2 Особенности эконометрических методов прогнозирования




Скачать 2.57 Mb.
Название 2 Особенности эконометрических методов прогнозирования
страница 5/14
Дата публикации 11.06.2014
Размер 2.57 Mb.
Тип Документы
literature-edu.ru > Экономика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
Таким образом, рассмотренный ранее пример простого экспоненциального сглаживания для модели общего вида может быть представлен как
, т.е. прогноз по константе.

Приведение модели Брауна к виду (2.3.2) позволяет определить процедуру многократного экспоненциального сглаживания. Процедура многократного экспоненциального сглаживания фактически является применением простого экспоненциального сглаживания к результатам сглаживания порядка p-1. Ее можно записать так:

,

где ,

p = 1, 2, …, n – порядок сглаживания,

- начальные значения экспоненциальных средних соответствующего порядка.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания, доказанная Брауном и Маейром [3, 36], утверждает, что между коэффициентами предсказывающего полинома и экспоненциальными средними сглаживающей модели существует связь, выраженная через постоянную сглаживания следующим образом:

.

То есть, имеются n+1 уравнение, в которых сглаженные значения выражены через линейные комбинации производных уровней .

Эта идея основана на том, что исходный ряд может быть разложен в ряд Тейлора с n+1 количеством членов:

.

В общем случае предполагается, что процесс может быть представлен как:

,

,

где - случайные отклонения с математическим ожиданием равным нулю и конечной дисперсией.

В случае, когда порядок i нулевой, мы имеем простое экспоненциальное сглаживание. Для первого порядка – линейное экспоненциальное сглаживание, для второго квадратичное экспоненциальное сглаживание и т.д. В практике, как правило, используют сглаживания порядка не выше двух. Однако конкретно, каждый раз данный вопрос решается эмпирически с учетом влияния порядка сглаживания на выбранную систему критериев качества модели, а также с учетом степени роста сложности вычислений по алгоритму.

Обратимся к более подробному рассмотрению информационных и прогностических возможностей линейного и квадратичного экспоненциального сглаживания [27, 31, 36].
Линейное экспоненциальное сглаживание

Пусть модель сглаживающего прогноза на основе модели Брауна имеет вид:

(2.3.5),

а начальные условия для сглаживающего полинома определены как:



.

Для того чтобы выразить коэффициенты и необходимо воспользоваться коэффициентами уравнения тренда , полученными методом наименьших квадратов.

Тогда экспоненциальные средние моделей первого и второго порядков могут быть оценены как:

,

.

Оценки параметров коэффициентов модели (2.3.5) составят:

,

.

Окончательно точечный прогноз по модели экспоненциального среднего первого порядка на момент времени T:

.

Оценить модельную дисперсию можем по формуле:

, где

- среднеквадратическая ошибка отклонения от линейного тренда, которую определяем из формулы:

.
Квадратичное экспоненциальное сглаживание

Пусть модель сглаживания прогноза по модели Брауна имеет вид:

,

а начальные условия для сглаживающего полинома заданы следующим образом:

,

,

.

Тогда экспоненциальные средние первого, второго и третьего порядков могут быть подсчитаны по следующим формулам:

,

,

,

а оценки коэффициентов модели могут быть оценены из следующих соотношений:

,

,

.

Окончательно точечный прогноз по модели экспоненциального среднего второго порядка на момент времени T:

.

Ошибка модели прогноза находится по формуле:

,

где - среднеквадратическая ошибка отклонения от квадратичного тренда, которую определяем по формуле:

,

где n – количество членов в исследуемом ряду.
Метод Хольта

С развитием экспоненциального сглаживания стали появляться новые модели, основанные на тех же принципах адаптации, что и модели экспоненциального сглаживания [3, 36, 63]. За исходную гипотезу построения модели Хольта берется представление о том, что имеется не только медленно развивающийся местный уровень, но также и тенденцию с медленно развивающимся наклоном. Для этой ситуации Ч. Хольтом была предложена модель, в которой прогноз осуществляется путем экстраполяции тенденции линейным трендом на тактов вперед:

, где

.

