Составим систему уравнений согласно условию задачи:
Из второго уравнения у = 11 – 2х, подставляя это выражение в первое уравнение, получим уравнение
4х2 – 3х – 27 = 0,
корнями которого являются числа 3 и – 2,25 (не подходит по условию задачи).
x = 3, у=5.
Ответ: 3 м3, 5 м3, 6 м3.
Практикум по решению задач.
1. Трое штукатуров могут закончить работу за 10 дней. За сколько дней будет выполнена эта работа, если для ускорения будут добавлены ещё два штукатура, работающих с той же производительностью?
Ответ: 6 дней.
2. Шесть бульдозеров расчищают площадку под строительство за 3 часа 30 минут. За сколько часов семь бульдозеров расчистили бы эту площадку?
Ответ: 3 часа.
3. Две бригады должны были закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За сколько дней могла бы убрать урожай каждая бригада, работая отдельно?
Ответ: 21 и 28.
4. Двое рабочих одновременно начали выполнять некоторую работу. Через 2 часа работы они сделали перерыв на 15 минут, в течение которого подсчитали, что оставшуюся часть работы один из них может выполнить, работая отдельно, за 3,2 часа, а другой – за 4,8 часа. После этого перерыва рабочие продолжили выполнять работу вместе и закончили её через некоторое время. Сколько часов прошло от начала работы до её завершения? Предполагается, что производительность каждого рабочего в течение всей работы постоянна.
Ответ: 4,17.
5. Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей; после того как первый проработал 5 ч, а второй 3 ч, оказалось, что они выполнили половину всей работы. Проработав совместно ещё 3 ч, они установили, что им осталось изготовить ещё 10% всей партии деталей. За сколько часов изготовил бы эту партию деталей первый рабочий, работая один?
Ответ: 20.
6. Мастеру и его ученику было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того как мастер проработал 2 ч, а ученик 3 ч, оказалось, что они выполнили 40% всей работы. Проработав совместно ещё 3 ч, они установили, что остаётся выполнить 10% всей работы. За сколько часов выполнил бы всю работу ученик, работая один?
Ответ: 15.
7. Два крана, работая одновременно, наполняют бассейн за 6 часов. За сколько часов наполнит этот бассейн первый кран, если известно, что он наполняет бассейн на 5 часов дольше, чем второй?
Ответ: 15.
8. Одна машинистка печатает текст за 7 минут, а другая печатает этот же текст за 3 минуты. За какое время (в мин.) они, работая одновременно, напечатают текст в два раза больший?
Ответ: 4,2.
9. Два каменщика, из которых второй начинает работать днями позже первого, могут выполнить работу за 7 дней. Если бы эту работу выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней выполнит эту работу второй каменщик? Ответ: 11.
10. На уборке снега работают две снегоочистительные машины. Первая может убрать всю улицу за 1 ч, а вторая — за 75% этого времени. Начав уборку одновременно, обе машины проработали вместе 20 мин, после чего первая машина прекратила работу. Сколько еще нужно времени, чтобы вторая машина закончила работу?
Ответ: 10 мин.
14. Одна бригада может убрать поле за 12 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы нужно 75% этого времени. После того как в течение 5 дней работала только первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней работали бригады вместе?
Ответ: 3 дня.
15. Однотипные детали обрабатываются на двух станках. Производительность первого станка на 40% больше производительности второго. Сколько деталей было обработано за смену на каждом станке, если первый работал в эту смену 6 ч, а второй — 8 ч, причем оба станка вместе обработали 820 деталей?
Ответ: 420 и 400 деталей.
16. Тракторная бригада может вспахать 5/6 участка земли за 4 ч 15 мин. До обеденного перерыва бригада работала 4,5 ч, после чего остались невспаханными еще 8 га. Как велик был участок?
Ответ: 68 га.
17. Каждая из двух машинисток перепечатывала рукопись объемом 72 страницы. Первая машинистка перепечатывала 6 страниц за то же время, за которое вторая перепечатывала 5 страниц. Сколько страниц перепечатывала каждая машинистка в час, если первая закончила работу на 1,5 ч быстрее второй?
