2 Особенности эконометрических методов прогнозирования




Скачать 2.57 Mb.
Название 2 Особенности эконометрических методов прогнозирования
страница 4/14
Дата публикации 11.06.2014
Размер 2.57 Mb.
Тип Документы
literature-edu.ru > Экономика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий


Этот критерий «улавливает» постепенное смещение среднего в исследуемом распределении не только монотонного, но и более общего характера, например, периодического и является одним из самых надежных признаков обнаружения тенденций скрытых в динамических рядах.

Пусть имеется выборка , отобразим ее свойства в символьном множестве из (n+1) элемента, где на i-ом месте ставится плюс, если , и минус, если (если два или несколько следующих друг за другом наблюдений равны между собой, то принимается во внимание только одно из них). Очевидно, последовательность подряд идущих плюсов будет соответствовать тогда количественному возрастанию результатов наблюдения, а последовательность минусов – их убыванию. Если же рассматриваемая выборка окажется случайной, то в образованной таким образом последовательности знаков общее число серий однотипных символов не может быть слишком малым, а их протяженность – слишком большой.

При уровне значимости расчетное количественное выражение этого правила имеет вид: ,

,

где под и понимается соответственно фактическое общее число серий и количество подряд идущих полюсов или минусов в самой длинной полученной серии, а величина табулируется и определяется на основе следующий таблицы.

n






n<=26

5

26

6

153

7

Если хотя бы одно из неравенств окажется нарушенным, то гипотезу о случайности выборки следует отвергнуть.
2.3.3. Моделирование и прогноз временных рядов

методами сглаживания
Следующим шагом в исследовании свойств ряда динамики является обнаружение характера его тенденций с последующей пролонгацией таковой в будущее, если конечно тенденция существует. При решении такого рода задач исследователь может воспользоваться хорошо разработанным инструментарием сглаживания временных рядов, методы которого условно можно разделить на две группы:

  • аналитические, при использовании которых заранее предполагается вид зависимости, описывающей тенденцию ряда, с последующей оценкой параметров модели сглаживания;

  • алгоритмические, которые не предполагают априорных знаний сглаживающей кривой, ориентируясь лишь на алгоритм расчета сглаженных уровней ряда.

Как правило, самым распространенным способом восстановления оценок априорно заданной модели временного ряда является МНК, используемый в рамках однофакторной либо многофакторной регрессионной модели [1, 4, 11, 13, 19, 25, 25, 31, 32, 52, 68, 69 и др.]. К алгоритмическим методам выделения тенденции ряда относят различные алгоритмы усреднения данных по ряду [25, 31, 32, 36, 68, 69 и др.].

В любом случае, вне зависимости от группы методов выбранных исследователем, они базируются на одном и том же постулате: сглаживающая кривая должна быть так построена, чтобы, сохраняя основную тенденцию ряда уменьшить диапазон его колебаний, т.е. дисперсию фактического ряда.

Сглаживающие модели временных рядов позволяют довольно успешно справляться с обоснованием и конструированием безусловных прогнозов развития разнообразных социально-экономических явлений. При этом ясно, что построение точечного прогноза носит понятный механический характер при удовлетворительных результатах идентификации и оценки модели развития.

Для отыскания прогнозного интервала предсказания поведения ряда с заданным уровнем значимости и соответствующим числом степеней свободы будем использовать тот факт, что величина ошибки прогноза, т.е. , в любой точке x также имеет нормальный (близкий к нормальному) закон распределения.

В этом случае среднее значение случайной составит: , а дисперсия ряда соответственно .

Таким образом, для получения удовлетворительного интервального прогноза искомой величины на заданную дату либо за предусмотренный промежуток времени необходимо рассчитать дисперсию ошибки прогноза , которая будет складываться из модельной дисперсии и дисперсии случайной по ряду, то есть иначе мы можем записать:

.

Здесь xp – прогноз экзогенных переменных модели.

Имея в виду возможность проведения для данного динамического ряда оценки дисперсии (s2) случайной составляющей временного ряда, т.е. , и оценить модельную дисперсию , значение которой определяется спецификой конкретного модельного представления систематической составляющей ряда, можем получить оценку среднеквадратической ошибки прогноза, которая составит .

При этом, как известно, величина среднеквадратической ошибки ряда может быть оценена по формуле:

, где

- сглаженное значение ряда;

- число степеней свободы.

