1. матрицы и действия над ними
|
Скачать 0.9 Mb.
|
|
Данные методические указания предназначены для студентов I курса всех специальностей и всех форм обучения и для преподавателей кафедры высшей математики. Студентам они помогут усвоить теоретический материал и овладеть необходимыми практическими навыками, преподавателям – организовать самостоятельную работу студентов. Указания содержат список литературы, рекомендации по решению типовых задач, теоретические сведения, задачи для самостоятельного решения. Методические указания построены в форме ответов на основные вопросы раздела “Линейная алгебра”. ТЕМА 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Ключевые вопросы теории. Краткие ответы 1.1. Что такое матрица ? Числовой матрицей размерности (m x n) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов: A = . 1.2. Перечислить основные виды матриц. а) прямоугольные (матрицы размерности m x n) размерность (2 х 4) размерность (3 х 2) б) матрица - строка размерности (1 х n) (0 -4 6 8 9) размерности (1 х 5) в) матрица – столбец размерности (m х 1) размерность (4 х 1). 1.3. Какая матрица называется квадратной ? Матрица размерности (n x n) называется квадратной матрицей порядка n. 1.4. Привести примеры квадратных матриц. а) квадратная матрица порядка n квадратная матрица порядка 3 б) верхняя и нижняя треугольная матрицы в) диагональная матрица г) единичная матрица порядка 3 Е = . 1.5. Что такое элементы матрицы ? Числа аij, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Число i обозначает номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых в матрице А расположен элемент аij. Матрица А размерности (m x n) обозначается через А = (аij)mn. 1.6. Дать определение главной диагонали квадратной матрицы. Главная диагональ квадратной матрицы А порядка n образована элементами, стоящими на линии, соединяющей элемент а11 с элементом аnn. 1.7. Какие операции можно выполнять над матрицами ? К операциям над матрицами относятся: сложение (вычитание) матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу. 1.8. Любые ли две матрицы можно сложить (вычесть) ? Cформулировать правило сложения (вычитания) матриц. Cкладывать (вычитать) можно лишь те матрицы, размерности которых совпадают. Правило: для того, чтобы сложить (вычесть) две матрицы, надо сложить (вычесть) их соответствующие элементы, то есть элементы, стоящие на одних и тех же местах. Если А (аij)mn, B = (bij)mn, матрица С = А + В, то сij = аij + bij. 1.9. Любую ли матрицу можно умножить на число ? Сформулировать правило умножения матрицы на число. Любую матрицу можно умножить на отличное от нуля число. Правило: для того, чтобы умножить матрицу на отличное от нуля число, надо все элементы матрицы умножить на это число (аij)mn = ( аij)mn 1.10. Любые ли две матрицы можно перемножить ? Сформулировать правило умножения матрицы на матрицу. Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число элементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце матрицы В. Если (m x n) – размерность матрицы А, (n x p) – размерность матрицы В, то матрицу А можно умножить на матрицу В; при этом получится матрица С = А В размерности (m x р). Формально: (m x n) (n x p) = (m x p). Правило: элемент сij матрицы С = А В равен сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. 1.11. Какие матрицы называются перестановочными ? Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. 2. Решение задач Пример 1. Даны две матрицы: А = , В = . Найти матрицы: А + В, 2А – 4В. Решение. Матрицы А и В можно складывать и вычитать, так как их размерности совпадают. По правилу сложения матриц: А + В = = . По правилу вычитания матриц: А - В = = . Прежде, чем найти матрицу 2А – 4В, найдем матрицы 2А и –4В, воспользовавшись правилом умножения матрицы на скаляр: 2А = - 4В = . Согласно правилу сложения матриц имеем 2А – 4В = = Матрицу 2А – 4В можно было искать как разность матриц 2А и 4В. Пример 2. Даны матрицы А = , В = , C = . Указать все возможные произведения матриц и найти любые два. Запишем размерности матриц: А = (3 х 2), B = (2 x 3), C = (3 x 3). Можно найти А B, B C, C A. Найдем АВ и ВС. А B = = = . Размерность матрицы произведения проверим по размерностям матриц А и В: (3 x 2) (2 x 3) = (3 x 3) В С = = = = = . Контроль: (2 х 3) ( 3 х 3) = (2 х 3). Пример 3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей А = . Решение. Пусть В = . Найдем ее элементы АВ = = ВА = = Так как АВ = ВА, то выполняются равенства = . Итак: В = , где а и с – любые числа. 3. Банк задач для самостоятельной работы 1. Даны матрицы А = В = . Найти матрицы: 3А, 2B, 3A + 2B, A – B, 3A – 2B. 2. Даны матрицы А = , В = , С = , D = , E = (4 0 -2 3 1), F = . Указать все произведения матриц, которые имеют смысл и найти эти произведения. Ответ. АВ = ВА = СА = CB = DF = FE = . 3. Вычислить произведение матриц . Ответ. . В задачах 4 – 6 вычислить: 4. 5. 6. Ответ. 4. 5. 6. . В задачах 7 – 9 найти все матрицы, перестановочные с данной. 7. . Ответ. , где а и b – любые числа. 8. Ответ. , где а и b – любые числа. 9. Ответ. , где а, b, c – любые числа. 4. Варианты проверочных работ Даны матрицы А, B, C, D. Указать все произведения матриц, которые имеют смысл и найти два из них. 1. А = (1 0 1), B = , C = , D = . 2. А = , B = , C = , D = (3 -4). 3. А = , B = , С = , D = (2 0 5 1). 4. А = (2 8 7), B = , C = , D = . 5. А = , B = , C = (5 0 7), D = .