Ответ: 8 страниц и 9,6 страницы.
18. Одна мельница может смолоть 19 ц пшеницы за 3 ч, другая 32 ц за 5 ч, а третья 10 ц за 2 ч. Как распределить 133 т пшеницы между этими мельницами, чтобы, одновременно начав работу, они окончили ее также одновременно?
Ответ: 475,480 и 375 ц.
19. В лабораторной установке некоторая жидкость поступает в сосуд через три входных крана. Если открыть все краны одновременно, то сосуд наполнится за 6 мин. Если же наполнять сосуд только через второй кран, то на это потребуется 0,75 того времени, за которое может наполниться сосуд только через один первый кран. Через один третий кран этот сосуд наполняется на 10 мин дольше, чем через один второй кран. На какое время надо открывать каждый кран в отдельности для наполнения сосуда?
Ответ: на 56/3, 14 и 24 мин.
20. Бассейн имеет три трубы разного сечения для отвода воды с помощью равномерно откачивающего насоса. Через первую и вторую трубы вместе при закрытой третьей трубе наполненный бассейн опорожняется за а мин, через первую и третью вместе при закрытой второй — за b мин, а через вторую и третью трубы при закрытой первой — за с мин. За какое время наполненный бассейн опорожняется через каждую трубу в отдельности?
Ответ: за мин.
Задачи на проценты. Теория.
Основные понятия.
1) Что такое процент.
Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть доллара называют центом (от латинского слова centum – сто), сотую часть метра – сантиметром (обратите внимание на значение и произношение приставки санти), сотую часть гектара – аром (а по – народному – сотка).
Принято называть сотую часть любой величины или числа процентом.
1%отА = 0,01А = А
Значит, 1 копейка – один процент рубля, 1 см – 1% метра, 1 цент – 1% доллара, 1 а – 1% га.
Сказка о хитром и жадном короле
Однажды хитрый и жадный король созвал свою гвардию и торжественно заявил: «Гвардейцы! Вы славно служите мне! Я решил вас наградить и повысить жалование на 20%».
«УРА!» - закричали гвардейцы.
«Но, – сказал король, – только на один месяц. А потом я его уменьшу на те же самые 20%. Согласны?»
«А чего же не согласиться? - удивились гвардейцы. - Пусть хоть на один месяц!»
Так и было решено. Прошел месяц, все были довольны.
«Вот здорово, – говорил гвардеец друзьям за кружкой пива. – Раньше я получал 10 долларов в месяц, а в этом месяце получил 12 долларов! Выпьем же за здоровье короля!»
Прошел еще месяц. И получил старый гвардеец жалование только 9 долларов 60 центов.
«Как же так? – заволновался он. – Ведь если сначала на 20% увеличить жалование, а потом его уменьшить на те же самые 20%, то оно же должно остаться прежним!»
«Вовсе нет, – объяснил мудрый звездочет. – Повышение твоего жалования составляло 20% от 10 долларов, т. е. 2 доллара, а понижение составляло 20% от 12 долларов, т. е. 2,4 доллара».
Погрустили гвардейцы, но делать нечего – ведь сами согласились. И вот они решили обхитрить короля. Пошли они к королю и сказали: «Ваше Величество! Вы, конечно, были правы, когда говорили, что повысить жалованье на 20% и понизить его потом на те же 20% – это одно и то же. И если это одно и тоже, то давайте сделаем еще раз, но только наоборот. Давайте сделаем так: Вы сначала понизите нам жалованье на 20%, а потом увеличите его на те же 20%». «Ну что ж, – ответил король, – ваша просьба логична, пусть будет по – вашему».
Задание: посчитайте, сколько теперь получил старый гвардеец по истечении первого месяца и по истечении второго. Кто кого перехитрил?
Решение: 1)1-й месяц - 8 долларов; 2-й месяц - 9,6 долларов. 2) 1-й месяц - 7,68 доллара; 2-й месяц - 10,22 доллара.
Ответ: старый гвардеец перехитрил короля.
