, раскрыть выражение, например

(2х2 +5) (х + 1)(х3 - 6) expand,х →2х6 - 7х3 + 2х5 - 12х2 + 5x4 - 30х- 30

• factor - разложить выражение на множители (операция, обратная expand), например

2x6-7x3+2x5+5x4-30x-30 factor,x →(2x2+5)(x+1)(x3-6)

• coeffs – нахождение полиномиальных коэффициентов. Эта операция аналогична команде expand с той лишь разницей, что она возвращает коэффициенты результирующего полинома в виде вектора.

  • substitute – замена переменной в выражении (подстановка).

  • series – разложить функцию в ряд Тейлора по указанной переменной, например

y(x):=ex

y(x) series,x,4 →1+x+

В данном примере второй параметр, равный 4, определяет количество членов ряда, оставляемых при разложении.

• parfrac – разложить выражение на простые дроби, например



• solve – решить уравнение или неравенство относительно указанной переменной. Пусть, например, необходимо решить уравнение 2x2 + x -10 = 0. Для этого в MathCAD введем следующую формулу:




Однако многие уравнения подчас не имеют аналитического решения. В таких случаях приходится применять численные методы. В MathCAD для приближенного отыскания корня функции F(x) используется встроенная функция root(F(x), x), перед вызовом которой необходимо задать начальное приближение. На рис. 3 приведен пример нахождения корня функции F(x)= -64 + 25x -8x2 + 2x3. В нем сначала определяется функция F(x), затем задается начальное приближение x =1 и находится корень x1.





Рис. 3 Приближенное нахождение корня функции
Интегральные преобразования

MathCAD предоставляет пользователю возможность выполнять следующие виды инте-гральных преобразований:

  • fourier и invfourier – прямое и обратное преобразования Фурье;

  • laplace и invlaplace – прямое и обратное преобразования Лапласа;

  • ztrans и invztrans – прямое и обратное преобразования Z-преобразования. Например, преобразование Лапласа:



Символьные преобразования над матрицами

В палитре "Символьные вычисления" имеются следующие кнопки для выполнения символьных преобразований над матрицами:

– получение транспонированной матрицы;

– получение обратной матрицы;

– вычисление определителя квадратной матрицы.

Задания для самостоятельной работы

В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом три задания.

  1. Найти предел, производную, интеграл или сумму ряда, используя операции символьных вычислений MathCAD.

  2. Решить аналитически (при помощи символьной функции solve) уравнение в MathCAD. Построить график заданной функции. Для одного из найденных корней повторить процедуру, но уже численным способом (посредством функции root), выбрав в качестве начального приближения любую точку в окрестности этого корня.

  3. Для функции f (t) найти ее изображение, используя прямое преобразование Лапласа, а для функции F(s) найти ее оригинал при помощи обратного преобразования Лапласа.

Таблица 1

№ варианта

Задание 1

Задание 2

Задание 3

1





f(t)=sin(2t)cos t

2



x3+x2-x-1=0



3



cos x–ln x–0.125=0



4



x4-x3-5x2+2=0



5







6



-3x5+x4-2x2+x+1=0



7







8



x4-2x3+3x2-x+1=0



9







10



2x3+5x2-0.5x+15=0



11



sin x-ln x-0.5=0

f(t)=sin t∙sh t

12







13







14





=0




Лабораторная работа №2

«Численное решение дифференциальных уравнений и их систем в MathCAD»

Цель работы

  1. Научиться решать в MathCAD дифференциальные уравнения численным способом.

  2. Ознакомиться со способом численного решения систем дифференциальных уравнений в Math-
    CAD.


Задание

  1. Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.

  2. Решить в MathCAD дифференциальное уравнение и систему дифференциальных уравнений в соответствии с вариантом задания (табл. 2).


Методические указания

Численное решение дифференциального уравнения n-го порядка

any(n)+an-1y(n-1)+…+a1y′+a0y=f(x)

с начальными условиями

,



,

y(x0) = y0

на отрезке в MathCAD может быть найдено при помощи функции odesolve (x, xK, steps). Здесь

x - переменная дифференцирования;

xK - правая граница отрезка, на котором ищется решение;

steps -необязательный параметр, определяющий число шагов разбиения интервала [x0, xK] для нахождения ре­шения дифференциального уравнения.

