2.3 Дискретизация по пространству. Метод конечных объемов
Решение осуществляется на основе осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса с искусственной сжимаемостью. После приведения к безразмерному виду, консервативная форма этой системы уравнений имеет вид
(37)
В качестве безразмерного параметра принимается число Рейнольдса , где , -- характерные длина и скорость, -- кинематическая вязкость, -- обезразмеренная турбулентная кинематическая вязкость равная 0, так как в данной работе модели турбулентности не рассматриваются.
Интегральная форма уравнений (37), записанная для контрольной ячейки , имеет вид
(38)
В случае, если граница контрольной ячейки подвижна, второе уравнение принимает вид
(39)
где -- скорость перемещения границы.
2.3.1 Выражения для двухмерного случая
Перепишем полученную систему уравнений относительно вектора физических переменных следующим образом
где -- вектор переменных решения, включающий в себя давление и компоненты скорости, , -- невязкие потоки, , -- вязкие потоки
где -- параметр искусственной сжимаемости, .
Представив границу ячейки в виде суммы сторон, найдем значение интеграла по каждой грани при помощи квадратурной формулы прямоугольников. Тем самым получим уравнения метода конечных объемов, записанные относительно вязкого и невязкого потоков через поверхность контрольного объема.
где -- площадь -ой ячейки, и -- невязкий и вязкий потоки через -ый отрезок границы этой ячейки, имеющие следующий вид
где , проекции вектора представляющего собой единичную нормаль к стороне ячейки умноженную на длину этой стороны.
Таким образом невязкий и вязкий потоки представляются в виде функций вектора переменных решения
Используя обозначение , удобно представить невязкий поток следующим образом
Чтобы избежать возникновения осцилляций, связанных с нелинейностью конвективных слагаемых, будем использовать противопотоковую схему [32] для вычисления невязкого потока через каждую грань контрольного объема (сторону ячейки).
В этом случае поток через общую грань двух контрольных объемов (общий отрезок границы двух ячеек) будет иметь вид
где и -- значения вектора переменных на внутренней и внешней сторонах отрезка границы. Элементы матрицы вычисляются как функции переменных решения в точке границы .
Здесь матрица представляет собой модуль якобиана . Представим матрицу Якоби в виде
где -- матрица собственных векторов якобиана, -- диагональная матрица его собственных значений. Тогда определяется следующим образом
Выпишем структуру перечисленных матриц.
Якобиан имеет три собственных значения
где -- искусственная скорость звука
Матрица собственных значений якобиана и ее модуль имеют вид
Матрица собственных векторов якобиана имеет вид
2.3.2 Выражения для трехмерного случая
Были получены следующие выражения для трехмерного случая.
Перепишем полученную систему уравнений относительно вектора физических переменных для трехмерного случая следующим образом
где -- вектор переменных решения, включающий в себя давление и компоненты скорости, , ,-- невязкие потоки, , ,-- вязкие потоки
где -- параметр искусственной сжимаемости, .
Представив границу ячейки в виде суммы сторон, найдем значение интеграла по каждой грани при помощи квадратурной формулы прямоугольников. Тем самым получим уравнения метода конечных объемов, записанные относительно вязкого и невязкого потоков через поверхность контрольного объема.
где -- площадь -ой ячейки, и -- невязкий и вязкий потоки через -ый отрезок границы этой ячейки, имеющие следующий вид
где , , проекции вектора представляющего собой единичную нормаль к стороне ячейки умноженную на площадь этой стороны.
Используя обозначение , удобно представить невязкий поток следующим образом
Чтобы избежать возникновения осцилляций, связанных с нелинейностью конвективных слагаемых, будем использовать противопотоковую схему [32] для вычисления невязкого потока через каждую грань контрольного объема (сторону ячейки).
В этом случае поток через общую грань двух контрольных объемов (общий отрезок границы двух ячеек) будет иметь вид
где и -- значения вектора переменных на внутренней и внешней сторонах отрезка границы. Элементы матрицы вычисляются как функции переменных решения в точке границы .
Здесь матрица представляет собой модуль якобиана . Представим матрицу Якоби в виде
где -- матрица собственных векторов якобиана, -- диагональная матрица его собственных значений. Тогда определяется следующим образом
Выпишем структуру перечисленных матриц.
