ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Томский политехнический университет»
_________________________________________________________
УТВЕРЖДАЮДД
Декан АВТФ
____________ С. А. Гайворонский
“____”_______________2008 г.
исследование ПИД РЕГУЛЯТОРА линейной САР
Методические указания по выполнению лабораторных
работ по курсу «Теория автоматического управления»
для студентов направлений 550200 – Автоматизация и управление
и 657900 – Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой отрасли)
Томск 2008
УДК 519.6
Исследование ПИД-регулятора линейной САР. Методические указания по выполнению лабораторных работ по курсу «Теория автоматического управления» для студентов направлений 550200 – Автоматизация и управление и 657900 – Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой отрасли) – Томск: Изд. ТПУ, 2008. – 12 с.
Составитель: Воронин А. В.
Рецензент: доцент кафедры ИКСУ ТПУ Громаков Е.И.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры интегрированных компьютерных систем управления “____” ______________ 2008 г.
Зав. кафедрой ИКСУ,
д.т.н., профессор _________________ А. М. Малышенко
Цель работы: ознакомление с методикой настройки ПИД-регулятора и исследование возможностей его применения для изменения динамических характеристик системы на основе использования пакета Simulink среды MATLAB.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
-
Структура системы управления
Центральной задачей теории управления является синтез регуляторов, обеспечивающих заданные динамические характеристики конструируемой системы.
В работе исследуется так называемый ПИД-регулятор, в состав которого может входить пропорциональное, интегрирующее и дифференцирующее звенья для управления объектом. Рассмотрим в качестве примера систему с единичной обратной связью, изображенную на рис. 1.
Регулятор представляет собой параллельное соединение указанных звеньев, поэтому его передаточная функция выглядит следующим образом:
, (1)
где:
– пропорциональный коэффициент усиления;
– интегральный коэффициент усиления;
– дифференциальный коэффициент усиления.
Рассмотрим, как ПИД-регулятор работает в замкнутой системе на примере схемы рис.1. Переменная представляет ошибку слежения, как разницу между задаваемым входным значением и текущим выходом . Этот сигнал ошибки посылается в ПИД-регулятор, а регулятор вычисляет производную и интеграл ошибки. Сигнал после регулятора складывается из пропорционального коэффициента усиления, умноженного на ошибку, плюс интегральный коэффициент усиления на интеграл ошибки плюс дифференциальный коэффициент усиления на производную ошибки:
. (2)
Сигнал поступает на вход объекта и приводит к изменению его выхода . Это новое значение выхода снова посылается на вход для нахождения нового сигнала ошибки. Регулятор получает новое значение сигнала ошибки и снова интегрирует и дифференцирует его. Этот процесс непрерывно повторяется.
-
Характеристики П, И и Д регуляторов
Пропорциональный регулятор эффективно уменьшает время нарастания выходного сигнала и уменьшает, но не сводит к нулю, установившуюся ошибку. Интегрирующий регулятор эффективно устраняет установившуюся ошибку, но сильно ухудшает переходную характеристику. Дифференциальный регулятор увеличивает устойчивость системы, уменьшает перерегулирование и улучшает переходную характеристику.
Влияние каждого регулятора в замкнутой системе показано в табл.1.
Таблица 1
Тип звена
|
Время
Нарастания
|
Перерегулирование
|
Время переходного процесса
|
Статическая ошибка
|
KP
|
Уменьшает
|
Увеличивает
|
Слабо влияет
|
Уменьшает
|
KI
|
Уменьшает
|
Увеличивает
|
Увеличивает
|
Исключает
|
KD
|
Слабо влияет
|
Уменьшает
|
Уменьшает
|
Слабо влияет
|
Отметим, что эти зависимости могут быть не очень точными, потому что , и зависят друг от друга. Фактически, изменение одной из этих переменных может изменить эффект остальных двух. Поэтому табл.1 может быть использована только как рекомендация при выборе величин , и .
Пример. Предположим, что у нас есть подвижная масса , пружина и демпфер (рис. 2). Жесткость пружины определяется коэффициентом , вязкое трение – коэффициентом .
Рис. 2
Уравнение движения этой системы
,
где – внешняя сила, действующая на массу.