2) Основные понятия.
-
Чтобы найти а% от числа b, нужно bа : 100
-
Чтобы найти число по его процентам (известно, что а% от этого числа равны b), нужно 100b : а
-
Чтобы найти, сколько процентов составляет число а от числа b нужно %
3) Простой процентный рост – когда при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят из заданной величины А. Например, начисление пени в размере п% от исходного платежа происходит за каждый день просрочки платежа. (Пеня – неустойка, применяемая в случае просрочки договорных или иных обязательств. По общему правилу пеня устанавливается в виде процента от суммы (стоимости) просроченного обязательства и начисляется за каждый день просрочки). Если оплата просрочена на к дней, то следует оплатить
A + k(0,01nA),
где А – исходная сумма оплаты,
0,01 пА – начисление пени в размере n% от исходного платежа,
к – количество просроченных дней.
4) Сложный процентный рост – когда при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят из величины, полученной на предыдущем шаге (то есть начисляются проценты на проценты). Например, расчет банка с вкладчиком, который не снимает со своего счета сумму начисленных процентов, производится по формуле
где А – первоначальная сумма вклада,
п – процент годового дохода банка,
к – количество лет.
Решение типовых задач на проценты.
1. В два магазина по одинаковой цене поступил товар. Через неделю в первом магазине все цены были снижены на 10%, а через неделю подняты на 20%. Во втором магазине через две недели цены были увеличены на 10%. В каком магазине через две недели после поступления товара цена ниже?
Решение.
Пусть А – первоначальная цена товара.
Через неделю в первом магазине все цены были снижены на 10%, то есть товар стал стоить 0,9А;
а через неделю подняты на 20%, следовательно, новая цена товара 1,2(0,9А) или 1,08А.
Во втором магазине через две недели цены были увеличены на 10%, значит, товар стал стоить 1,1А.
Ответ: в первом магазине цена товара ниже.
2. Цена входного билета на стадион составляла 80 руб. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 25%, а выручка возросла на 12,5%. Сколько стал стоить входной билет?
Решение.
Пусть X – первоначальное число зрителей. Тогда 80Х рублей – прежняя выручка.
А – новая цена входного билета.
Число зрителей увеличилось на 25%, то есть стало 1,25Х.
Тогда 1,25XА – новая выручка, и она возросла на 12,5%, то есть 1,125(80Х).
Получим уравнение 1,25XА = 1,125(80Х).
Или 1,25А = 90, откуда А = 72.
Ответ: 72 рубля.
3. М.Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головневых» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимал вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей».
Попробуйте по приведенным данным рассчитать, сколько процентов платил в то время ломбард по вкладам. Возраст Порфирия в момент его расчетов принять равным 50 годам.
Решение.
Используем формулу простых процентов А(1 + 0,01кп),
где А = 100 (первоначальный капитал), к = 50 (количество лет), п – количество процентов, которые платил в то время ломбард по вкладам.
Получим уравнение 100(1 + 0,5п) = 800.
Откуда п = 14.
Ответ: 14%.
4. Два вкладчика имеют равные капиталы. Первый вкладчик помещает ¾ своих денег в Банк-1, остальные деньги - в Банк-2. Второй вкладчик помещает ¼ своих денег в Банк-1, остальные деньги - в Банк-2. Через 1 год отношение капитала первого вкладчика к капиталу второго вкладчика равно 29/31. Банк-2 дает доход в 3/2 раза больший, чем Банк-1. Определить проценты годового дохода, даваемые каждым банком.
Решение.
Пусть А – капитал первого вкладчика, тогда ¾ А – его вклад в Банке - 1, ¼ А – его вклад в Банке - 2.
Пусть п – процент годового дохода Банка-1, тогда 1,5п – процент годового дохода Банка-2.
Следовательно, 3/4А(1 + 0,01п) – количество денег первого вкладчика в Банке-1 через год; 1/4А(1 + 0,015п) – количество денег первого вкладчика в Банке-2 через год. И общее количество денег равно ¾ А (1 + 0,01п) + ¼ А(1 + 0,015п).
