Методические указания к выполнению лабораторной работе «решение систем линейных алгебраических уравнений»
|
Скачать 126.63 Kb.
|
Методические указания к выполнению лабораторной работе«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»по курсу «Вычислительная математика» для студентов специальности АСОИУ ВВЕДЕНИЕ В ряде практических задач управления и оптимизации приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). В настоящей лабораторной работе изучается наиболее распространенный метод решения СЛУ – метод Гаусса. Цель работы - ознакомление с методом Гаусса решения СЛУ. Краткие теоретические сведенияПусть имеется система линейных уравнений ax+ax+…+ax=d, ax+ax+...+ax=d, (1) ax+ax+…+ax=d. Систему (1) можно записать в матричном виде Ax=d. (2) Здесь А – матрица коэффициентов левых частей системы (1), а x и d – два n-мерных вектора: d=, x=. Систему небольшого порядка (n < 5) с невырожденной матрицей А можно решить, пользуясь формулами Крамера x=, i=1, 2, …, n. Здесь Δ – определитель матрицы А; – вспомогательный определитель, матрица которого получается из А замещением i-го столбца столбцом d. Чем больше порядок системы, тем менее выгодны – в смысле количества вычислительной работы – формулы Крамера по сравнению с другим методом. Это метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Он состоит из двух этапов: прямого хода и обратной подстановки. При прямом ходе система приводится к специальному – треугольному – виду, либо выясняется, что она несовместна или имеет бесконечно много решений. Прямой ход выполняется как последовательность шагов, их не более п–1, где п – порядок системы. Задача каждого шага – исключение из системы очередного неизвестного. Предположим, что в системе (1) коэффициент aне равен нулю. Если бы это было не так, но зато a0, то мы поменяли бы местами 1-е и l-е уравнения. Составим отношения li1=, i=2, 3, …, n, называемые множителями 1-го шага; коэффициент aпри этом называется главным элементом 1-го шага. Умножая 1-е уравнение соответственно на l21, l31, …, ln1, вычтем его из 2-го, 3-го, ...., n-го. В результате придем к системе вида ax+ax+ax+…+ax=d, ax+ax+...+ax=d, ax+ax+…+ax=d, ……………………………… ax+ax+…+ax=d, имеющей те же решения, что и система (1) Коэффициенты новой системы вычисляются по формулам: a=a-la, i, j=2, 3, …, n (3) d=d-ld, i=2, 3, …, n. Первый шаг прямого хода закончен. Уравнения со 2-го по n-е составляют систему порядка п–1, в которой нет неизвестного xоно исключено, с чем и связано одно из названий метода. Может случиться, что в новой системе появилось уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю. Если правая часть такого уравнения ненулевая, то система, очевидно, несовместна. Если же и правая часть равна нулю, то такое уравнение можно удалить из системы; в результате число уравнений станет меньше n. Если несовместных уравнений в системе нет, то можно перейти ко второму шагу. Будем считать, что коэффициент a0; в противном случае мы переставили бы 2-е уравнение с одним из нижележащих, именно с тем, в котором присутствует x. Составляем множители 2-го шага: l=, i=3, 4, …, n. Коэффициент a называется главным элементом второго шага. Вычитая из 3-го, 4-го, ..., n-го уравнений 2-е, умноженное соответственно на l,l,…,1п2, получим ax+ ax+ ax+…+ ax=d , ax+ ax+…+ ax=d, ax+…+ ax=d, …………………………… ax+…+ax=d. Для коэффициентов справедливы соотношения, аналогичные формулам (3): a=a-la , i,j=3, 4, …, n, (4) d=d-ld, i=3, 4, …, n. Уравнения новой системы, кроме первых двух, составляют систему порядка п–2, в которой нет неизвестных x и x; неизвестное x исключено на втором шаге. Продолжая таким образом, мы или установим, что система несовместна, или после исключения k-гo неизвестного (1< k< n) не найдем среди последних п–k уравнений ни одного с ненулевыми коэффициентами, и это означает, что решений у системы бесконечно много, или, наконец, после п–1 шагов получим треугольную систему уравнений: ax+ax+…+ax+ax=d, ax+…+ax+ax=d, …………………………… (5) a x+ax=d, ax=d. Прямой ход метода Гаусса закончен. Коэффициенты a, a,…, a, будучи главными элементами соответствующих шагов, не равны нулю согласно определению. Для невырожденной матрицы А не равен нулю и коэффициент a. Обратной подстановкой называется следующий этап – решение треугольной системы (5). Из последнего уравнения делением на aполучаем значение неизвестного x. Подставляя его в (п–1)-е уравнение, можем определить значение x. Поднимаясь таким образом по системе, последовательно найдем значения всех неизвестных. В методе Гаусса с выбором главного элемента среди элементов a m≥k находят главный, то есть наибольший по модулю в k-м столбце и перестановкой строк переводят его на главную диагональ, после чего делают исключения. Такая схема метода Гаусса позволяет уменьшить погрешность округления. Метод Гаусса с выбором главного элемента надежен и прост. Погрешность округления можно уменьшить, если выбирать в каждом цикле элемент, наибольший по модулю во