Ввод дифференциального уравнения и начальных условий производится в блоке, начинающемся с директивы given ("дано").

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y ′′ + 2y + 3 y = sinx с начальными условиями y ′(0) = 1 и y(0) = 0 на отрезке .

Решение данного уравнения проиллюстрировано на рис. 4.



Рис. 4 Пример решения дифференциального уравнения
Замечания к решению дифференциального уравнения (рис. 4).

  1. Ввод знака равенства в дифференциальном уравнении и в начальных условиях производится при помощи кнопкипалитры "Сравнения и отношения".

  2. Знак производной ("штрих") вводится кнопкой клавиатуры. При этом, если необходимо ввести четвертую производную, то необходимо ввести четыре "штриха", пятую – пять "штрихов" и т.д.

Численное решение системы из n дифференциальных уравнений первого порядка



с начальными условиями



на отрезкев MathCAD может быть найдено при помощи функции rkfixed (y, x0, xK, n, F), которая возвращает полученную методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом таблицу решения системы. При этом начальные условия необходимо задать в виде вектора y, а правые части системы уравнений – в виде вектора F; n – число точек разбиения заданного интервала [x0,xK].

Например, пусть дана система дифференциальных уравнений



с начальными условиями



а параметр µ = -0,1. Требуется найти решение данной системы дифференциальных уравнений на интер­вале



Рис. 5 Решение системы дифференциальных уравнений
Решение данной задачи в MathCAD представлено на рис. 5.

Приближенное решение системы, получаемое данным методом, представляется табличной функцией, заданной в 100 точках (n = 0, 1, …, 99). При этом первый столбец матрицы решения Y соответствует x, второй – переменной y0, а третий – y1 (рис. 5).

Кроме функций решения дифференциальных уравнений odesolve и rkfixed, в MathCAD существует и ряд других, например, rkadapt и bulstoer.
Задания для самостоятельной работы

В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом два задания.

1. Найти численное решение дифференциального уравнения в MathCAD на интервале . Построить график решения.

2. Численно решить систему дифференциальных уравнений в MathCAD на интервале . Построить графики решения.

Таблица 2

№ варианта

Задание 1

Задание 2

1







2





3





4






5





6





7





8





9





10





11





12





13





14






Лабораторная работа №3 «Обработка данных в MathCAD»
Цель работы.

1. Изучить способы проведения интерполяции табличных данных в MathCAD.

2. Ознакомиться с функциями построения уравнений регрессии в MathCAD.
Задание.

1 Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.

2 Выполнить интерполяцию табличных данных и получить модель заданного вида с помощью регрессионного анализа в соответствии с вариантом задания (табл. 3).
Методические указания

Интерполяция

При проведении анализа различных физических явлений, технологических процессов результаты эксперимента обычно представляются в виде табличной зависимости функции y(x):



При этом число заданных точек этой зависимости ограничено.

Поэтому неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функции в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией или интерполяцией исходной зависимости, т.е. ее подменой какой-либо достаточно простой функцией [2]. В MathCAD имеются встроенные функции, обеспечивающие кусочно-линейную и сплайновую интерполяцию исходной табличной зависимости.

При кусочно-линейной интерполяции соседние узловые точки соединяются отрезками прямых, и дополнительные точки определяются по уравнениям этих прямых. Для проведения такого вида интерполяции используется функция linterp(VX, VY, x),

где VX и VY – векторы, задающие узловые точки исходной табличной зависимости,

x – аргумент результирующей интерполяционной функции.

Например, на рис. 6 исходная табличная зависимость y(x) задается векторами VX и VY (по 5 точек). Затем определяется, так называемая, интерполяционная функция f_i(x), которая позволяет для любого значения аргумента x определить искомую величину функции y. График этой функции представлен на рис. 6 (пунктир) вместе с узловыми точками (крестики). Из рис. 6 видно, что в узловых точках VXi значения функции f_i(x) совпадают с табличными VY.



Рис. 6 Проведение кусочно-линейной интерполяции в MathCAD

Как видно из рис. 6, результаты кусочно-линейной интерполяции при достаточно малом числе узловых точек получаются довольно грубыми. Поэтому в целях повышения точности целесообразнее использовать сплайновую интерполяцию, при которой исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были их первые и вторые производные.

