Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем




Скачать 352.46 Kb.
НазваниеДвустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем
страница1/3
Дата публикации15.06.2014
Размер352.46 Kb.
ТипДокументы
literature-edu.ru > Математика > Документы
  1   2   3
Equation Chapter 1 Section 1Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем.1

А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, А.Г. Лимонов

Институт математического моделирования РАН

Московский государственный институт электронной техники (технический университет), Зеленоград

e-mail: elena.alshina@gmail.com
Для жестких систем дифференциальных уравнений предложен ряд новых двустадийных схем типа Розенброка с комплексными коэффициентами. Схемы имеют четвертый порядок точности и отвечают повышенным требованиям к устойчивости. Построено однопараметрическое семейство L1-усточивых схем, коэффициенты которых вычисляются по явным формулам, содержащим лишь дроби и радикалы. В этом семействе найдена одна L2-устойчивая схема. Построена L4-устойчивая схема четвертого порядка точности. Доказана сходимость предложенных схем. В литературе ранее не были описаны схемы 4-го порядка точности всего на двух стадиях, а также не было схем с L4-устойчивостью. Разработан алгоритм символьных вычислений, позволяющий конструировать условия порядка для многостадийных схем типа Розенброка с комплексными коэффициентами. Этот алгоритм был применен при построении предложенных схем. Библ. 5, илл. 6, табл. 6.
I. ВВЕДЕНИЕ

При математическом моделировании задач со многими разномасштабными по времени процессами практически неизбежно возникают жесткие системы [1]. Жесткими являются задачи, описывающие химические или нейтронные реакции, нестационарные процессы в электрических цепях и многие другие. Они традиционно трудны для численного решения и требуют разработки специальных численных методов.

Жёсткая устойчивость. Начиная с 50-х годов прошлого века, для жестких задач стали создавать специальные неявные методы, тогда же были даны формулировки ряда дополнительных свойств, которым должны удовлетворять искомые схемы. Рассмотрим задачу Далквиста

. \* MERGEFORMAT

При точное решение быстро и монотонно затухает.

Для любой линейной схемы переход на следующий временной слой при решении задачи имеет вид , где называется функцией роста или функцией устойчивости.

Определение. Схема называется устойчивой, если при То есть численное решение должной быть устойчиво в тех же диапазонах , что и точное решение задачи .

Если схема не обладает хотя бы A-устойчивостью, то она вообще не пригодна для жестких задач.

Желательно, чтобы при функция устойчивости также сильно затухала, поэтому вводят понятие устойчивости [2].

Определение. Схема называется устойчивой, если она устойчива и при

Чем жестче задача (мерой жесткости служит величина ), тем выгоднее устойчивые схемы с большими .

Для схем высокого порядка полезно также обобщение: устойчивость ( для и при ).

Как правило, жесткий характер численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений проявляется не везде, а в некоторых областях, зависящих от конкретной постановки задачи. На жестком участке ключевую роль играют свойства устойчивости схемы, на мягком участке – точность аппроксимации.

Идеальным был бы метод, обладающий высоким порядком точности и удовлетворяющий повышенным требованиям к устойчивости. Повышенные требования к точности схемы часто конфликтуют с возможностью обеспечить жесткую устойчивость. Применение комплексной арифметики дает большее число степеней свободы и позволяет разрешить этот конфликт.
Equation Chapter (Next) Section 2III. СХЕМЫ РОЗЕНБРОКА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ.
Среди схем для жестких систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений стоит выделить схемы Розенброка. Схемы эти по сути неявные, но для перехода на новый временной слой нужно решать линейную систему уравнений с хорошо обусловленной матрицей, что позволяет избежать итераций.

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений

\* MERGEFORMAT

Здесь – неизвестная вектор функция, а – заданная вектор-функция той же размерности. Мы будем предполагать, что функция не менее четырёх раз непрерывно дифференцируема в окрестности решения задачи Коши . Без ограничения общности можно считать задачу автономной (правая часть не зависит от времени явно), так как любая неавтономная задача может быть сведена к автономной задаче.

Схемы Розенброка одношаговые – для вычисления значения численного решения на новом временном слое используется лишь значение с текущего слоя . Для стадийной схемы переход на новый временной слой происходит по формулам:

\* MERGEFORMAT

Здесь – единичная матрица, – матрица Якоби системы , – вообще говоря, комплексные параметры, определяющие свойства схемы. Использование комплексной арифметики требует большего числа арифметических операций для решения линейных систем в по сравнению с действительной схемой. Но при выборе коэффициентов комплексной схемы в нашем распоряжении в два раза большее число степеней свободны, что позволяет построить схему более высокого порядка точности и большей надежности, по сравнению с аналогичной действительной схемой.

Одностадийная комплексная схема была предложена Розенброком в 1963 году [3]. Больший по сравнению с действительными схемами объем вычислений стал в те годы непреодолимым препятствием для ее широкого распространения. Для современного уровня вычислительной техники на первый план уже давно выходит не объем вычислений, а надежность и точность схемы. Одностадийная схема с обладает уникальным сочетанием свойств: она имеет максимальный для одностадийной схемы – второй – порядок точности и обладает устойчивостью с максимальным для одностадийных схем . Это лучшая из известных нам одностадийных схем не только для жестких задач.

