Курс «Основы кибернетики»
для студентов специализации 01.02.09.01
(математическое и программное обеспечение вычислительных машин)
и бакалавров направления 510200
(прикладная математика и информатика).
Общая информация (учебная нагрузка, формы контроля и др.).
Курс является обязательным для всех студентов, обучающихся по специальности 01.02 – прикладная математика и информатика, а также бакалавров одноименного направления 510200. При этом объем и, в некоторой степени, программа курса варьируются в зависимости от специализации.
Для студентов специализации 01.02.09.01 и бакалавров направления 510200 курс «Основы кибернетики» читается в 6 (320-328 группы) и 8 (431-432 группы) семестрах соответственно в объеме 48 часов лекций, сопровождаемых 16 часами семинарских занятий. Курс завершается экзаменом, на который выносятся как теоретические вопросы, изложенные на лекциях, так и задачи, рассмотренные на семинарских занятиях.
В течение семестра проводятся 3 письменные контрольные работы на решение задач, по результатам которых студенты могут освобождаться от задач того или иного типа на экзамене. Усвоение теоретического материала периодически контролируется тестами на определения, формулировки утверждений и т.п.
Чтение курса обеспечивается кафедрой математической кибернетики.
Аннотация.
Курс «Основы кибернетики» (ранее «Элементы кибернетики»), создателем и основным лектором которого был чл.-корр. РАН С.В. Яблонский, читается на факультете ВМиК с первых лет его существования. Он является продолжением курса «Дискретная математика» и посвящен изложению основных моделей, методов и результатов математической кибернетики, связанных с теорией дискретных управляющих систем (УС), с задачей схемной или структурной реализации дискретных функций и алгоритмов.
В нем рассматриваются различные классы УС (классы схем), представляющие собой дискретные математические модели различных типов электронных схем, систем обработки информации и управления, алгоритмов и программ. Для базовых классов УС (схем из функциональных элементов, формул, контактных схем, автоматных схем), а также некоторых других типов УС, ставятся и изучаются основные задачи теории УС: задача минимизации ДНФ, задача эквивалентных преобразований и структурного моделирования УС, задача синтеза УС, задача повышения надежности и контроля УС из ненадежных элементов и др. В программу курса входят классические результаты К. Шеннона, С.В. Яблонского, Ю.И. Журавлева и О.Б. Лупанова, а также некоторые результаты последних лет. Показывается возможность практического применения этих результатов.
Программа.
I. Представление функций с помощью дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ) и связанные с ним задачи.
Единичный куб и функции алгебры логики (ФАЛ), представление ФАЛ с помощью ДНФ. Сокращенная ДНФ и тупиковые ДНФ, их «геометрический» смысл. Способы построения однозначно получаемых ДНФ (сокращенной, пересечения тупиковых, Квайна, суммы тупиковых). Особенности ДНФ для ФАЛ из некоторых классов. Функция покрытия и алгоритм построения всех тупиковых ДНФ, оценка длинных градиентного покрытия. Алгоритмические трудности минимизации ДНФ, оценки максимальных и типичных значений некоторых параметров ДНФ. Задача контроля УС, тесты для таблиц. Алгоритм построения всех тупиковых тестов, оценки максимального и типичного значений длины теста.
II. Основные классы УС оценка числа схем, их структурные представления и эквивалентные преобразования.
Различные классы УС (классы схем) как структурные математические модели различных типов электронных схем, систем обработки информации и управления, алгоритмов и программ. Основные классы УС-формулы и схемы из функциональных элементов (СФЭ), контактные схемы (КС) – их структура, меры сложности, функционирование, полнота. Некоторые частные случаи и обобщения основных классов, оценка числа схем различных типов. Структурные представления схем на основе операции суперпозиции.
Эквивалентность схем. Понятие подсхемы и принцип эквивалентной замены. Тождества и связанные с ними эквивалентные преобразования УС. Построение полных систем тождеств для формул, СФЭ и КС. Отсутствие конечной полной системы тождеств для КС.
III. Синтез, сложность и надежность УС.
Задача синтеза УС, сложность ФАЛ и функция Шеннона. Простейшие методы синтеза схем, реализация некоторых ФАЛ и оценка их сложности. Метод каскадов для КС и СФЭ, метод Шеннона. Мощностные методы получения нижних оценок для функций Шеннона. Асимптотически наилучшие методы синтеза формул, СФЭ и КС. Самокорректирующиеся КС и простейшие методы их синтеза. Асимптотически наилучшие методы синтеза КС, корректирующих один обрыв или одно замыкание. Синтез схем для ФАЛ из инвариантных и других специальных классов.