Для выполнения сплайновой интерполяции в MathCAD имеются четыре встроенные функции. Три из них обеспечивают получение вектора вторых производных сплайн-функций при различных способах сплайновой интерполяции:

  • cspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

  • pspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;

  • lspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой.

Четвертая функция interp (VS, VX, VY, x) определяет для найденного ранее вектора вторых производных VS и заданной при помощи векторов VX и VY исходной табличной зависимости y(x) интерполяционную сплайновую функцию.

Таким образом, сплайновая интерполяция в MathCAD производится в два этапа. На первом этапе определяется вектор вторых производных VS при помощи одной из трех функций (cspline, pspline или lspline), а на втором – определяется интерполяционная зависимость посредством функции interp. Пример дан на рис. 7.


Рис. 7 Проведение сплайновой интерполяции в MathCAD
Как видно из сравнения графиков, представленных на рис. 6 и 7, сплайновая интерполяция дает более гладкий и точный график интерполяционной функции.

Регрессионный анализ

Широко распространенной задачей обработки данных является представление результатов эксперимента некоторой функцией y(x). Задача регрессионного анализа заключается в получении параметров этой функции, описывающей (аппроксимирующей) экспериментальные данные, заданные векторами VX и VY, с наименьшей среднеквадратической погрешностью (метод наименьших квадратов).

Довольно часто используется линейная регрессия, при которой аппроксимирующая функция y(x) имеет вид y(x)= a+bx , для определения коэффициентов которой в MathCAD служат следующие встроенные функции:

  • intercept(VX, VY) – возвращает значение параметра a (величины отрезка, отсекаемого линией регрессии на оси OY);

  • slope (VX, VY) – возвращает значение параметра b (тангенса угла наклона линии регрессии).

Пример дан на рис. 8.


Рис. 8 Линейная регрессия
В приведенном примере (рис. 8) рассчитан коэффициент корреляции (связи) двух множеств VX и VY с помощью функции corr. Чем ближе этот коэффициент к единице по модулю, тем точнее исходные табличные данные, определенные векторами VX и VY, описываются линейной зависимостью y(x)= a+bx.

Проведение полиномиальной регрессии, т.е. аппроксимации табличной зависимости полиномом n-й степени, выполняется посредством встроенной функции regress(VX, VY, n). Данная функция возвращает вектор, назовем его k, элементы которого, начиная с четвертого, представляют собой коэффициенты аппроксимирующего полинома Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn т.е.



Пример выполнения полиномиальной регрессии представлен на рис. 9.


Рис. 9 Полиномиальная регрессия
Замечание. Для нахождения корней полинома произвольной степени в MathCAD используется функция polyroots.

Кроме того, в MathCAD имеется ряд других функций для проведения регрессионного анализа [2], например, linfit, loess, genfit.

Задания для самостоятельной работы

В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом два задания (табл. 3).

  1. Выполнить в MathCAD заданного вида интерполяцию табличных данных y= f (x). Построить графики.

  2. Аппроксимировать таблично заданную зависимость y= f (x) указанной функцией с помощью регрессионного анализа. Построить графики.

Таблица 3

№ варианта

Исходные данные y=f(x)

Задание 1

(вид интерполяции)

Задание 2 (регрессионный анализ)

1

x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9]

y=[12.5 10 13.6 17.4 21.5 20.5 29.3 27.6 31.2]

Кусочно-линейная

Модель – полином 4-й степени

2

x=[5 10 15 20 25 30 35 40]

y=[99.1 50.6 23.5 20.1 45.7 51.1 76 110.1]

Сплайновая

Линейная модель

3

x=[0.5 0.7 1 1.1 1.5 1.8 1.9 2.2 2.3]

y=[14.5 10.1 9.6 5.5 3.6 0.5 -0.3 -7.6 -8]

Кусочно-линейная

Модель – полином 3-й степени

4

x=[0 3 4 5 7 8 11 14 17]

y=[-3 0 2 10 9 14 21 25 31]

Сплайновая

Модель – полином 2-й степени

5

x=[-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4]

y=[12 23 33 41 47 56 59]