Применив преобразование Лапласа, получим операторную запись уравнения системы
.
Передаточная функция между смещением и входом имеет вид
. (3)
Положим = 1кг , = 10 н с/м, = 20 н/м, = 1н.
Подставим эти величины в передаточную функцию:
. (4)
Попытаемся выяснить, как нужно изменять коэффициенты , и чтобы обеспечить:
-
увеличение скорости переходного процесса;
-
минимизацию отклонения;
-
уменьшение установившейся ошибки.
-
Переходная характеристика разомкнутой системы
Замкнем систему единичной отрицательной обратной связью и рассмотрим ее реакцию на единичное ступенчатое воздействие, т.е. построим переходную функцию системы. Это можно сделать в пакете Simulink либо путем численного интегрирования, либо через линейный анализ. Собрав соответствующую схему, получим график, показанный ниже на рис.3.
Статический коэффициент усиления передаточной функции равен 1/21, так что 0,048 – это установившееся значение выходной величины при единичном ступенчатом воздействии. Это соответствует очень большой установившейся ошибке - 0,952. Кроме того, время переходного процесса около 1,5 секунд. Требуется разработать регулятор, который сократит время переходного процесса и устранит статическую ошибку.
Рис.3 Переходная характеристика замкнутой системы без регулятора (с единичным пропорциональным регулятором)
-
Пропорциональный регулятор
Передаточная функция замкнутой системы с пропорциональным регулятором имеет вид:
. (5)
Зададим пропорциональный коэффициент и запустив Simulink, получим график, приведенный на рис. 4.
Рис. 4 Рис. 5
График показывает, что пропорциональный регулятор существенно влияет на вид переходного процесса, меняя все его характеристики. Для более полного исследования влияния изменений на систему проведем моделирование системы в диапазоне значений от 100 до 500 и построим графики зависимости перерегулирования, времени переходного процесса и установившейся ошибки от . Результаты исследования занесены в таблицу 2, а графики зависимостей и от приведены на рис. 5, 6, 7.
Таблица 2.
|
|
|
100
|
200
|
300
|
400
|
500
|
%
|
20
|
32,5
|
40
|
45,4
|
49,4
|
|
0,17
|
0,09
|
0,06
|
0,05
|
0,04
|
с
|
0,48
|
0,54
|
0,59
|
0,53
|
0,60
|
Рис.6 Рис.7
Полученные графики показывают, что пропорциональное звено действительно уменьшает время переходного процесса и статическую ошибку, но увеличивает перерегулирование.
-
Пропорционально-дифференциальный регулятор
Перейдем к рассмотрению ПД-управления. Из табл.1 видно, что введение управления по производной с коэффициентом уменьшает величину и время перерегулирования. Передаточная функция замкнутой системы с ПД-регулятором :
. (6)
Зададим пропорциональный коэффициент и дифференциальный коэффициент . Результатом моделирования будет график переходной характеристики, изображенный на рис. 8.
Рис. 8
Из сравнения графиков на рис. 4 и 8 следует, что дифференциальный регулятор уменьшает перерегулирование и время переходного процесса и слабо влияет на статическую ошибку.
Как и в предыдущем случае для полного исследования этого влияния необходимо провести моделирование системы при различных значениях и фиксированном и построить графики зависимости перерегулирования, времени переходного процесса и установившейся ошибки от . Для данной системы можно рекомендовать и .
-
Пропорционально-интегральный регулятор
Прежде, чем перейти к ПИД-регулятору, рассмотрим ПИ-регулятор. Из табл.1 видно, что интегрирующая составляющая с коэффициентом увеличивает перерегулирование и время переходного процесса и устраняет статическую ошибку. Для системы с обратной связью и И-регулятором передаточная функция имеет вид:
.
Уменьшим до 30, а установим равным 100. Запустив схему моделирования, получим график, изображенный на рис. 9
Рис. 9 Переходная функция с ПИ регулятором.
Мы уменьшили пропорциональный коэффициент , поскольку интегрирующий регулятор также уменьшает постоянную времени и увеличивает перерегулирование, как и пропорциональный регулятор (двойной эффект). Полученный график показывает, что интегральный регулятор полностью устранил статическую ошибку.