Введём обозначения
Якобиан имеет четыре собственных значения
Матрица собственных значений якобиана имеет вид
Матрица собственных векторов якобиана имеет вид
Где имеют следующий вид
2.3.3 Полиномиальная аппроксимация
2.3.3.1 Аппроксимация переменных в трёхмерном случае
Точность вычисления потоков в равной мере определяется и точностью квадратурной формулы (типа Гаусса) и точностью аппроксимации значений переменных в точках. Рассмотрим процедуру построения аппроксимационного полинома произвольного порядка.
Так как значения переменных в центрах ячеек суть осреднённые значения по всей ячейке, то интерполирование здесь применять не целесообразно. В данной ситуации себя оправдывает процедура построения аппроксимации, обеспечивающей наилучшее среднеквадратическое приближение.
Для того, чтобы обеспечить - ый порядок точности, неизвестная функция в каждой ячейке аппроксимируется полиномом Тейлора с учётом слагаемых до порядка включительно (предполагается, что размер ячейки мал). В трёхмерном случае это представление будет иметь следующий вид:
(40)
где аппроксимируемая функция, координаты центра ячейки, порядок аппроксимации, – частная производная от ,
.
Коэффициент получен делением триномиального коэффициента [1] на , присутствующий в стандартной записи ряда Тейлора.
Коэффициенты (40) должны находиться как решение задачи минимизации квадрата нормы невязки [5], которая приводит к методу наименьших квадратов. Так как данных о гладкости функции у нас нет, коэффициенты полинома необходимо переопределить, в аппроксимации порядка содержится неизвестных коэффициентов, которые являются производными от , посчитанными в центре ячейки:
Коэффициенты могут быть найдены по формуле:
(41)
где на место следует подставить конкретное выражение для производной от из (40). Выражение для значения в любой точке ячейки:
(42)
где проекции расстояния до точки ячейки, в которой нужно получить значение переменной.
Отметим, что в ситуации, когда потребуется вычислять значения нескольких переменных в различных точках ячейки, не придётся строить аппроксимацию для каждой переменной в отдельности. Так как по формуле (42) можно будет получить значения для каждой переменной, подставив туда различные наборы , ибо коэффициенты, стоящие перед в (42) зависят лишь от геометрии сетки.
Это позволит избежать решения СЛАУ на каждом шаге для каждой переменной в каждой ячейке, что уменьшает вычислительные затраты на аппроксимацию.
2.3.3.2 Аппроксимация переменных в двумерном случае
Формула для значения переменной в некоторой точке ячейки будет иметь вид:
2.3.3.3 Аппроксимация производных
Кроме аппроксимации переменных существует также необходимость аппроксимировать значения производных от этих переменных по в некоторой точке ячейки. Аппроксимация производных может быть получена путём дифференцирования (2.11) или (2.21) по необходимой пространственной переменной. Выражения для полиномов, аппроксимирующих производные будут следующими:
Можно получить для конкретной производной аналогичное (42) выражение, которое даст явную зависимость производных от значений аппроксимируемых переменных в используемых для аппроксимации ячейках.
2.3.3 Аппроксимация вязкого потока
Определим градиент вектора переменных решения на границе между -й и -й контрольными ячейками как взвешенное среднее значений градиентов в этих ячейках
Найдем вязкий поток через границу между -й и -й ячейками, подставляя в формулу вязкого потока значения компонентов градиента на этой границе.
2.3.3.1 Выражения для двухмерного случая
Перепишем выражение для вязкого потока следующим образом
где , матрицы и имеют вид
2.3.3.2 Выражения для трехмерного случая
Были получены следующие выражения для трехмерного случая.
Перепишем выражение для вязкого потока следующим образом
где , матрицы имеют вид
2.3.4 Граничные условия
2.3.4.1 Граничные условия
Граница расчетной области подразделяется на участки, соответствующие твердой стенке, входу и выходу. Рассмотрим граничные условия, задаваемые на участках каждого типа.
Задаются граничные условия для физических переменных: давление, , , компоненты скорости.
Вход:
|
, ,
|
Твердая стенка:
|
,
|
Выход:
|
,
|
где -- входной профиль скорости.
2.3.4.3 Начальные условия
Во всей расчетной области значения физических переменных (давления и компонентов скорости), а также переменные моделей турбулентности принимаются равными нулю
|
