2 Особенности эконометрических методов прогнозирования




Скачать 2.57 Mb.
Название 2 Особенности эконометрических методов прогнозирования
страница 6/14
Дата публикации 11.06.2014
Размер 2.57 Mb.
Тип Документы
literature-edu.ru > Экономика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

2.3.4. Выделение сезонной составляющей временных рядов
Часто на практике встречаются процессы, носящие периодический характер и связанными с определенной циклической природой тех или иных социально-экономических явлений. После формального исключения из соответствующих исходных уровней статистического ряда уровней, определяемых общей долгосрочной тенденцией развития (тренда), исследователь в качестве материала своего изучения имеет остаток по ряду наблюдений – вектор еt. Ранее мы полагали его случайно распределенным с известным математическим ожиданием и дисперсией (Mеt = 0, ). Часто даже визуального наблюдения за распределением уровней ряда бывает достаточно, чтобы заметить тенденции в их разбросе, колебания относительно некого среднего уровня. В этой связи может возникнуть мысль о наличии в ряду остатков возможной зависимости от фактора времени t, которая может фактически носить как циклическую, так и сезонную природу. Однако, несмотря на различную природу такого рода явлений, на принципиальную разницу их генезиса, формально мы можем попытаться идентифицировать произвольные колебательные движения социально-экономических процессов с помощью схожего аппарата формализации, в частности, попытаться представить изучаемый ряд (для дальнейшего рассмотрения примем вновь обозначение yt) разложением Фурье.

Пусть имеется N наблюдений над переменной Y (для упрощения дальнейших выкладок примем, что N - четное).

m – период колебаний, т.е. промежуток времени, через который наша искомая функция в точности повторит свои значения.

За исходное примем, что в N укладывается целое число (h) периодов длины m, т.е. h = N/m или N=hm. Например, если аналитик изучает динамику некоторого явления, описанного показателем Y за три года с помесячной регистрацией статистики, то в наших обозначениях это запишется следующим образом: длина наблюдаемого ряда N=36 месяца; предполагаемая длина периода m=12; целое число периодов наблюдаемой статистики h=3).

Заданную числовую последовательность Yt можно попытаться представить в виде:

yt = f(t) + ?t, где

?t – случайная составляющая изучаемого ряда (M?t = 0, );

f(t) – некоторая периодическая функция с периодом m.

Утверждение. Если числовая последовательность y1, y2, … yN имеет период m, тогда эту последовательность можно представить как сумму m периодических тригонометрических функций, имеющих период m и меньше. Иначе говорят: функция f(t) разложима в ряд Фурье вида:

(2.3.7),

где ?i(t) – i-я тригонометрическая функция.

Перед тем, как провести данное преобразование, сделаем ряд замечаний, касающихся особенности представления данной функции f(t).

1). Заметим, что любой колебательный процесс можно представить в виде синусоиды общего вида:

f(t) = ? sin(?t + ?),

где ? - амплитуда; ? - частота; ? - фаза.

Попытаемся без потери информативности представления несколько упростить вид исходного представления.

1. Для ликвидации начального фазового сдвига, синусоиду можно представить в виде аддитивного разложения на элементарные функции косинуса и синуса той же исходной частоты, т.е.

, где

a1 = ?cos?; a2 = ?sin?;

.

2. Рассматривая пары функций косинуса и синуса одинаковой частоты ?, представим её как , где j=0, 1…- целые номера гармоники. Сами сопряженные тригонометрические функции в свою очередь примут следующий вид: , . Эти тригонометрические функции имеют период (и рабочую частоту ), в чем не трудно убедиться:

,

.

Итак, рассмотрим представленные функции (2.3.7) с учетом возможных отмеченных выше преобразований 1 и 2, а также учитывая влияние на модификацию преобразования номера текущей гармоники j:

Для первой гармоники ряда j=0 имеем:



.

Таким образом, первая пара компонент функции (2.3.7) примет вырожденный вид: ?0(t) = 1.