Далее следует провести полное исследование влияния коэффициента на качество переходных процессов. Рекомендуемый диапазон изменения – ().
-
Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор
Теперь рассмотрим ПИД регулятор. Передаточная функция замкнутой системы с ПИД-регулятором следующая:
. (7)
Используя общие сведения о влиянии коэффициентов регулятора на поведение системы, после нескольких шагов метода проб и ошибок можно получить , и , обеспечивающие график, приведенный на рис. 10.
Рис.10 Переходная функция замкнутой САР с ПИД регулятором
Из него видно, что мы получили систему без перерегулирования, с быстрым временем нарастания и без статической ошибки.
-
Основные приемы синтеза ПИД-регулятора
При разработке ПИД-регулятора для заданной системы, можно рекомендовать следующую процедуру его синтеза, обеспечивающую получение желаемого результата.
-
Шаг 1. Получите реакцию разомкнутой системы и определите, что должно быть улучшено.
-
Шаг 2. Добавьте пропорциональное звено для улучшения постоянной времени.
-
Шаг 3. Добавьте дифференцирующее звено для уменьшения перерегулирования.
-
Шаг 4. Добавьте интегрирующее звено для устранения статической ошибки.
-
Шаг 5. Варьируйте каждый из коэффициентов , , и до тех пор, пока не получите желаемый результат. При этом можно использовать приведенную ранее табл.1, которая показывает, на что влияют отдельные элементы регулятора.
Следует иметь в виду, что совсем не обязательно применять все три части регулятора (пропорциональную, дифференциальную, и интегральную). Например, если И-регулятор дает достаточно хорошую реакцию (подобно рассмотренному примеру), тогда не нужно добавлять дифференцирующее звено. Надо стараться создавать по возможности более простой регулятор.
2. ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ И СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
2.1 Для заданного в таблице 2 варианта системы провести эксперименты по п. 1.4, 1.5, 1.6 данных методических указаний и построить графики, иллюстрирующие влияние коэффициентов регулятора на работу САР. Интервал варьирования коэффициентов , , выбирается отдельно для каждого конкретного объекта исходя из существенных изменений характеристик системы. Для каждого регулятора следует взять 5 значений коэффициентов. Результаты экспериментов заносить в таблицу.
2.2 Экспериментально найти коэффициенты ПИД-регулятора для заданного в таблице 2 варианта системы, приведенной на рис. 2.
Таблица 2
№
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
М
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
b
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,1
|
0,2
|
k
|
1
|
1
|
1
|
1
|
4
|
4
|
4
|
4
|
4
|
4
|
№
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
M
|
2
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
2
|
2
|
B
|
0,3
|
0,4
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
k
|
4
|
4
|
9
|
9
|
9
|
9
|
9
|
9
|
9
|
9
|
Отчет должен содержать результаты анализа различных вариантов регуляторов для исходной схемы, в виде графических зависимостей показателей качества от коэффициентов регулятора и график итоговой переходной функции для заданного варианта.
3. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
-
Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + SIMULINK 4/5 в математике и моделировании.– М.: СОЛОН-Пресс, 2003 – 565 с.
-
Дьяконов В.П. SIMULINK 4. Специальный справочник. - Санкт-Петербург, 2002, - 518 с.
-
Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления - Спб.: Наука, 1999.
-
Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования.- М.: Наука, 1966.- 992 с.
-
Топчеев Ю. И., Цыпляков А. П. Задачник по теории автоматического регулирования. - М.: Машиностроение, 1977. – 592 с.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПИД РЕГУЛЯТОРА линейной сар
Методические указания по выполнению лабораторных работ по курсу «Теория автоматического управления» для студентов направлений 550200 – Автоматизация и управление и 657900 – Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой отрасли)
Составитель: Воронин Александр Васильевич
Научный редактор: д. т. н., профессор Малышенко А. М.
Рецензент: к. т. н., доцент кафедры ИКСУ ТПУ Громаков Е.И.
Подписано к печати
Формат 60х84/16. Бумага ксероксная.
Плоская печать. Усл. печ. л. . Уч.- изд. л.
Тираж экз. Заказ . Цена свободная.
Изд-во ТПУ, Лицензия ЛТ № 1 от 18.07.94.
634034, Томск, пр. Ленина,30
|