Краткий обзор методов вычислительной гидродинамики
-
Математическая модель движения жидкости
Необходимым условием успешного решения задачи механики является правильный выбор математической модели, адекватно отражающей исследуемые динамические процессы.
При рассмотрении безвихревого обтекания тел потоком идеальной жидкости возникает парадокс Эйлера-Даламбера - отсутствие каких-либо сил, действующих на тело. Причиной его появления является пренебрежение процессами вихреобразования в данной модели течения. Вихревые структуры в потоке жидкости возникают под действием вязкости, поэтому для их исследования необходимо использовать модели вязкой среды. Известны различные режимы течения потоков вязкой жидкости - ламинарный, турбулентный и смешанный ламинарно-турбулентный. Появляющиеся в таких потоках вихри имеют некоторые отличия в своей динамике, обусловленные различием механизмов, действующих в потоке.
1.1.1 Уравнения движения сплошной среды
Прежде, чем перейти к непосредственному численному моделированию течений вязкой жидкости, рассмотрим основополагающие уравнения, описывающие это течение.
В гидромеханике применяют два основных метода изучения движения жидкости - подходы Лагранжа и Эйлера. Любой жидкий объем можно представить состоящим из большого числа жидких частиц. В соответствие с этим, к исследованию движения жидкой частицы возможен такой же подход, как и в теоретической механике. То есть, для каждой точки, однозначно определяемой начальными координатами, в любой момент времени известны ее скорость и ускорение. Такой метод хорош при рассмотрении задач диффузии, при описании одномерных потоков. В более сложных случаях он приводит к громоздким вычислениям. Метод предложен Лагранжем и носит его имя.
Метод характеристики движения, при котором в каждой точке задаются функции зависимости характеристик течения от времени, но частицы теряют свою индивидуальность, называется методом Эйлера. Например, для случая нестационарного течения жидкости, поле скоростей задается в виде
Большинство приборов измеряют характеристики жидкости в фиксированном месте (датчик прибора неподвижен), то есть определяют Эйлерову характеристику среды.
Все основные уравнения движения сплошной среды представляют собой фундаментальные законы сохранения [10, 14]. Для вывода уравнений движения жидкости обычно рассматривается малый контрольный объем и требуется, чтобы для жидкости, протекающей через этот объем, выполнялись законы сохранения массы и энергии и количества движения.
Согласно закону сохранения вещества, для произвольного неподвижного объема скорость изменения массы внутри него равна потоку массы через поверхность , ограничивающую этот объем. Уравнение закона сохранения массы (уравнение неразрывности) для некоторого объема в инерциальной системе координат, записанное в интегральной форме, имеет вид
(1)
где -- плотность жидкости. Эквивалентное дифференциальное уравнение в частных производных
(2)
То-же в координатной форме записи
(3)
Для несжимаемой жидкости, учитывая, что плотность есть величина постоянная ()
(4)
В соответствие со вторым законом Ньютона, скорость изменения количества движения равна сумме действующих сил. Уравнение закона сохранения количества движения (уравнение динамики в напряжениях) для некоторого объема, имеет вид
(5)
где - тензор напряжений, - вектор напряженности массовых сил. Переходя к уравнениям в частных производных, получаем консервативную (дивергентную) форму уравнения сохранения количества движения
(6)
Эквивалентная неконсервативная (конвективная) форма
В механике вязкой несжимаемой жидкости предполагается, что перенос тепла происходит мгновенно в силу большой скорости передачи тепла в несжимаемой жидкости, поэтому изменения температуры пренебрежимо малы. В силу этого нет необходимости определять изменение термодинамического состояния системы по балансу внутренней и механической энергий, и уравнение сохранения энергии не используется.
В результате используются только уравнения, выражающие законы сохранения массы (4) и количества движения (6). Эта система является незамкнутой в силу неопределенности тензора напряжений. Для ее замыкания вводятся гипотезы о связи компонентов тензора напряжений со скоростями потока, то есть используются реологические соотношения.
1.1.2 Уравнения Навье-Стокса
Обобщенный закон Ньютона для вязкой жидкости [10] устанавливает линейную связь между тензором напряжений и тензором относительных скоростей деформации
(7)
где -- гидродинамическое давление, -- молекулярная динамическая вязкость, -- дельта-функция Кронекера.
В случае несжимаемой жидкости, тензор напряжений выглядит следующим образом
(8)
Тензор напряжений часто разделяют на две части
(9)
где -- тензор вязких напряжений. Подстановка (8) в уравнения для напряжений (6) дает известные уравнения Навье-Стокса
(10)
где, -- молекулярная кинематическая вязкость.