IV. Структурные модели высокого уровня и некоторые прикладные вопросы теории сложности.
Автоматные функции и их реализация схемами из функциональных элементов и элементов задержки, схемы с «мгновенными» обратными связями. Представление о логических схемах программ. Схемы на КМОП-транзисторах и задача логического синтеза СБИС. Задача «физического» синтеза СБИС и клеточные схемы.
Литература.
Основная:
Ложкин С.А. Лекции по основам кибернетики. М.: МГУ, 2004.
Алексеев В.Б., Вороненко А.А., Ложкин С.А., Романов Д.С., Сапоженко А.А., Селезнева С.Н. Задачи по курсу «Основы кибернетики». М.: МГУ, 2002.
Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
Дополнительная:
Алексеев В.Б., Ложкин С.А. Элементы теории графов, схем и автоматов. М.: МГУ, 2000.
Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1974.
Ложкин С.А., Марченко А.М. Математические вопросы проектирования СБИС. http://mathcyb.cs.msu.su (учебники)
Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: МГУ, 1984.
Нигматулин Р.Г. Сложность булевых функций. М.: Наука, 1991.
Сапоженко А.А. Некоторые вопросы сложности алгоритмов. М.: МГУ, 2001.
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
Яблонский С.В. Надежность управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1991.
Яблонский С.В. Эквивалентные преобразования управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1986.
5. Вопросы к экзамену.
Предварительный список вопросов к экзамену
по курсу «Основы кибернетики»
(весенний семестр 2005/2006 уч. года, 320-328 и 431-432 группы, лектор – профессор С.А. Ложкин).
Представление функций с помощью дизъюнктивных нормальных форм и связанные с ним задачи.
Единичный куб и функции алгебры логики (ФАЛ). Дизъюнктивные (конъюнктивные) нормальные формы и связанные с ними разложения ([1:гл.1,§2]).
Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и способы ее построения ([1:гл.1,§3]).
Тупиковые и минимальные ДНФ, ядро и ДНФ Квайна. Критерий вхождения простых импликант в тупиковые ДНФ, его локальность ([1:гл.1,§4]).
Особенности ДНФ для ФАЛ из некоторых классов (линейных, монотонных и др.). Теорема Ю.И. Журавлева о ДНФ сумма минимальных ([1:гл.1,§5]).
Функция покрытия, таблица Квайна и построение всех тупиковых ДНФ. Алгоритмические трудности минимизации ДНФ ([1:гл.1,§6,7]).
Оценки максимальных и типичных значений для некоторых параметров ДНФ ([1:гл.1,§7]).
-
Градиентный алгоритм и оценка длины градиентного покрытия, примеры его применения ([1:гл.1,§6]).
Задача контроля схем и тесты для таблиц. Построение всех тупиковых тестов, оценки длины диагностического теста ([1:гл.1,§8]).
Основные классы дискретных управляющих систем. Оценка числа схем, их структурные представления и эквивалентные преобразования.
-
Представление формул с помощью деревьев. Оптимизация подобных формул по глубине и оценка их чисел ([1:гл.2,§§2,3]).
Схемы из функциональных элементов (СФЭ) и вычисляющие программы. Оценка числа СФЭ в базисе Б0={&,۷,ך} ([1:гл.2,§§3,4]).
Контактные схемы (КС) и π-схемы, оценка их числа. Особенности функционирования многополюсных КС ([1:гл.2,§§5,6]).
-
Операция суперпозиции и её корректность для некоторых типов схем. Разделительные КС, лемма Шеннона ([1:гл.2,§§3,5,6]).
Эквивалентные преобразования схем на основе тождеств. Моделирование эквивалентных преобразований формул в классе СФЭ ([1:гл.3,§1]).
Эквивалентные преобразования формул базиса Б0, полнота системы основных тождеств. Теорема перехода ([1:гл.3,§§2,3]).
Эквивалентные преобразования КС. Основные тождества, вывод вспомогательных и обобщенных тождеств ([1:гл.3,§4]).
Полнота системы основных тождеств. Отсутствие конечной полной системы тождеств в классе всех КС ([1:гл.3,§5]).