Для расчета коэффициентов тренда используется два параметра сглаживания , таких что . По своей сути они определяют характер изменчивости параметров и .

Адаптация данных параметров линейного тренда проводится по следующим формулам:



.

Начальные уровни процедуры сглаживания также рекомендуется подбирать эмпирическим путем, снижая ошибки информационной и прогностической пригодности модели.
Понятие об адаптивных принципах настройки моделей алгоритмического сглаживания

Практически все рассмотренные нами ранее алгоритмы сглаживания временных рядов, а также процедуры генерации прогнозной информации на базе этих методов, с той или иной степенью успешности реализуют принцип актуализации моделей прогнозирования. Поэтому модели алгоритмического сглаживания порядков выше нулевого и с наличием подстройки параметров модели часто именуют адаптивными моделями, а прогнозы построенными на их базе – адаптивными прогнозами. Модели данного вида отличаются от всех остальных тем, что они отражают текущие свойства ряда и способны непрерывно учитывать эволюцию изучаемого процесса, выражаемую посредством динамики временного ряда. Цель адаптивных методов заключается в построении самонастраивающихся (корректирующихся) экономико-математических моделей, которые отражают меняющиеся во времени условия функционирования, учитывают неодинаковую ценность различных членов временного ряда для настоящего момента времени.

В связи с принципами формальной организации процедур подстройки параметров моделей, способы адаптации условно можно разделить на алгоритмические и эвристические. Наибольшего качества в своем развитии адаптационные механизмы находят в нейросетевых, генетических и гибридных технологиях моделирования и прогнозирования.

Последовательность процедуры адаптации моделей может быть представлена следующим образом.

  1. Генерация параметров исходной прогнозирующей модели, исходя из наличия ретроспективной информации.

  2. Генерация прогноза на прогнозирующей модели.

  3. Проверка точности прогноза (по факту события либо на тесовом множестве).

  4. Подстройка параметров прогнозирующей модели с помощью компенсирующего воздействия.

Наиболее распространенными алгоритмическими способами адаптивного прогнозирования являются [36, 63, 68, 75, 76, 80, 83]:

  • метод экспоненциального сглаживания (модель Брауна);

  • метод Хольта-Уинтерса (Хольта);

  • адаптивная модель сезонности Тейла-Вейджа и др.

Эффективность практического применения адаптивных прогнозов связана с решением проблемы повышения адаптивных свойств оцениваемых моделей, т.е. ускорением реакции прогнозирующей системы на внезапные изменения значений изучаемого временного ряда. При этом изначально “логика” механизма адаптации задаётся априорно, а затем эмпирически проверяется.

Быстрота реакции полученной искусственной системы характеризуется параметрами адаптации, например, в рамках модели Брауна это осуществляется путем эффективной подстройки параметра . Процесс “обучения” модели состоит выборе наилучшего параметра адаптации на основе серии проб в пределах имеющегося ретроспективного материала (обучающей и тестирующей выборок). Скорректированная таким образом модель является более гибкой в сравнении с исходной, однако не является универсальным инструментом прогнозирования.

Критериями прогностической полезности адаптивной модели обычно являются стандартные критерии оценки качества прогноза, например, среднеквадратичная ошибка прогноза .

В общем случае, говоря о повышении адаптационных свойств модели, имеется в виду способность модели:

- своевременно выявить момент наступления изменений тенденции во временных рядах;

- быстро надлежащим образом модифицировать параметры модели.

