МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Гуманитарный факультет
Кафедра информационных технологий
Кухарский Артур Сергеевич
Макарова Александра Андреевна
Антонова Анна Артуровна
доклад на тему:
Тема: «Математическое программирование»
Минск 2013
Содержание
Содержание 2
Введение 3
1 Линейное программирование 6
2 Нелинейное программирование 8
3 Целочисленное программирование. 11
4 Условная оптимизация 13
5 Безусловная оптимизация 15
6 Динамическое программирование 17
7 Дискретное программирование 20
8 Стохастическое программирование 21
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Примеры задач линейного программирования: 23
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Нелинейное программирование: 28
Поэтому или zmax ≈ 21,9. 32
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Динамическое программирование 33
Приложение 4 Динамическое программирование 35
Метод северо-западного угла 36
Приложение 5 Целочисленное программирование 42
Приложение 6. Краткое описание MatLab 45
Введение
Математическое программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения.
Математического программирование делится:
-
Линейное программирование,
-
Нелинейное программирование (выпуклое, квадратичное),
-
Динамическое программирование;
-
Дискретное и целочисленное программирование,
-
Стохастическое программирование и др.
Математическое программирование находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.
Наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.
Математическая формулировка задачи математического программирование: минимизировать скалярную функцию j(x) векторного аргумента х на множестве X = {x: gi(x) = 0, hi(x) = 0, i = 1, 2, ..., k}, где gi(x) и hi(x) — также скалярные функции; функцию j(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи математического программирования— оптимальной точкой (вектором).
В математическое программировании принято выделять следующие разделы. Линейное программирование: целевая функция j(x) и ограничения gi(x) и hi (х) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции
при линейных ограничениях
, i = 1, 2, …, m,
либо все величины cj, aij, bi, либо часть из них случайны.
Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи — задачи, для которых указанное свойство не выполняется.
В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна — Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть
,
X = {x: gi(x) ³ 0, i = 1, 2, ..., k},
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* (у*1, у*2, ..., у*k), чтобы пара точек х*, у*образовывала седло функции Лагранжа
Последнее означает, что
L(x*, y) L(x*, y*) £ L(x, у*)
для любых х и всех у³ 0. Если ограничения gi(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.
Если функции j(x) и gi(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку
,j= 1, 2, …, n;
; ;i= 1, 2, …, k;
, yi ³ 0, i = 1, 2, …, k.
Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств.
На основе теоремы Куна — Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.
В математическом программировании одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке xk Î X выбирается направление спуска sk, то есть одно из направлений, по которому функция j(x) убывает, и вычисляется xk+1 = p(xk + aksk), где p(xk + aksk) означает проекцию точки xk + aksk на множество X:
,
число ak > 0 выбирается при этом так, чтобы j(xk +1) < j(xk). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда sk = —grad j(xk). В математическои программировании доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {хk}, построенная методом проекции градиента, такова, что стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии.
Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач иатематического программирование является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи математического программирования, связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.
Важным направлением исследования в Математическое программирование являются проблемы устойчивости. Здесь существующее значение имеет изучение класса устойчивых задач — задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач — так называемому процессу регуляризации.
|