Синтез, сложность и надежность управляющих систем.
Задача синтеза. Простейшие методы синтеза схем и оценки сложности функций ([1:гл.4,§§1,2]).
Каскадные схемы и адресующие программы. Метод каскадов для КС и СФЭ, метод Шеннона ([1:гл.2, §7; гл.4,§3]).
Нижние мощностные оценки функций Шеннона ([1:гл.4,§4]).
Дизъюнктивно-универсальные множества ФАЛ. Асимптотически наилучший метод О.Б. Лупанова для синтеза СФЭ в базисе Б0 ([1:гл.4,§5]).
-
Регулярные сдвиговые разбиения единичного куба. Асимптотика сложности контрактного дешифратора ([1:гл.4,§§6,7]).
-
Асимптотически наилучший метод синтеза формул в базисе Б0 ([1:гл.4,§6]).
-
Асимптотически наилучший метод синтеза КС ([1:гл.4,§7]).
Поведение функции Шеннона для глубины ФАЛ ([1:гл.4,§6]).
Самокорректирующиеся КС и методы их построения. Асимптотически наилучший метод синтеза КС, корректирующих 1 обрыв (1 замыкание) ([2:§7], [11:§2.1]).
Инвариантные классы С.В. Яблонского, их основные свойства. Синтез схем для ФАЛ из инвариантных и некоторых других специальных классов ([9:§2]).
Структурные модели высокого уровня и некоторые прикладные вопросы теории сложности.
-
Реализация автоматных функций схемами из функциональных элементов и элементов задержки, схемы с «мгновенными» обратными связями ([4:§8]).
-
Представление о логических схемах программ. Особенности постановки и решения основных задач теории управляющих систем для автоматных схем и схем программ ([4:§8], [12:§6]).
-
Схемы на КМОП-транзисторах и реализация ими простейших функций. Задача логического синтеза СБИС ([1:гл.II,§7], [7]).
Клеточные схемы как «грубая» топологическая модель СБИС. Задача «физического» синтеза СБИС ([7]).
6. Типовые задачи к экзамену.
I. Задачи на ДНФ.
По заданной ФАЛ построить ее сокращенную ДНФ, ДНФ Квайна, ДНФ сумма тупиковых, все тупиковые ДНФ.
II. Задачи на тесты.
По заданной таблице или КС и списку ее неисправностей построить все тупиковые проверяющие (диагностические) тесты.
III. Задачи на эквивалентные преобразования и структурное моделирование.
По заданным эквивалентным формулам или КС построить эквивалентное преобразование, переводящее их друг в друга с помощью основных тождеств.
По заданной формуле построить подобную ей формулу минимальной глубины.
По заданной формуле с поднятыми отрицаниями построить моделирующую ее π-схему и обратно.
IV. Задачи на синтез схем.
По заданной ФАЛ с помощью простейших методов, метода каскадов или метода Шеннона построить реализующую ее СФЭ или КС.
Оценить сверху или снизу сложность конкретной ФАЛ или сложность самой сложной ФАЛ из заданного множества в заданном классе схем.
По заданной КС построить эквивалентную ей самокорректирующуюся КС.
7. Темы семинарских занятий и контрольных работ.
Представление ФАЛ с помощью ДНФ. Сокращенная ДНФ и методы ее построения ([3:гл.IX,§2]).
Ядро и ДНФ Квайна, ДНФ сумма тупиковых. Построение всех тупиковых ДНФ ([3:гл.IX,§3]).
Тесты для таблиц, тесты для КС ([2:§5,6]).
Контрольная №1 по темам 1-3 продолжительностью 2 часа с предшествующей консультацией планируются на 24марта.
Эквивалентные преобразования формул. Оптимизация формул по глубине ([2:§3]).
Моделирование формул и π-схем. Эквивалентные преобразования КС ([2:§4]).
Контрольная №2 по темам 4-5 продолжительностью 2 часа с предшествующей консультацией планируются на 21 апреля.
Сложность ФАЛ и простейшие методы синтеза схем. Метод каскадов и метод Шеннона ([3:гл.X]).
Самокорректирующиеся КС. Асимптотически наилучшие методы синтеза, синтез схем для ФАЛ из специальных классов ([2:§ 7]).
Контрольная №3 по темам 6-7 продолжительностью 2 часа с предшествующей консультацией планируются на 19 мая.
|