всей матрице. Однако точность при этом возрастает не сильно по сравнению со случаем выбора главного элемента, а расчет заметно усложняется, так как требует не только перестановки строк, но и столбцов. Представим матрицу А в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней U. Введем в рассмотрении матрицы L=и U=. Можно показать, что A=L∙U. Это и есть разложение матрицы на множители. Рассмотрим метод Гаусса на примере решения системы x – 3 x – x = 4, –2 x+7 x+2 x= –9, 3 x+ 2 x–4 x = 2. Составим матрицу . Множители первого шага равны l21=2; l31= – 3. Умножаем первую строчку матрицы на множитель l21 и складываем со второй строчкой. Получим матрицу . Далее умножаем первую строчку матрицы на множитель l31 и складываем с третьей строчкой. В результате . Второй шаг: l32= –11. . Обратная подстановка дает x1= 0, x2= –1, x3= –1. Решение системы с помощью LU-разложения сводится к последовательному решению систем с треугольными матрицами Ly=b и Ux=y. Для примера рассмотрим систему 3x – 4 x – 9 x + 5 x= –14, –15x – 12 x + 50 x – 16 x= –16, –27x – 36 x + 73 x + 8 x= 8, 9 x + 12 x – 10 x – 16 x= –16. В матричном виде A=. Первый шаг. Вычислим множители l21== – 5; l31== – 9, l41== 3 и выполним преобразование матрицы . Второй шаг. Вычислим множители l32== 0; l42== 0. Второй шаг не изменяет матрицы. Третий шаг. l43=. и выполним преобразование матрицы . В результате получим матрицу U. U=. Матрица L L=. Легко вычислить решение системы Ly=b. y = –14, –5y + y = –16, –9 y + y = 8, 3 y – y + y = –16. y1= –14, y2= –26, y3= 16, y4= 0. Решением системы Ux=y является вектор x. 3x – 4 x – 9 x + 5 x= –14, 8 x + 5 x + 9 x= –26, –8 x + 53 x= 16, x= 0. x1= –8, x2= –2, x3= –2, x4= 0. Решение системы методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу покажем на примере решения системы. 3x – 4 x – 9 x + 5 x= –14, –15x – 12 x + 50 x – 16 x= 44, –27x – 36 x + 73 x + 8 x= 142, 9 x + 12 x – 10 x – 16 x= –76. Максимальный по модулю элемент 1-го столбца a33=–27. Переставим первое и третье уравнения. –27 x – 36 x + 73 x + 8 x= 142, –15 x – 12 x + 50 x – 16 x= 44, 3 x – 4 x – 9 x + 5 x= –14, 9 x + 12 x – 10 x – 16 x= –76. В матричном виде A=. Первый шаг. Вычислим множители l21== ; l31== , l41== . и выполним преобразование матрицы A=. Второй шаг. Вычислим множители l32== 0; l42== 0. Второй шаг не изменяет матрицы. Третий шаг. Максимальный по модулю элемент третьего столбца a43=. Переставим местами третье и четвертое уравнение. A=. l43=. и выполним преобразование матрицы A=. Обратный ход. Из последнего уравнения находим x4=0. Из третьего уравнения находим x3== – 2. Из второго уравнения находим x2== – 2. Неизвестное x1 находим из первого уравнения x1=∙(142 + 36∙( – 2) – 73∙( – 2) – 8∙0)= – 8. Ответ x1= –8, x2= –2, x3= –2, x4= 0. ЗАДАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА Отчет должен содержать следующие обязательные части:
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
|
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 |
Робоча програма по дисципліні Чисельні методи Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера, метод обращения матрицы, метод Гаусса |
 |
Методические указания по контрольно-курсовой работе по дисциплине эксплуатацияэвми систем Методические указания по ккр составлены доц каф ЭВМ лебеденко Ю. И. и обсуждены на заседании кафедры ЭВМ факультета кибернетики |
|
Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов... Методические указания содержат перечень тем и примерные планы курсовых работ по дисциплине «Анализ хозяйственной деятельности», а... |
|
Методические указания и контрольные задания для студентов специальности... Методические указания содержат тематический план, программу курса, задания и методические указания к выполнению контрольных работ,... |
|
Методические указания по выполнению контрольных работ по «Математике»... Математика: Методические указания по выполнению контрольных работ Бузулук: бгти, 2013 |
|
Методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных... Методические указания содержат программу курса, контрольные вопросы по темам курса, контрольные задания и методические рекомендации... |
|
Методические указания по выполнению реферата рпк «Политехник» Русский язык и культура речи: Методические указания по выполнению реферата / Сост. О. В. Виноградова; Волгоград гос техн ун-т. –... |
|
Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов... Целью лабораторной работы является изучение простейших способов воспроизведения звуковых файлов при помощи использования функции... |
|
Методические указания по выполнению курсовой работы дисциплины Методические указания по выполнению курсового работы составлены доцентом кафедры стс марковой Т. А. и обсуждены на заседании кафедры... |
|
Методические указания по выполнению контрольных работ рекомендовано... Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по программе высшего профессионального образования по всем направлениям... |