7. A = , B = , C = , D = (7 6 4). 8. A = , B = , C = (1 2 3), D = . 9. A = , B = , C = (-5 0 3), D = .
ТЕМА 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ. МЕТОД КРАМЕРА
1.1. Что называется определителем? Определителем или детерминантом квадратной матрицы А порядка n называется число, вычисляемое по определенному правилу по элементам матрицы. Определитель матрицы А порядка n обозначается через n А или det A. 1.2. Как вычисляется определитель второго порядка ? Он вычисляется по правилу: = а11 а22 – а21 а12. 1.3. Как вычисляется определитель третьего порядка ? Он вычисляется по правилу: = а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а12 а23 а31 –
Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы есть произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Каждому произведению приписывается знак. Для того, чтобы запомнить, какие произведения берут со знаком плюс, какие со знаком минус, полезно правило треугольников, схематически изображенное на рисунке: + - 1.4. Что называется минором элемента матрицы порядка n ? Минором Мij элемента аij квадратной матрицы А порядка n называется определитель порядка (n – 1), полученный из элементов матрицы А после вычеркивания из нее строки с номером i и столбца с номером j, на пересечении которых стоит в матрице А элемент аij. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 |
Хлестаков и городничий ( анализ II действия комедии Н. В. Гоголя «Ревизор») Знакомство с содержанием II действия и его анализ. Продолжение работы над характеристикой Хлестакова. Понятие о несоответствии как... |
 |
Конкурсная документация по проведению открытого конкурса по отбору... Размещение заказов – осуществляемые в установленном порядке действия заказчика по отбору организаций в целях заключения с ними договоров... |
|
Робоча програма по дисципліні Чисельні методи Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера, метод обращения матрицы, метод Гаусса |
|
Смирнова Марина, 10 б, гбс(К)оу школа-интернат II вида №33 г. Спб Отечественная война и Блокада Ленинграда. Начало войны, сообщение о начале блокады… военное положение в городе, страшные военные... |
|
Задача создание и организация условий, инициирующих действия обучающихся Однажды известный британский писатель Бернард Шоу сказал : Единственный путь, ведущий к знаниям, это деятельность. Действительно,... |
|
Урок 1 Тема: А. С. Пушкин «Зимнее утро» Цель: знакомство со стихотворением, работа над содержанием и литературными приёмами, используемыми автором, работа над выразительностью... |
|
Итоги работы над методической темой В 2012-2013 учебном году кафедра гуманитарных наук приступила к работе над новой методической темой |
|
Антропов Ю. Ф., Шевченко Ю. С. Психосоматические расстройства и патологические... Психосоматические расстройства и патологические привычные действия у детей и подростков. – М.: Издательство Института Психотерапии,... |
|
Общеобразовательного учреждения Отмечаются органы управления, отдельные руководители общеобразовательным учреждением и связи между ними |
|
Анализ работы мбоу сош№7 за 2011-2012 учебный год Уважаемые коллеги! Проблема, над которой работает школа это «Воспитание активной творческой личности с высоким уровнем нравственности... |