Кусочно-линейная

Модель – полином 4-й степени

6

x=[3.7 5.1 6 7.2 8 8.3 8.9 9.4 9.6]

y=[14 16 12 12 10.3 9 7 8.9 5 1]

Сплайновая

Линейная модель

7

x=[1.3 1.5 2 3.4 6.1 7 9.3 10.2 11]

y=[120 115 100 99 81 72 64 55 48]

Кусочно-линейная

Модель – полином 3-й степени

8

x=[100 111 120 124 128 131 156 163 170]

y=[315 299 250 266  270 111 91 100 78]

Сплайновая

Модель – полином 2-й степени

9

x=[0.5 0.7 1 1.1 1.5 1.8 1.9 2.2 2.3]

y=[14.5 10.1 9.6 5.5 3.6 0.5 -0.3 -7.6 -8]

Кусочно-линейная

Модель – полином 4-й степени

10

x=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]

y=[99.1 50.6 23.5 20.1 45.7 51.1 76 110.1 156.1 176.2]

Сплайновая

Линейная модель

11

x=[0 3 4 5 7 8 11 14 17]

y=[-3 0 2 10 9 14 21 25 31]

Кусочно-линейная

Модель – полином 3-й степени

12

x=[1 2 3 4 5 6 7 8]

y=[12.5 10 13.6 17.4 21.5 20.5 29.3 27.6]

Сплайновая

Модель – полином 2-й степени

13

x=[2 4 6 8 10 12 14]

y=[1 1.5 1.2 3 4.1 7.2 5.5 3.4]

Кусочно-линейная

Модель – полином 4-й степени

14

x=[0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8]

y=[1 0.5 0.3 -0.2 0.1 0.6 0.3 -0.2 0]

Сплайновая

Линейная модель


Список литературы

  1. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. – М.: Нолидж, 2001. – 1296 c.

  2. Дьяконов В.П. MathCAD 2000: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 501 с.

  3. Дьяконов В.П. Справочник MathCAD PLUS 6.0. – М.: СК Пресс, 1997.

  4. MathCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. – М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1996.

  5. www.mathsoft.com – официальный сайт фирмы MathSoft Inc. – разработчика MathCAD.

  6. www.exponenta.ru – русскоязычный сайт, посвященный системам автоматизированных расчетов.

  7. Система MathCAD в инженерной практике: Лаб. работы / Сост.: А.Ю. Сенкевич, А.А. Чуриков: – Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. – 28 с.




Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconМетодические указания к лабораторным работам по дисциплине «Охрана труда»
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Охрана труда» для студентов всех специальностей. / Сост. В. И. Коробко....

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconМетодические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине...
Зрюмова, А. Г. Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Компьютерные технологии в приборостроении» /...

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconМетодические указания и задания к лабораторным работам по курсу «Протоколы компьютерных сетей»
Методические указания предназначены для усвоения теоретических основ и формирования практических навыков по курсу «Протоколы компьютерных...

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconМетодические указания и задания к лабораторным работам по курсам “
Дискретные структуры“, “Теория алгоритмов и вычислительных процессов“ (для студентов специальностей 050102 “Программное обеспечение...

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconМетодические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине...
Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по специальности 080507. 65«Менеджмент организации». В них предложены...

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconРабочая программа дисциплины информационный поиск и электронный документооборот...
Дисциплина является дисциплиной ядра направления, магистерских программ "Управление информационными системами и ресурсами" и "Микросистемные...

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconМетодические указания составлены в соответствии с рабочей программой...
Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconМетодические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Экономика»
Методические указания составлены на основе существующего государственного образовательного стандарта подготовки специалистов по циклу...

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconМетодические указания по контрольно-курсовой работе по дисциплине эксплуатацияэвми систем
Методические указания по ккр составлены доц каф ЭВМ лебеденко Ю. И. и обсуждены на заседании кафедры ЭВМ факультета кибернетики

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии» iconМетодические указания к выполнению курсовой работы для студентов...
Методические указания содержат перечень тем и примерные планы курсовых работ по дисциплине «Анализ хозяйственной деятельности», а...

Литература


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
literature-edu.ru
Поиск на сайте

Главная страница  Литература  Доклады  Рефераты  Курсовая работа  Лекции