Таким образом, решение этих проблем в первую очередь связано с обоснованным выбором критериев качества прогноза. Требования к подобного рода индикаторам следующие: обладание достаточной чувствительностью к устойчивым изменениям тенденций и минимальная реакция на случайные колебания в динамике рядов. В теории адаптивного прогнозирования эти индикаторы носят специальное название - следящих сигналов или трекинг-сигналов. Хронологически наиболее известными и часто используемыми настроечными трекинг-сигналами являются индикаторы Браун и Тригга, а также производные от них [36, 83]. Поясним принципы их конструирования.

1.) Индикатор Брауна

, где

- абсолютное значение ошибки прогноза на период времени t ;

- период, за который осуществляется прогноз;

абсолютное значение ошибки прогноза, сглаженное методом экспоненциального сглаживания с параметром ,



Процедура использования алгоритмически проста:

  • задаётся минимальное пороговое значение ,

  • проверяется соотношение между и .

Если - используется построенная модель, в случае - корректируется параметр модели Брауна.

Очевидно, предложенный индикатор не лишён недостатков:

а). При выходе за обозначенную границу, назад он не возвращается, несмотря на то, что система прогнозирования может уже работать в нормальном режиме. Следовательно, величину суммарной ошибки числителя постоянно необходимо контролировать во избежание ошибочных сигналов.

б). Если с какого-то момента времени система будет давать абсолютно точный прогноз, также может выйти за отведенные границы (т.к. в пределе он будет стремиться к бесконечности).

2.) Индикатор Тригга.

,где величина , именуемая сглаженной ошибкой сигнала, определяется из соотношения



Понятно, что индикатор лишен недостатков критерия Брауна и лежит в границах от -1 до 1. Крайние границы достигаются только, когда ошибки постоянно имеют один знак. Обычно для практики вычислений [61] рекомендуется подбирать параметры сглаживания , при этом желательно, чтобы выполнялось соотношение: .

2.3.3.2. Аналитические методы сглаживания временных рядов
Обнаружение исследователем факта присутствия во временном ряду вековой составляющей делает насущной задачу оценки параметров модели тренда. Т.е., модели вида , где

- «вековой уровень», тренд, или систематическая составляющая (неслучайная функция времени) ряда (далее здесь - f(t));

 - несистематическая случайная составляющая ряда с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Обычно в ходе применения процедур выделения тренда из уровней временного ряда предполагается, что разница между фактическим значением уровня и трендом может включать в себя в самом общем случае циклическую, сезонную компоненты, а также случайные колебания.

В этой связи желательно сузить круг допустимых аппроксимирующих кривых. Можно попытаться оценить тенденцию визуально, однако, как правило, это приводит к качественным суждениям типа: «Наблюдается рост». Или в лучшем случае: «Наблюдается плавный рост». Более конструктивно вид функции тренда подбирают исходя из типа роста исследуемого процесса, опираясь на предварительно рассчитанные показатели абсолютного цепного прироста и ускорения. Несмотря на многообразие реальных экономических процессов, динамические характеристики которых могут существенно отличаться друг от друга, ограничить класс функций можно, отобрав те, которые отражают особенности динамики показателя, прежде всего тип развития. На практике различают четыре основных типа экономического роста (аналогичная классификация может быть применена и для динамических рядов со снижающимися значениями абсолютного цепного прироста [26, 57]):

I – постоянный рост (с постоянным или близким к нему абсолютным цепным приростом);

II – увеличивающийся рост (с увеличивающимся абсолютным цепным приростом);

III – уменьшающийся рост (с уменьшающимся абсолютным цепным приростом);

IV – рост с качественными изменениями динамических характеристик на протяжении исследуемого периода.

Для каждого типа роста наиболее часто в практике экономических исследований встречаются следующие виды функций трендов.

I тип роста

  1. Линейная функция: f(t)= ?0+?1t.

  2. Линейно-гиперболическая функция: f(t)= ?+?t+?/t, где ?>0; ?>0.

  3. Линейно-логарифмическая функция 2-го порядка:

f(t)= ?0+?1ln(t)+ ?2ln2(t),

где ?1>0; ?2>0.