Соответственно, интервальный прогноз рассчитываем как точечный прогноз плюс минус среднеквадратическая ошибка прогноза, умноженная на t-статистику Стьюдента с заданным уровнем значимости и соответствующим числом степеней свободы, определяемых из числа уровней исследуемого ряда за вычитанием количества параметров сглаживающей модели. Таким образом, окончательно интервальный прогноз временного ряда на l периодов вперед можно оценить следующим образом:

(2.3.1) , где

- значение точечного прогноза динамики ряда на (N+l)-й момент времени.
2.3.3.1. Алгоритмические методы сглаживания

временных рядов
К классу алгоритмических методов выявления тенденций во временных рядах относятся разнообразные процедуры усреднения данных по ряду, т.е. построению их сглаженных усредненных значений. Способ усреднения ряда, как правило, и определяет наименование метода. В практике эконометрического моделирования алгоритмические методы сглаживания могут применяться с двумя целями:

  • выявление общей тенденции развития ряда;

  • прогнозирование тенденции в ряду.

Наиболее широкое применение методы алгоритмического сглаживания находят либо в условиях, когда исследователь имеет дело с так называемыми короткими рядами, либо в условиях высокой нестабильности, хаотичности исследуемой системы, что впрочем, по последствиям, практически адекватно предыдущему случаю.

Методы сглаживания отличаются от традиционно используемых современных методов эконометрического моделирования. Они, например, не требуют подбора "оптимальной модели, " и они вообще не производят "оптимальные прогнозы". Скорее, они просто способ, объясняющий компьютеру как провести сглаженную линию через данные и экстраполировать ее разумным способом, также как мы сделали бы это вручную, исходя из неких интуитивно-визуальных соображений.

При использовании алгоритмических методов сглаживания, мы не пытаемся найти модель, которая лучше всего описывают данные; скорее, мы подгоняем предопределенную модель к данным. Некоторые ученые по этой причине не любят методы сглаживания, однако, они использовались успешно много лет и по серьезным причинам. Эти методы наиболее полезны в ситуации, когда более «мудрые» методы моделирования не могут использоваться. Во-первых, доступные выборки данных иногда очень маленькие. Предположим, например, что мы должны произвести прогноз, основанный на выборке ретроспективных данных, содержащих только четыре наблюдения. Эта ситуация кажется чрезвычайной, но она возникает иногда в практических случаях, например, при прогнозе продаж нового продукта на рынке товаров или услуг. Здесь, число степеней свободы мало настолько, что невозможно оценить значимость любой подобранной модели. Методы алгоритмического сглаживания в предельном случае, напротив, не требуют никакой оценки, или минимальной оценки.

Во-вторых, задача при прогнозировании иногда огромна. Предположим, например, что каждую неделю мы должны предсказать цены огромного числа сырья, материалов и комплектующих некого продукта, например авиалайнера. Снова, такие предположения чрезвычайны, но они происходят на практике. В таких предположениях, даже если ретроспективные данные обширны (хотя в общем случае, конечно, они могут и не быть такими), то нет просто никакого способа обеспечить достаточное внимание, требуемое для оценки и обслуживания множества различных моделей прогноза. Методы сглаживания, напротив, требуют небольшого внимания. Они - один из примеров того, что иногда называют "автоматическими" методами прогноза, и они часто полезны при прогнозировании на основе обширных, часто обновляющихся данных.

Наконец, методы сглаживания производят оптимальные прогнозы в некоторых условиях, которые, оказывается, глубоко связаны с присутствием единичных корней в ряде, по которому строится прогноз, т.е. его скрытыми математическими свойствами. Кроме того, более обоснованные методы производят оптимальные прогнозы только при известных условиях, типа правильной спецификации модели для прогноза.

В заключение следует сказать, что построение доверительных интервалов прогнозов, построенных методами алгоритмического сглаживания, скорее дань традиции, чем строго обоснованная процедура. Процедура их подсчета часто несет в семе элементы эвристик. Рассматриваемые методы могут производить оптимальные точечные прогнозы при некоторых специальных процессах получения данных, но обычно в общем случае мы не предполагаем, что специальные процессы получения данных действительно присутствуют. Вместо этого, методы алгоритмического сглаживания используются как "черные ящики", чтобы произвести точечные прогнозы без попытки выявить стохастическую структуру данных, без выявления наиболее подходящей модели, которая могла бы использоваться, чтобы произвести вероятностно обоснованный надежный интервальный прогноз или прогнозы плотности распределения в дополнении к точечному прогнозу. Однако в дальнейшем будут даны практические рекомендации по оценке доверительных интервалов прогноза, по крайней мере, на один шаг упреждения.
Методы взвешенного скользящего среднего

Общая идея этих методов заключается в том, что мы выбираем интервал сглаживания m (m, в предельном случае m=N, но по понятным соображениям, далее будем полагать, что m<
Обозначим исходные данные или yt и сглаженные или или . Запишем общий вид расчетной формулы точечного прогноза для взвешенных значений временного ряда yt:

,где

- взвешенное значение для t-го уровня ряда, .