Далее для гармоник j=1, 2, представление компонент стандартно (всего (m-2) функций) и имеет вид:



.

Так, например, при j=1 имеем:



и т.д.

В последнюю гармонику с номером войдут функции:





Таким образом, последняя m-я пара компонент функции (2.3.7) принимает так же вырожденный вид:

?m-1(t) = (-1)t.

Т.о., окончательно имеем регрессию на тригонометрические функции следующего вида:

(2.3.8), где

?t – случайная составляющая ряда (M?t = 0, );

Нетрудно показать, что если длина периода - m нечетна, то, слагаемое функции (2.3.8) исчезает.

В результате всех преобразований мы получили линейную регрессию на элементарные тригонометрические функции синуса и косинуса, где а0…аm-1 – неизвестные параметры, а cos(?t) и sin(?t) – независимые вектора матрицы входных переменных задачи.

Для оценки параметров модели (2.3.8) воспользуемся известным соотношением:

(2.3.9), где

Z – расширенная матрица экзогенных переменных задачи;

Y – вектор эндогенной переменной задачи.

Для большей наглядности дальнейших преобразований полезно представлять содержательно структуру данных матрицы Z, изобразим ее на рисунке 3

.Рисунок 3. Структура расширенной матрицы экзогенных переменных Z

Для применения стандартной процедуры оценки параметров линейной регрессии (2.3.9) следует найти значения ZTZ и ZTY. Зная структуру матрицы экзогенных переменных Z, нетрудно заметить, что отыскание этих значений сводится к поиску значения сумм:

.

Найдем их. Для этого воспользуемся известными соотношениями для определения экспонент с комплексным аргументом:



Следствием приведенных соотношений являются известные формулы Эйлера:



Для проведения дальнейших вычислений определим сумму:
, где



Рассмотрим S1 и S2 (значения этих сумм зависят от соотношения значений индексов гармоник j и k). Заметим также, что сумма S может состоять из двух частей: вещественной и мнимой.

1). Пусть j?k.

Представим S1 в виде суммы m членов геометрической прогрессии .

Очевидно, что перед нами геометрическая прогрессия с начальным членом и таким же значением знаменателя. Следовательно, её сумму можно представить следующим образом:

(2.3.10).

В силу того, что числитель суммы (2.3.10) дроби равен 0, значение S1=0. Аналогично, не трудно показать, что S2=0. Следовательно, в случае, когда j?k S=0.

2). Для ситуации одинаковых индексов гармоник j и k, при условии, что легко получаем: S1=0; S2=m, т.е. .

3)  Если индексы гармоник равны и имеют их крайние значения, т.е. , имеем:

.
Таким образом, S=m.

Итак, окончательно получим:



Т.к. во всех случаях (1), (2), (3) значения S – вещественные, а не мнимые числа, то




Кроме того, нетрудно показать, что

.

Аналогично приведенным выше вычислениям, можем получить:

.

Все сделанные выше вычисления дают возможность легко воспользоваться формулой (2.3.9) для оценки параметров тригонометрического тренда с помощью метода наименьших квадратов. При этом промежуточные расчеты дают возможность получить следующие значения:



Таким образом, если то в окончательном виде значения вектора оценок параметров тригонометрического тренда (2.3.8) принимает следующий вид.

;













.

Проведем дисперсионный анализ результатов нашего эконометрического оценивания. Попытаемся найти ответ на вопрос о существенности, построенной регрессионной модели в целом и отдельных ее параметров.

Сформулируем основную оцениваемую гипотезу следующим образом: , альтернативную: . Таким образом, если статистическое тестирование покажет принятие нулевой гипотезы, то циклическая составляющая временного ряда может быть признана не существенной, т.е. в практике построения прогноза ей можно пренебречь.

Ранее было показано, что , где

,

,

.

С учетом того, что без потери информативности вектор эндогенной переменной в рамках рассматриваемой модели может быть центрирован с тем, чтобы , в нашем случае имеют место следующие соотношения:

, т.е. .