II тип роста

  1. Показательная функция: f(t)= ?(1+?)t, где ?>0; ?>0.

  2. Парабола 2-го порядка: f(t)= ?0+?1t+?2t2, где ?1>0; ?2>0.

  3. Парабола 3-го порядка: f(t)= ?0+?1t+?2t2+?3t3,

где ?1>0; ?2>0; ?3>0.

  1. Обобщенная функция: f(t)=,

где ?(?) - линейная, параболическая или другая функция, ? >0.

III тип роста

  1. Степенная функция: f(t)= ?t?, где ?>0; 0

  2. Линейно-логарифмическая функция: f(t)= ?0+?1ln(t), где ?1>0.

  1. Парабола 2-го порядка: f(t)= ?0+?1t+?2t2, где ?1>0; ?2>0.

  2. Гипербола 1-го порядка: f(t)= ?0+?1/t, где ?1

  3. Гипербола 2-го порядка: f(t)= ?0+?1/t +?2/t2 , где ?12

  4. Модифицированная экспонента: f(t)=?+?e-t, где ?

IV тип роста

  1. Линейно-логарифмическая функция 2-го порядка:

f(t)= ?0+?1ln(t)+ ?2ln2(t),

где ?1>0; ?2>0.

  1. Парабола 3-го порядка: f(t)= ?0+?1t+?2t2+?3t3,

где ?1>0; ?2>0; ?3>0.

  1. Логистическая функция: f(t)=, где ?> 0; ?>0; ?>0.

  2. Первая функция Торнквиста: f(t)=, где ?>0; ?>0.

  3. Кривая Гомперца: f(t)=???t, где ?>0; ?>0; ?>0.

Для анализа особенностей трендовых моделей применимы следующие предельные (непрерывные) характеристики развития:

  1. непрерывный абсолютный прирост: = dQ(t)/dt;

  2. непрерывный темп прироста: ;

  3. непрерывное абсолютное ускорение: ;

  4. непрерывное относительное ускорение: .




                  1. Оценивание параметров функции линейного тренда

                  Оценка параметров трендовых моделей может быть осуществлена методом наименьших квадратов или методом минимизации суммы модулей отклонений (для линейных и линеаризуемых моделей), градиентным методом, методом Гаусса-Ньютона или методом Марквардта (для нелинейных моделей). В общем случае при оценивании нелинейных трендовых зависимостей используют чаще всего последний метод. Однако использование этих методов наталкивается на ряд трудностей, одна из которых - выбор подходящей точки начального приближения. Поэтому задачу оценивания на практике все же пытаются свести к задаче оценки линейной регрессии. Поэтому обоснованным является использование известного [25, 31, 32и др.] соотношения

                  (2.3.6)

                  для оценки параметров модели. Где вектор У - не что иное как исходный динамический ряд уt , а матрица Z (расширенная матрица независимых экзогенных наблюдений) состоит из единичного вектор-столбца и вектора времени (в случае простой линейной связи). Исходя из результатов интервального оценивания прогноза, построенного для случая многофакторной регрессии (см. соответствующий раздел Учебного пособия), в основу формулы доверительного интервала прогноза по тренду берется соотношение

                  , так что ,

                  где в случае простой линейной зависимости компоненты вектора xp заменяются компонентам будущего вектора времени - tp, либо производным от него. Ввиду последнего факта особо важное значение приобретает вопрос адекватных преобразований нелинейных трендовых зависимостей в линейные.

                  Как правило, линеаризации добиваются путем введения дополнительных переменных иногда с применением к исходной трендовой модели специальных преобразований типа логарифмирования, разложения функции в ряд и т.п. Рассмотрим способы типичных преобразований в некоторых частных задачах оценки параметров нелинейной функции f(t) [25].