- является весом для i-го значения интервала сглаживания при условии, что .

Обычно сглаженное значение, в зависимости от процедуры может относиться к середине интервала, к последнему моменту времени рассматриваемого интервала (т.н. адаптивное сглаживание), либо к первому моменту времени, последующему за охваченным интервалом сглаживания.

Очевидно, что при таком расчете исходный ряд укорачивается на 2p-значений. Как уже отмечалось, интервал сглаживания может содержать как четное, так и нечетное количество членов. Нечетное количество членов, если так можно сказать удобнее, так как в этом случае сглаженное значение легко сопоставляется фактическому моменту времени. Если же сглаживание производится четным интервалом (это может быть необходимым, например, при расчете среднеквартальных годовых, среднемесячных недельных и так далее), когда в силу естественных причин мы не можем выбрать нечетный интервал, тогда сглаженное значение оказывается между фактическими уровнями ряда [3]. Например, для значения t рассчитываем сглаженное значение (берем фактические уровни с t-p по t+p интервал сглаживания m=2p). В итоге получаем, что наше расчетное значение лежит между уровнями t-1 и t. Определим этот момент, как (обозначим за половину единичного такта). Тогда значение для t-го уровня находится как среднее из сглаженных значений ряда для t и t+1 уровня, то есть можно записать:



Стоит заметить, что вопрос выбора длины интервала сглаживания касается не только четности или нечетности. Величина m влияет на сглаживающие свойства модели. Далее будет показано что, чем больше m, тем сильнее модель гасит колебания. Это следует из формулы модельной дисперсии. В то же время, увеличивая интервал сглаживания, мы увеличиваем потерю данных.

Расчет весовых коэффициентов для методов скользящих средних проводится, опираясь на предположении теории аналитических функций о том, что любая гладкая функция в ограниченном интервале (в нашем случае это 2p+1 значений временного ряда) может быть представлена полиномом степени q. Т.е. в виде .

Соответственно, значения и структура весов будут зависеть от длины интервала сглаживания и степени аппроксимирующего полинома, использованного на этом интервале. Оценки коэффициентов выбранного полинома подбираются из условия минимизации суммы квадратов отклонений значения полинома и фактического значения в данной точке.

Для примера рассмотрим процедуры оценки весов для полиномов первого и второго порядков. Это соответственно метод простого скользящего среднего и метод взвешенного скользящего среднего [3].
Метод простого скользящего среднего

Пусть для данного заданного интервала сглаживания m=2p+1 мы строим оценку фактического уровня ряда, используя полином первого порядка:

, t=1, 2, …, 2p+1.

Обычно время t в модели изменяется от начального момента к конечному. В данном случае, для упрощения записи время изменяют таким образом, чтобы нулевой уровень соответствовал центру интервала сглаживания:



Параметр t специально заменен, чтобы была возможность легче отличать новый порядок изменения времени.

Запишем условие, из которого предстоит определить оценки и :



Используя, например МНК, находим частные производные по и . Получаем следующую систему:


.

Далее, используя следствие замены, из которой и то, что оценка уровня ряда определяется в средней точке i=0, окончательно можно записать решение построенной системы в следующем виде:

.

Таким образом, рассчитанное сглаженное значение t-го уровня ряда определяется по формуле:

,

либо его можно найти, используя следующее рекуррентное соотношение:

.

Этот метод относится к наиболее простым. Его использование позволяет сгладить циклические и случайные колебания в ряду.

Следовательно, точечный прогноз на t+1 период мы получаем , то есть как последнее расчетное значение скользящей средней. Для осуществления интервального прогноза необходимо рассчитать дисперсию прогноза, которая будет складываться из дисперсии модельной и случайной в соответствии со сделанными ранее замечаниями.

Величину модельной дисперсии можем найти следующим образом:

.

Соответственно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз рассчитываем как точечный прогноз плюс минус среднеквадратическая ошибка прогноза, умноженная на t-статистику Стьюдента с заданным уровнем значимости и соответствующей степенью свободы . Таким образом, окончательно имеем

.
Обобщенное представление методов взвешенного скользящего среднего

Теперь допустим, что для данного заданного интервала сглаживания размером в m=2p+1-значений мы строим оценку фактического уровня ряда, используя полином второго порядка вида:

.