Целью данной работы является построение комплексной схемы с , обладающей максимально возможно лучшей точностью и устойчивостью. В нашем распоряжении 6 комплексных параметров: .

Equation Section (Next)IV. УСЛОВИЯ ПОРЯДКА.
Для получения условий порядка нам понадобится сопоставить разложения в ряд по степеням шага точного решения задачи и численного . Получение степенных разложений требует довольно громоздких выкладок, особенно для численного решения. Сложность проведения таких выкладок зачастую вынуждает исследователей использовать упрощающие соображения при построении схем (например, «замораживание» матрицы Якоби в ), что естественно сужает потенциальные возможности схемы.

Удобным приемом при получении степенных разложений как точного, так и численного решений является представление в виде графов. Мы использовали стандартное представление в виде деревьев для точного решения (см., например, [1]). Для получения степенного разложения численного решения схемы в данной работе предлагается оригинальный алгоритм. Здесь также удобным оказалось представление в виде деревьев.

Точное решение. Поясним обозначения на примере разложения точного решения . Согласно формуле Тейлора для функции , имеющей -ую ограниченную производную

. \* MERGEFORMAT

Первая производная есть правая часть уравнения – – ей соответствует «f» -вершина . Для получения второй производной дифференцируем сложную функцию . Зависимость от присутствует только неявно через , поэтому дифференцирование по добавляет элемент , которому соответствует ребро с «f» - вершиной на конце . Продифференцировав произвольное произведение функций вида , получим следующее правило, по которому строится представление в виде дерева степенного разложения .

Для получения производной точного решения порядка к каждой «f» - вершине дерева производной порядка нужно добавить ребро с «f» - вершиной на конце.

В Табл. 1 приведены деревья для первых четырех производных точного решения задачи . Число строк взято достаточным для построения схемы с аппроксимацией 5-го порядка, хотя указанное правило позволяет получить представление в виде дерева для производной произвольного порядка.

Табл. 1.






Представление в виде дерева

Символьное представление

1







2







3

+




4

+ + +++



4

+ + +



5

++++

++++



Четвертая строка Табл. 1 содержит 2 абсолютно одинаковых дерева (соответствующих ) и третье – топологически эквивалентное этим двум (соответствующее ). С учетом коммутации тензоров все эти три слагаемых равны и мы можем привести подобные члены в разложении (что сделано в следующей строке Табл. 1). Далее все подобные слагаемые в разложениях приведены с учетом топологической эквивалентности. Проверить топологическую эквивалентность деревьев гораздо проще, чем установить факт коммутации тензоров, в том числе и поэтому представление степенного разложения в виде деревьев сильно упрощает выкладки.

Разложение численного решения. Численное решение на новом временном слое представляется через приращения первой и второй стадии

. \* MERGEFORMAT

Здесь производные соответствуют дифференцированию по . Мы строим степенное разложение с центром на текущем временном слое, поэтому в все производные вычисляются при .

Первая стадия. Из первой линейной системы в следует, что . Продифференцируем раз это равенство по : . При получим рекуррентную формулу для дифференцирования :

. \* MERGEFORMAT

Здесь учтено, что . Количество множителей в равно . В терминах деревьев правило дифференцирования для очень простое.

Первая производная есть «f» - вершина. Для получения производной порядка к последней «f» - вершине дерева производной порядка нужно добавить ребро с «f» - вершиной на конце и помножить на .

Производные для приращения первой стадии представлены в Табл. 2.
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconКомплексные работы в 4 классе
Комплексные олимпиадные работы дают возможность проследить динамику формирования ряда предметных навыков, имеющих большое значение...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРеферат по курсу впкс «Ввод-вывод в транспьютере. Передача данных по линку»
Транспьютер (англ transputer) — элемент построения многопроцессорных систем, выполненный на одном кристалле большой интегральной...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconЛитература 27
В данной работе рассматривается вариант реализации микропроцессорной системы для управления объектом и разработка программной модели...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconПрограмма преддипломной практики
Целью практики является: овладение методикой проектирования, внедрения и эксплуатации отдельных задач и подсистем экономических информационных...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРазработка системы управления взаимоотношениями с клиентами
Существует много аналогов crm систем, но для каждого отдельного бизнеса необходима своя информационная система. Универсальных систем...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconЛекция №1. Введение
Овладение методологией экспертных систем помогает принять решение в самых сложных и уникальных ситуациях. Чтобы уметь использовать...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconЛабораторная работа №6 Итоговое задание «Логическое программирование на языке Visual Prolog»
Получить практические навыки применения систем и языков логического программирования для построения систем, основанных на знаниях....

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconСхемы водоснабжения населенных пунктов
Вода на промышленных предприятиях необходима на хозяйственно-питьевые нужды, на пожаротушение, а также для проведения технологических...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРезультаты
Национальные, региональные проекты, целевые комплексные программы, в которых система образования Краснокамского муниципального района...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРезультаты
Национальные, региональные проекты, целевые комплексные программы, в которых система образования Краснокамского муниципального района...

Литература


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
literature-edu.ru
Поиск на сайте

Главная страница  Литература  Доклады  Рефераты  Курсовая работа  Лекции