Проверку H0 можно осуществить с помощью известного критерия Фишера, для этого следует сравнить значения его расчетного и критического уровней для заданной величины уровня значимости , т.е.:

и .

Если Fp Fкр, то H0 отвергается, т.е. циклическая составляющая существенна и результаты оценивания циклической составляющей временного ряда могут быть использованы для изучения ее прогностической пригодности.

Покажем, как можно практически оценитьс учетом ранее полученных результатов оценивания сумм рядов синусов и косинусов соответствующих частот.

Отдельно оценим значения компонент полученной суммы.

;

;





Аналогично не трудно показать, что .

Таким образом, окончательно сумма квадратов отклонений циклической составляющей от средней по ряду составит:



Провести проверку на значимость отдельных коэффициентов функции циклического тренда можно, например, на базе t-критерия Стьюдента либо критерия ?2. Как проверить на значимость частные коэффициенты циклического тренда?

1). Проверка по t-критерию осуществляется традиционным способом, путем сравнения расчетного и критического уровней t-статистики для интересующего i-го параметра уравнения регрессии т.е., и .

2). Проверка на значимость всех коэффициентов, кроме 0-го и (m-1)-го слагаемого функции (2.3.8) может осуществляться путем оценивания существенности соответствующей j-й гармоники.

Проверка основной гипотезы Но: ?j=0 () проводится на основе критерия ?2 (; ) или критерия Фишера (; ).

Построение доверительного интервала прогноза на основе циклического тренда на заданный период tp требует оценки дисперсии случайной по динамическому ряду yt, а также дисперсии тренда, т.е.



1). Дисперсия случайной по динамическому ряду yt оценивается следующим образом:

; .

2). Вычислим дисперсию прогноза по тренду:



.

С учетом полученных ранее значений оценок циклического тренда получим следующий результат:



Аналогично .

Таким образом, дисперсия модели прогнозирования может быть представлена следующим образом:



Тогда общая дисперсия ошибки прогноза примет вид:



Окончательно оценку доверительного интервала прогноза можно провести следующим образом:

.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Инструкция пользователя. 23
Разработка методов информационного поиска на основе методов интеллектуального анализа данных. 8
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Автоматизированная система планирования объёмов продаж на основе прогнозирования спроса
На тему: Автоматизированная система планирования объёмов продаж на основе прогнозирования спроса
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Особенности применения методов DirectX для испытания стадий сжатия сигнала цифрового телевидения
Были разработаны методы реализации программных приложений с отображением результатов исследований на экране компьютера в ре­альном...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Программа aMoSe
Разработка инструментария для прогнозирования мирового спроса с использованием аппарата нейронных сетей и марковских процессов (на...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Лаак Я. тер Л01 Психодиагностика: проблемы содержания и методов
Л01 Психодиагностика: проблемы содержания и методов.— М.: Издательство «Институт практической психоло­гии», Воронеж: нпо «модэк»,...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Контрольная работа по дисциплине эконометрика выполняется для приобретения...
При самостоятельном изучении дисциплины следует руководствоваться рабочей программой дисциплины эконометрика для студентов направлений...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Реферат по “Безопасности в чс” на тему: “ Теория риска и ее применение...
Государственное регулирование в области снижения рисков и смягчения последствий чс. 9
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Прогнозирование как задача ИсСледования операций
Для его производства следует применять в сочетании различные методы прогнозирования, которых на сегодняшний день существует огромное...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Прогнозирование банкротства: основные методики и проблемы
Более того, нет единого источника, который бы описывал большинство известных методик. Цель данной статьи дать краткий обзор основных...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Контрольные вопросы к экзамену
Библия в детском чтении. Ветхий завет, его интерпретация для дошкольников и школьников. Особенности изучения. Новый завет, специфика...
Литература


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
literature-edu.ru
Поиск на сайте

Главная страница  Литература  Доклады  Рефераты  Курсовая работа  Лекции