Для получения конкретных решений, при интегрировании системы (10) должны быть использованы граничные, а в случае нестационарного движения --- граничные и начальные условия. На твердых границах задаются условия ''непротекания'' и ''прилипания'' . Начальные условия ставятся в задачах нестационарного движения и представляют собой заданные в некоторый начальный момент времени поля скоростей и давлений.
1.1.3 Динамическое подобие
Для того, чтобы наиболее оптимальным образом (с точки зрения проведения минимального числа расчетов или экспериментальных наблюдений) получить картину течений у тел подобной конфигурации, желательно сгруппировать все параметры (такие как длина тела, скорость набегающего потока и т. п.) в ряд безразмерных параметров [14]. Два потока динамически подобны, если безразмерные числа, определяющие течения, равны.
Безразмерные переменные вводятся следующим образом
Уравнения движения жидкости (10) в безразмерной координатной форме принимают вид
В данном выражении использованы следующие безразмерные параметры
Здесь -- число Рейнольдса, -- число Струхаля и -- число Фруда соответственно. Число Рейнольдса характеризует отношение инерционных сил к вязким, и является критерием, определяющим этапы перехода от ламинарных течений к турбулентным.
1.1.4 Приближения уравнений Навье-Стокса. Моделирование турбулентности
Основная трудность расчета потоков вязкой несжимаемой жидкости частично связана с широким диапазоном изменения масштаба турбулентности. Прямой расчет полных уравнений Навье-Стокса для трехмерного турбулентного потока требует значительных вычислительных ресурсов и не под силу даже существующим суперкомпьютерам. В этой связи, важную роль играет турбулентная модель, позволяющая учесть влияние турбулентности в расчетах.
Вторая трудность в расчете вязкого потока связана с необходимостью использования чрезвычайно мелких сеток при расчете течения в турбулентном пограничном слое. Поскольку вычислительная устойчивость существующей схемы решения непосредственно связана с размером минимальной ячейки, то, если не принимать достаточно малый шаг по времени, возникают проблемы устойчивости расчета. В результате, и увеличение разрешения и уменьшение шага по времени при вычислениях влекут за собой резкое увеличение требуемых вычислительных ресурсов.
Поэтому для решения задач гидродинамики применяются различные подходы, основной целью которых является уменьшение ''вычислительной стоимости'' методов решения уравнений Навье-Стокса при минимально возможной потере точности.
Различают два основных подхода моделирования вязких течений
• Прямое численное моделирование (DNS) --- решение полных уравнений Навье-Стокса.
• Моделирование с использованием осредненных уравнений Навье-Стокса, а именно: по времени (RANS), по пространству (LES), гибридные модификации (DES).
Прямое численное моделирование: DNS
Среди известных методов численного моделирования трехмерных турбулентных течений необходимо выделить прямое численное моделирование турбулентности (DNS --- Direct Numerical Simulation of turbulent flows).
Метод DNS представляет собой прямое численное решение полной нестационарной системы уравнений Навье-Стокса, при таком подходе разрешаются все масштабы движения [22]. В результате возникает необходимость строить чрезвычайно мелкую сетку для больших пространственных областей. Известна следующая оценка числа узлов при прямом моделировании турбулентности
Для реальных чисел Рейнольдса порядка число расчетных узлов должно составлять . То есть для использования DNS требуются достаточно мощные вычислительные ресурсы, и на сегодняшний день возможности применения метода ограничиваются лишь случаями достаточно простых течений и весьма невысоких чисел Рейнольдса.
Метод моделирования крупных вихрей: LES
В методе моделирования крупных вихрей (LES --- Large Eddy Simulation) осуществляется решение отфильтрованных по пространству уравнений Навье-Стокса и разрешеатся движение только крупных вихрей [31].
Метод основан на двух предположениях. Первое состоит в возможности разделения поля скорости на движение крупных и мелких вихрей, причем движение крупных вихрей может быть рассчитано отдельно, что связано с достаточной изотропностью и универсальностью мелких масштабов турбулентного движения. Второе предположение --- в возможности аппроксимации нелинейных взаимодействий между крупными и мелкими вихрями только о крупным вихрям с использованием моделей подсеточного масштаба SGS (SubGrid Scale models).
Для отделения крупноых масштабов от мелких, применяется операция фильтрации, определяемая следующим образом
(11)
где -- фильтрационная функция, -- ширина фильтра, определяющая наименьший масштаб турбулентности, допустимый фильтром. Наиболее популярные и часто используемые фильтрационные функции --- Гаусса, идеальный и ''top-hat'' фильтры.