                              1. Оценка параметров наиболее употребляемых трендов

                              1. Полином m-го порядка: f(t)=

                              Уравнение модели имеет вид:

                              где , - оцениваемые параметры тренда. Если осуществить в модели нелинейного тренда подстановку tj = xj, т.е. подать на вход модели вместо вектора времени матрицу экзогенных переменных Х вида:



                              После чего исходная нелинейная модель приобретает вид линейной зависимости от х.

                              2. Гиперболическая функция m-го порядка:

                              Способ сведения к линейной регрессии аналогичный: матрица Х имеет вид:



                              3. Линейно-логарифмическая функция m-го порядка:

                              Способ сведения к линейной регрессии аналогичный: матрица Х имеет вид:



                              4. Линейно-гиперболическая функция:

                              Эта модель сводится к линейной регрессии от двух независимых переменных. Способ сведения аналогичный; матрица Х имеет вид:



                              5. Модифицированная экспонента: .

                              Эта модель сводится к линейной регрессии от 1 независимой переменной. Способ сведения аналогичный; матрица Х имеет вид:



                              Для следующих трендов к моделям будут применяться преобразования, нарушающие предположения о случайных отклонениях (п.3.3.2). Поэтому полученные оценки окажутся смещенными. Результаты п.п. 3.3.2 - 3.3.4 здесь также могут быть сильно искажены. Покажем это на примере следующего тренда.

                              6. Первая функция Торнквиста:

                              Уравнение модели имеет вид:

                              Оно легко трансформируется в следующий вид:



                              Затем можно сделаем подстановку: х1 = t, x2 = t yt. Коэффициенты линейной регрессии обозначим: Получим следующую модель: где

                              Коэффициенты модели оценивают при помощи МНК. После этого получают оценки a и b параметров исходной модели (? и ? соответственно):



                              Проверим, выполняется ли ансамбль предположений о характере распределения случайных отклонений оцененной модели.

                              1). Математическое ожидание случайной составляющей:



                              Предположение выполняется.

                              2). Оценим M?t1 ?t2, t1?t2 , т.е. ковариацию случайных:



                              Предположение выполняется.

                              3). Дадим оценку дисперсии случайной, т.е. D?t:



                              Очевидно, что, предположение не выполняется, поскольку D?t1 ? D?t2. Таким образом, оценки полученной модели являются смещенными.

                              Предполагается, что для следующих трендов подобный анализ читатель в состоянии провести самостоятельно. Для упрощения продолжим преобразования трендов, не учитывая случайных воздействий.

                              7. Степенная функция .

                              Имеем уравнение , логарифмируя его, имеем:



                              Получилось уравнение линейной регрессии, где зависимой переменной является , а независимой - lnt, свободным членом - . Параметр получаем, зная оценку .

                              8. Показательная функция .

                              Имеем уравнение , логарифмируя которое, получим:

                              .

                              Имеем уравнение линейной регрессии, где зависимой переменной является , независимой - t. Параметры ? и ? получаем, зная оценки и .

                              9. Обобщенная экспонента .

                              Имеем уравнение где может быть линейной, параболической или другой функцией. Пусть это линейная функция: .

                              Имеем: . Логарифмируя последнее уравнение, получаем:

                              .

                              Это уравнение линейной регрессии, где зависимой переменной является , а независимыми - t и t2. Применяя МНК, получаем оценки , ? и , откуда находим оценки исходных параметров.

                              10. Кривая Гомперца: .

                              Имеем уравнение , логарифмируя которое получаем: .

                              Это еще не линейная регрессия. Но если бы было известно значение ?, зависимой переменной можно было бы принять , а независимой - , т.е. получилась бы линейная регрессия. На этом основан алгоритм нахождения параметров. Изменяя значения ? (остальные параметры находят при помощи МНК), добиваются минимизации суммы квадратов отклонений от регрессии.

                              11. Логистическая кривая: .

                              Имеем уравнение , откуда путем очевидного преобразования получаем:

                              .