Проведем аналогичную показанной ранее замену для времени:

.

В этом случае параметры оценки коэффициентов аппроксимирующей параболы будут находиться из условия:

.

Определим частные производные данной функции по , и , приравняв их к нулю, получим следующую систему равенств.

.

Далее решив полученную систему уравнений, используя следствие замены, из которой , и то, что оценка уровня ряда определяется в средней точке усредняемого интервала i=0 можно найти следующие значения параметров аппроксимирующего полинома второй степени:



;

;

.

Таким образом, окончательно сглаженные значения ряда для каждого интервала сглаживания m могут быть найдены из следующего соотношения:



Или в общем виде:

.

Этот метод похож на предыдущий. Его отличие заключается в том, что, если при вычислении простой скользящей средней мы каждому значению интервала сглаживания придавали равный вес , то здесь для каждого значения рассчитывается свой вес. Причем вес зависит от того, насколько далеко отстоит взвешиваемый уровень от центра интервала сглаживания. Аналогичным образом рассчитываются формулы для прочих значений интервалов сглаживания. Запишем их, например, для значений m=7 и m=9:

;

.

Величину модельной дисперсии можем найти следующим образом:

,где

.

Окончательно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз, проведенный методом взвешенного скользящего среднего можно оценить следующим образом:

.
Экспоненциальное сглаживание Брауна

Довольно часто при исследовании временных рядов используют методы экспоненциального сглаживания (модели Брауна) [3, 25, 31, 36, 68. Это объясняется тем, что они позволяют более обоснованно и сбалансированно учитывать в текущем сглаженном уровне временного ряда его историю. Одна из основных особенностей этих методов заключается в том, для расчета сглаженного значения уровня t нам необходимо знать предыдущее сглаженное значение St-1 и фактическое значение временного ряда уt. В практике моделирования динамических рядов используется множество разновидностей моделей Брауна. Для примера поясним принципы построения и оценки параметров модели экспоненциального сглаживания, а также использования ее в качестве генератора прогнозной информации для т.н. простой формы модели Брауна.

Запишем формулу для расчета St - сглаженного значения для t-го уровня ряда:

(2.3.2)

где St – значение экспоненциальной средней в момент t;

St-1 – значение экспоненциальной средней в момент t-1;

- параметр сглаживания, т.н. сглаживающий фильтр.

Величина изменяется в пределах: . Вариации имеют серьезное влияние на характеристики самого сглаживания, и выбор оптимального значения зависит сразу от нескольких из них, причем противоречащих друг другу.

Первое, что необходимо отметить в сглаживании Брауна – это принципиально другое оценивание весов предыдущих значений ряда. Если записать значение сглаженного ряда St и последовательно раскрывать значения St-1, St-2, …, через предыдущие уровни ряда и так до y0=S0, используя рекуррентное соотношение (3.2), то в итоге легко получаем следующее представление исходного соотношения:

.

В итоге получаем следующее рекуррентное соотношение для вычисления усредненного значения ряда методом Брауна:

(2.3.3),

где t в данном случае число членов ряда;

y0 - является начальным уровнем временного ряда.

Вопрос о выборе начального уровня может быть решен несколькими путями. В первом случае, если имеются прошлые данные, то можно использовать среднюю арифметическую этих данных или их части. Если такими данными мы не располагаем, то в качестве нулевого уровня может быть использована средняя арифметическая нескольких начальных значений исходного ряда, либо просто первое значение ряда. Также начальное значение может быть оценено исходя из уже полученной формулы, из которой следует, что начальному значению после t итераций придается вес . Стоит отметить, что правильный выбор начального уровня может иметь существенное значение, так как заведомо неверное значение при небольшом количестве наблюдений может привести к большим ошибкам прогнозов. В этой ситуации можно придать большое значение и тем самым быстро погасить влияние нулевого уровня, но при большом снижаются сглаживающие свойства модели.

Рассмотрим полученную формулу (2.3.3). Допусти, что в нашем распоряжении достаточно большой временной ряд, т.е. , тогда значение второго слагаемого формулы (2.3.3) быстро стремиться к 0 за счет свойств сглаживаемого ряда. Соответственно, приближенная оценка t-го члена сглаженного ряда может быть получена из следующего соотношения:

(2.3.4),

то есть величина St – сглаженное значение ряда, является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом величины весов в зависимости от того насколько далеко отстоит уровень от сглаживаемого будут убывать экспоненциально, что очевидно из соотношения (2.3.4). Вес значения уровня t составит , вес для уровня t-1 , для уровня t-2 и так далее, для y0 соответственно - при бесконечно большом N.