Фильтр дает формальное определение процесса осреднения и отделяет способные к разрешению масштабы от подсеточных. Фильтрация используется, чтобы вывести уравнения для разрешимых масштабов. Для течения несжимаемой жидкости отфильтрованные уравнения Навье-Стокса принимают следующую форму
(12)
Здесь воздействие мелкомасштабных структур на движение жидкости представляется через тензор напряжений подсеточного масштаба
(13)
Среди применяемых подсеточных моделей можно выделить модель Смагоринского, двухточечные замыкания, динамические модели, модели одого уравнения [40].
Популярность метода моделирования крупных вихрей для проведения расчетов сложных турбулентных течений с достаточно высокими числами Рейнольдса объясняется тем, что он требует меньших вычислительных затрат по сравнению с DNS. Общее соотношение количества узлов сетки для этих методов определяется зависимостью
Необходимо отметить, что на сегодняшний день опробовано значительное количество подсеточных моделей, фильтров, граничных условий и расчетных схем. Несмотря на это, пока не ясны ни оптимальный вариант подсеточной модели, ни обоснование выбора такого варианта. Тем не менее, LES является перспективным направлением в развитии методов расчета турбулентных течений и представляется весомой альтернативой DNS и RANS.
Уравнения осредненного движения: RANS
Как было отмечено, решение полных уравнений Навье-Стокса в трехмерном пространстве при больших (турбулентных) числах Рейнольдса остается на сегодняшний день довольно сложной задачей. Поэтому для описания трехмерных течений часто используют осредненные по времени уравнения Навье-Стокса. В турбулентном течении локальные давление и составляющие вектора скорости изменяются во времени случайным образом. Основная идея осреднения состоит в том, чтобы разделить в потоке стационарные и случайные части.
Система уравнений Навье-Стокса для описания движения вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил, использующая консервативную форму записи уравнения изменения количества движения, может быть представлена в скалярно-тензорной форме следующим образом
(14)
С учетом уравнения неразрывности, компоненты тензора напряжений записываются так
(15)
Согласно подходу Рейнольдса, любые мгновенные значения гидродинамических параметров потока представляются в виде суммы осредненной по времени величины и ее пульсационной составляющей [4]. Фактически это означает, что гидродинамическая величина является случайной, осреднение которой во времени дает математическое ожидание, а пульсационная составляющая - дисперсию случайной величины. Обозначая осредненную во времени величину , а пульсационную , можно записать для давления, составляющих скорости, и тензора напряжений следующие выражения
Следует отметить, что среднее значение, несмотря на интегрирование по времени, может изменяться во времени. Это означает, что период интегрирования должен быть малым по сравнению с характерным временем нестационарного изменения величины. Кроме того, период осреднения выбирается так, чтобы оно приводило к величине, не изменяющейся при повторном осреднении.
(16)
Применяя операцию осреднения по времени (16) к уравнениям системы (46), с учетом уравнения неразрывности, получим
(17)
где -- составляющие тензора напряжений Рейнольдса, или рейнольдсовых напряжений. Они являются шестью дополнительными неизвестными к гидродинамическим параметрам осредненного движения . Таким образом, система уравнений и (17) является незамкнутой.
Вопрос замыкания полученной системы решается различными способами. Простейший путь --- использование эмпирической информации о характеристиках турбулентности, наиболее сложный --- заключается в выводе уравнений относительно рейнольдсовых напряжений, где широкое применение получили модели турбулентной вязкости
(18)
где -- турбулентная динамическая вязкость.
Используя зависимость (18) и опуская знак осреднения по времени, уравнения Навье-Стокса в форме Рейнольдса (RANS --- Reynolds Averaged Navier-Stokes equations) приводятся к виду
(19)
где -- турбулентная кинематическая вязкость.
Само по себе уравнение (18) не вводит модели турбулентности, а только характеризует структуру такой модели. При этом основной задачей является определение коэффициента турбулентной вязкости . В отличие от коэффициента молекулярной кинематической вязкости , коэффициент определяется состоянием турбулентности и не связан со свойствами жидкости. Он может сильно изменяться от точки к точке пространства и в зависимости от типа течения. Так, например, в зонах циркуляционного течения может на несколько порядков превышать .
1.1.5 Выводы
Исходя из особенностей описанных подходов, и учитывая имеющиеся вычислительные возможности, в данной работе в качестве модели движения вязкой несжимаемой жидкости выбраны осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса.
В данной работе моделирование турбулентности не рассмотренно, поэтому обезразмеренная турбулентная кинематическая вязкость принята равной 0.
|