                              Аналогично предыдущему тренду, фиксируя ?, получаем линейную регрессию, где зависимая переменная – 1/yt, а независимая - . Изменяя параметр ? (остальные параметры находят при помощи МНК), добиваются минимизации суммы квадратов отклонений от регрессии.

                              Таким образом, имея эффективное программное обеспечение МНК для линейной регрессии, можно построить любой выбранный тренд.


                                          1. Построение интервального прогноза на нелинейных трендовых моделях


                                          При использовании в качестве аппроксимирующих функций нелинейных трендовых зависимостей, сведенных предварительно к линейному виду, исследователь должен четко осознавать, что оценки параметров тренда, как и оценка прогноза, требуют осознанной и грамотной их интерпретации [25, 26, 68].

                                          Если для национального дохода (или любого другого показателя) построена трендовая модель вида произвольного вида, то прогнозирование его среднего значения в любой момент времени T – это просто вычисление f(T).

                                          Однако этого недостаточно. Необходимо сопроводить прогноз среднего значения расчетом доверительного интервала (с заданной доверительной вероятностью). Поскольку любой тренд восстанавливается при помощи сведения к линейной регрессии, для вычисления доверительного интервала следует воспользоваться известной формулой.

                                          Это можно пояснить на примере построения доверительного интервала прогноза, например, если в качестве тренда использована показательная функция

                                          Как уже было показано, ее параметры оценивают сведением к линейной регрессии при помощи логарифмирования:



                                          По формуле (2.3.6) находим доверительный интервал для (а не для ). Окончательно имеем:



                                          Тогда в соответствии с формулой (2.3.1)



                                          откуда



                                          Действуя аналогично, можно найти формулы доверительных интервалов и для других трендов [68, c.173-175].
                                          1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

                                          Похожие:

                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Инструкция пользователя. 23
                                          Разработка методов информационного поиска на основе методов интеллектуального анализа данных. 8
                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Автоматизированная система планирования объёмов продаж на основе прогнозирования спроса
                                          На тему: Автоматизированная система планирования объёмов продаж на основе прогнозирования спроса
                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Особенности применения методов DirectX для испытания стадий сжатия сигнала цифрового телевидения
                                          Были разработаны методы реализации программных приложений с отображением результатов исследований на экране компьютера в ре­альном...
                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Программа aMoSe
                                          Разработка инструментария для прогнозирования мирового спроса с использованием аппарата нейронных сетей и марковских процессов (на...
                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Лаак Я. тер Л01 Психодиагностика: проблемы содержания и методов
                                          Л01 Психодиагностика: проблемы содержания и методов.— М.: Издательство «Институт практической психоло­гии», Воронеж: нпо «модэк»,...
                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Контрольная работа по дисциплине эконометрика выполняется для приобретения...
                                          При самостоятельном изучении дисциплины следует руководствоваться рабочей программой дисциплины эконометрика для студентов направлений...
                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Реферат по “Безопасности в чс” на тему: “ Теория риска и ее применение...
                                          Государственное регулирование в области снижения рисков и смягчения последствий чс. 9
                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Прогнозирование как задача ИсСледования операций
                                          Для его производства следует применять в сочетании различные методы прогнозирования, которых на сегодняшний день существует огромное...
                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Прогнозирование банкротства: основные методики и проблемы
                                          Более того, нет единого источника, который бы описывал большинство известных методик. Цель данной статьи дать краткий обзор основных...
                                          2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Контрольные вопросы к экзамену
                                          Библия в детском чтении. Ветхий завет, его интерпретация для дошкольников и школьников. Особенности изучения. Новый завет, специфика...
                                          Литература


                                          При копировании материала укажите ссылку © 2015
                                          контакты
                                          literature-edu.ru
                                          Поиск на сайте

                                          Главная страница  Литература  Доклады  Рефераты  Курсовая работа  Лекции