Определим модельную дисперсию ряда, заданного соотношением (2.3.4).

.

Так как значение параметра сглаживания ряда динамики колеблется в пределах , то легко показать, что сглаженный ряд имеет то же математическое ожидание, что и исходный, но меньшую дисперсию . Также можно заметить, что, изменяя значение сглаживающего фильтра , мы влияем на силу сглаживания. Чем больше величина приближается к единице, тем более «актуальным» становиться ряд. Чем меньше параметр сглаживания, тем больше сокращается дисперсия исходного ряда.

Выбор величины постоянной сглаживания требует особого внимания. Рассмотрим критические значения , чтобы пронаблюдать, что будет происходить с процессом в этих крайних точках. Если взять , то получим , то есть адаптация модели отсутствует. Если принять , то получим , то есть модель, в которой сглаженное значение равно фактическому уровню временного ряда.

На практике подбор допустимого значения параметра сглаживания рекомендуется производить эмпирическим путем, то есть, итеративно перебирая его возможные значения и выбирая оптимальный уровень коэффициента по критерию минимизации дисперсии ошибки прогноза на тестовом наборе данных. Этот способ предлагается как наиболее достоверный. На выбор постоянной сглаживания будут влиять конкретные специфические характеристики временного ряда. Опыт исследователей показывает, что наибольшая точность при прогнозировании экономических временных рядов может быть достигнута при практически любом допустимом значении . Основываясь на опыте исследований [36] можно отметить, что в случае, когда параметр принимает значения близкие к 1, следует подвергнуть сомнению законность выбора данной модели. Так как это может свидетельствовать о наличии в ряду ярко выраженных тенденций или сезонных колебаний. Для таких рядов следует использовать другие модели, более эффективные. Стоит отметить, что на величину постоянной сглаживания также может оказывать влияние период упреждения. При увеличении периода прогноза, вероятно, следует учитывать общую тенденцию за прошлые периоды, нежели последние изменения.

Простое экспоненциальное сглаживание Брауна предполагает оценивание текущего значения одного коэффициента в прогнозной модели динамики временного ряда следующим образом

.

Окончательно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз, проведенный методом простого экспоненциального сглаживания можно оценить следующим образом:

.

Вследствие успешности практического использования этой модели она была развита Р. Г. Брауном и Р. Ф. Майером для процессов, которые описывались моделями, состоящими из многих полиномиальных членов [3, 31, 36]. За исходную гипотезу принимается то, что временной ряд описывается полиномом N порядка, а прогноз на периодов вперед будет иметь вид:

,

где коэффициенты полинома.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Инструкция пользователя. 23
Разработка методов информационного поиска на основе методов интеллектуального анализа данных. 8
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Автоматизированная система планирования объёмов продаж на основе прогнозирования спроса
На тему: Автоматизированная система планирования объёмов продаж на основе прогнозирования спроса
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Особенности применения методов DirectX для испытания стадий сжатия сигнала цифрового телевидения
Были разработаны методы реализации программных приложений с отображением результатов исследований на экране компьютера в ре­альном...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Программа aMoSe
Разработка инструментария для прогнозирования мирового спроса с использованием аппарата нейронных сетей и марковских процессов (на...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Лаак Я. тер Л01 Психодиагностика: проблемы содержания и методов
Л01 Психодиагностика: проблемы содержания и методов.— М.: Издательство «Институт практической психоло­гии», Воронеж: нпо «модэк»,...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Контрольная работа по дисциплине эконометрика выполняется для приобретения...
При самостоятельном изучении дисциплины следует руководствоваться рабочей программой дисциплины эконометрика для студентов направлений...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Реферат по “Безопасности в чс” на тему: “ Теория риска и ее применение...
Государственное регулирование в области снижения рисков и смягчения последствий чс. 9
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Прогнозирование как задача ИсСледования операций
Для его производства следует применять в сочетании различные методы прогнозирования, которых на сегодняшний день существует огромное...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Прогнозирование банкротства: основные методики и проблемы
Более того, нет единого источника, который бы описывал большинство известных методик. Цель данной статьи дать краткий обзор основных...
2 Особенности эконометрических методов прогнозирования icon Контрольные вопросы к экзамену
Библия в детском чтении. Ветхий завет, его интерпретация для дошкольников и школьников. Особенности изучения. Новый завет, специфика...
Литература


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
literature-edu.ru
Поиск на сайте

Главная страница  Литература  Доклады  Рефераты  Курсовая работа  Лекции