Реферат к вступительному экзамену в аспирантуру по специальности 05. 13. 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ на тему: «Разработка численной модели распространения лазерного излучения в нелинейно-оптических средах»

Скачать 222.61 Kb.

Название	Реферат к вступительному экзамену в аспирантуру по специальности 05. 13. 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ на тему: «Разработка численной модели распространения лазерного излучения в нелинейно-оптических средах»
страница	2/5
Дата публикации	08.06.2014
Размер	222.61 Kb.
Тип	Реферат

literature-edu.ru > Математика > Реферат

1 2 3 4 5

Численный метод решения системы уравнений Максвелла-Блоха.

Система уравнений Блоха, описывающая локальный отклик среды, численно решается методом Рунге-Кутта 4-го порядка с помощью следующих расчетных формул.

Амплитудная модуляция

(2.9)

Частотная модуляция

(2.10)

Начальные условия метода.

Рассмотрим подробнее численный метод решения системы уравнений Максвелла-Блоха (4), где в волновом уравнении учитывается дифракционный член. Из [2.11] следует, что дискретная модель решения данной системы уравнений может быть представлена в виде следующих выражений (11)-(18).

Осуществляется прямое преобразование Гаусса-Лагерра параметра E во временный параметр С:

(2.11)

Осуществляется аналогичное преобразование параметра Р во временный параметр F:

(2.12)

Данное выражение является численным решением волнового уравнения Максвелла:

(2.13)

Осуществляем обратное преобразование Гаусса-Лагерра, временного параметра С в параметр E:

(2.14)

Решим систему уравнений Блоха для поляризации среды и разности заселенностей энергетических уровней:

(2.15)

Осуществляем прямое преобразование Гаусса-Лагерра, для параметров P и F соответственно:

(2.16)

Решаем волновое уравнение с учетом нового состояния поляризации среды:

(2.17)

Осуществляя обратное преобразование Гаусса-Лагерра, присваиваем значению E решение последнего уравнения:

(2.18)

В данной системе дискретных выражений, для удобства, применены следующие обозначения:

(2.19)
, ,

В указанных выражениях:

- медленно-изменяющиеся амплитуды электрического поля и поляризации.

- разность заселенности между различными энергетическими уровнями среды.

В свою очередь координаты дискретной решетки в 4-х мерном пространстве представлены узлами решетки.

Где: , i – i-ый радиальный узел который берется от 0 к более высокому порядку мод Гаусса-Лагерра i=0….L,

- j –ый азимутальный узел

Каждая мода Гаусса-Лагерра задается двумя значениями, а именно числом радиальных узлов и топологической загрузкой завихрения, т.е. количеством азимутальных узлов

Выше приведенные выражения решаются под следующие начальные условия:(2.20)

Прямое и обратное преобразования Гаусса-Лагерра, примененные в уравнениях 2.4, 2.5 и 2.7, 2.9, 2.11 основаны на разложении схемы поперечного поля в термы мод Гаусса-Лагерра [2.12]. В плоскости, удовлетворяющей уравнению z=const, выходное поле может быть представлено в виде разложения по поперечным модам:

(2.21)
(2.22)

где напряженность электрического поля световой волны

- r и  поперечные координаты

z – осевая координата

- модальная амплитуда

m – азимутальный индекс

n – радиальный индекс

В этом выражении (2.22) использован ортогональный набор гауссовых мод:

	(2.23)
	(2.24)
	(2.25)

где - полином Лагерра,

- комплексный параметр пучка

Используем нормированные координаты и . Разложение поля по модам представим в системе текущих координат z, t-z/c получим явное выражение для модальной амплитуды в точке z в полноразмерном пространстве.

	(2.26)
	(2.27)
	(2.28)

где - модальная амплитуда при z=0.

Изменение поля на отраженное может быть записано в следующем виде:

(2.29)

где – 1,2 означают входную и выходную плоскость симметрии,

F – оптическая сила,

R – силовой коэффициент отражения

Ограничение пучка на отверстии может быть представлено как:

(2.30)

где Т () – силовой коэффициент преобразования. Явно, в термах модальной амплитуды представлена наведенная апертура изменения параметра пучка P и взаимосвязь различных мод. Положим, что апертура имеет профиль гауссова преобразования:

(2.31)

где , где _d – радиус апертуры. Тогда перепишем преобразование Гаусса-Лагерра в следующем виде:

(2.32)

При выполнении мат. моделирования в качестве начальных условий принимаются: (2.33)

1. Проверка физичности результатов. Осуществлена на основании соответствия закону Бугера, представляющего собой аналитическое решение с известными результатами для определенного набора исходных параметров.

Закон Бугера (2.34)

-интенсивность электрического поля лазерного излучения

интенсивность электрического поля лазерного излучения при z=0

=1

Известно, что для электрических полей с малой напряженностью (менее 1) и малым коэффициентом нелинейности среды (порядка напряженности) зависимость интенсивности пучка от поперечной координаты z имеет вид обратной экспоненты. Проверка была проведена путем вывода пары графиков, один из которых был рассчитан по закону Бугера, другой был результатом работы программы с малыми значениями напряженности и коэффициента нелинейности среды. Визуально было установлено качественное соответствие графиков, что означает получение программой физически корректных результатов.

2. Проверка устойчивости метода. Была осуществлена с помощью численных экспериментов с различными значениями шагов по оси z, по оси r, по оси t. Проверка была проведена путем сравнения файлов результатов, полученных при различных значениях шагов. Был установлено совпадение результатов с точностью до 5-го знака. Устойчивость метода установлена при шаге по оси z в интервале (0; 0.15]; при шаге по оси r в интервале (0; 0.1]; при шаге по оси t в интервале (0; 0.01].

3. Проверка сходимости метода. Осуществлена с помощью численных экспериментов с различными значениями количества шагов по оси t. Сходимость метода установлена при количестве шагов по оси t не менее 1700. Метод программно реализован при количестве шагов по оси t = 2000.

3. Проведенные исследования