Второй вкладчик помещает ¼ А своих денег в Банк-1, ¾ А – его вклад в Банке-2. Проведя аналогичные рассуждения, получим общее количество денег второго вкладчика через год равным ¼ А(1 + 0,01п) + ¾ А(1 + 0,015п).
Так как через год отношение капитала первого вкладчика к капиталу второго вкладчика равно 29/31, то получим уравнение
40% – годовой доход Банка-1, значит, годовой доход Банка-2 равен 60%.
Ответ: 40% и 60%.
5. Капитал господина А в 3 раза больше капитала господина Б. Если А поместит свой капитал в Банк-1, а Б-в Банк-2, то через год их суммарный капитал составит 1500 евро. Если А поместит свой капитал в Банк-2,а Б - в Банк-1, то через год их суммарный капитал составит 1620 евро. Банк-2 дает доход, в 2 раза больший, чем Банк-1. Определить первоначальные капиталы А и Б и процент дохода Банка-1.
Решение.
Пусть А – капитал господина Б, тогда 3А – капитал господина А.
Пусть п – процент годового дохода Банка-1, тогда 2п – процент годового дохода Банка-2.
Если А поместит свой капитал в Банк-1, а Б - в Банк-2, то через год их суммарный капитал составит 3А(1 + 0,01п) + А(1 + 0,02п) или 1500 евро.
Если А поместит свой капитал в Банк-2, а Б - в Банк-1, то через год их суммарный капитал составит А(1 + 0,01п) + 3А(1 + 0,02п) или 1620 евро.
Составим систему уравнений:
Отнимая от второго уравнения первое, получим, что 0,02 Ап = 120, то есть Ап = 6000.
Подставив полученное выражение в первое уравнение, имеем:
4А + 300 = 1500, А =300.
Тогда п = 20.
Ответ: 900 евро, 300 евро, 20%.
6. Буратино положил свои деньги в Банк, и через год снял со счета 1/3 от полученного банковского дохода. В течение второго года Банк уменьшил доход по вкладам в 2 раза, и в конце второго года счет Буратино стал равен 374 сольдо. Первоначальный капитал Мальвины, помещенный в тот же Банк, был в 1,5 раза больше первоначального капитала Буратино. В начале второго года она добавила к счету сумму, равную полученному за первый год банковскому доходу. В конце второго года (после снижения банковского дохода) капитал Мальвины стал равен 693 сольдо. Определить первоначальные капиталы Мальвины и Буратино и процент годового дохода банка до снижения доходности.
Решение.
1) Пусть А – первоначальный вклад Буратино, п – процент годового дохода банка до снижения доходности.
Тогда через год банк начисляет доход 0,01 Ап сольдо, но Буратино снимает треть этой суммы, то есть 1/3(0,01 Ап) сольдо. Таким образом, к концу первого года счет Буратино равен А + 0,01 Ап – 1/3 (0,01 Ап) или А(1 + 2/300п) сольдо.
В течение второго года Банк уменьшил доход по вкладам в 2 раза, и в конце второго года счет Буратино стал равен А(1 + 2/300п)(1 + 0,005п) или 374 сольдо.
2) 1,5А – первоначальный вклад Мальвины.
Тогда через год банк начисляет доход 0,01(1,5Ап) или 0,015 Ап сольдо, но Мальвина добавляет к счету такую же сумму, то есть 0,015Ап сольдо. Таким образом, к концу первого года счет Мальвины равен 1,5А + 0,015Ап + 0,015Ап или А(1,5 + 0,03п) сольдо.
В течение второго года Банк уменьшил доход по вкладам в 2 раза, и в конце второго года счет Мальвины стал равен А(1,5 + 0,03п)(1 + 0,005п) или 693 сольдо.
Составим систему уравнений:
Разделим второе уравнение на первое, получим:
Подставим найденное значение л во второе уравнение:
А(1,5 + 0,6)(1+0,1) = 693,
А = 300.
Ответ: 300 сольдо, 450 сольдо, 20%.
Практикум по решению задач.
|
