Решение тестовых задач по математике




Скачать 0.94 Mb.
Название Решение тестовых задач по математике
страница 3/9
Дата публикации 27.05.2014
Размер 0.94 Mb.
Тип Решение
literature-edu.ru > Математика > Решение
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Общие указания.

1. Решение задачи с помощью уравнения (системы уравнений) обычно производят в такой последовательности:

• вводят переменные, т.е. обозначают буквами величины, которые требуется найти по условию задачи, либо те, которые необходимы для отыскания искомых величин;

• составляют уравнение (систему уравнений), т.е. как бы «переводят» текст задачи на язык алгебры, формируя равенство (систему равенств) алгебраических выражений;

• решают составленное уравнение (систему уравнений) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

Отличными от тех, которые формируются при арифметическом решении задачи, являются следующие умения и навыки:

1. Введение одного и более неизвестных.

2. Запись зависимости между величинами с помощью букв и чисел.

3. Составление «математической модели» (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств).

4. Решение «математической модели» (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств).

5. Выбор значений неизвестных по условию задачи.

6. Составление уравнений с параметром по условию текстовой задачи.

7. Решение уравнений с параметром.

8. Исследовательская работа.

В связи с внедрением в школьную программу элементов высшей математики, с ускоренным развитием и внедрением во все сферы вычислительной математики большое значение имеет формирование у учащихся не отдельных специфических навыков, а тех умений и навыков, которые имеют дальнейшее приложение. К числу этих умений и навыков относятся умения и навыки, которые формируются в процессе решения задач алгебраическим методом.

Комбинированный метод.

Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решения, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а другая часть -арифметическим методом. В этом случае решение текстовых задач значительно упрощается.

Совет 1. Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде - это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи. Таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач.

Совет 2. Выбор неизвестных.

В задачах «на движение» – это обычно скорость, время, путь. В задачах «на работу»– производительность и т.д.

Не надо бояться большого количества неизвестных или уравнений. Главное, чтобы они соответствовали условию задачи, и можно было составить соответствующую «математическую модель» (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств). Кроме того, обращайте особое внимание на единицы измерения - они в течение всего решения должны быть одинаковыми.

Совет 3. Составление и решение «математической модели».

При составлении «математической модели» (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств) ещё раз внимательно прочитайте условие задачи. Проследите за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый «знак» полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы).

Если кажется, что получилось правильное, но очень сложное выражение, то попробуйте ввести другие неизвестные, может быть, изменив их количество, чтобы получилась более простая модель.

Совет 4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.

Задачи на движение. Теория.

Основные понятия.

При решении задач на движение принимают такие допущения:

• движение считается равномерным, т.е. происходящим с постоянной скоростью, если нет специальных оговорок;

• изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

• постоянная скорость, с которой рассматриваемый объект двигался бы по стоячей (неподвижной) воде, называется его собственной скоростью. Если движение происходит по реке, имеющей постоянную скорость течения воды, то скорость движения по течению v = vт.р. + vc.c.

Скорость движения против течения v = vc.c.vт.р.,

где vc.c. – собственная скорость или скорость в стоячей воде, например, в озере;

vm.p. – скорость течения реки.

• при составлении уравнений в задачах, связанных с равномерным движением, пользуются формулой

S = vt, где

S – путь,

v – скорость,

t – время.

При движении двух объектов с различными скоростями v1, и v2 рассматривают следующие ситуации:

• движение начинается из одного пункта А в противоположных направлениях
Если v1, > v2 , то скорость удаления v = v1 + v2 .

• движение начинается из одного пункта А в одном направлении
Если v1 > v2, то скорость удаления v = v1 v2.

• движение начинается из разных пунктов навстречу друг другу
Если v1 > v2 , то скорость сближения v = v1 + v2.

• движение начинается из разных пунктов в одном направлении
Если v1 > v2, то скорость сближения v = v1 v2.

• движение начинается из разных пунктов в одном направлении
Если v1 < v2, то скорость удаления v = v2 v1.

Часто при решении задач на движение вводят систему координат tOs, где по оси абсцисс (оси Ot) откладывают время t, а по оси ординат (оси Os) - пройденное расстояние s. Тогда графиком зависимости s = vt является прямая AM, составляющая с осью Ot острый угол α, тангенс которого равен значению скорости v.
Если по условию задачи одновременно с маршрутом из А в В начинается встречный маршрут из В в А, то отсчет расстояния, пройденного от пункта В по направлению к точке О, ведется от точки В, отмеченной на той же оси Os. Графиком встречного маршрута является прямая BN, составляющая с прямой ВМ, параллельной Ot, острый угол β, тангенс которого равен значению скорости v движения по этому маршруту. Координаты точки Р пересечения графиков указывают время встречи и пройденные от А и от В расстояния до места встречи (соответственно АС и ВС).
Решение типовых задач на движение.

1. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 часа раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал со скоростью, меньшей на 4 км/час, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.

Решение.

Пусть х ч - время велосипедиста, тогда (х + 4) ч - время пешехода.

км/час - скорость велосипедиста.

Если скорость велосипедиста будет меньше на 4 км/час, то есть , то времени он затратит часов или в два раза меньше, чем (х + 4).

; ;

24x = 12x + 48 – 2x ²– 8x; 2x² + 20x – 48 = 0;

x² + 10x – 24 = 0, D = 25 + 24 = 49,

(не подходит по условию задачи),

.

Найдём скорость пешехода (км/час).

Ответ: 4 км/час.

2. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Через 2 часа они встретились. Прибыв в пункт А, катер сразу же отправился обратно. Сможет ли плот прибыть в пункт В раньше катера, если скорость течения равна 3 км/час, а расстояние АВ равно 16 км?

Решение: скорость течения, а значит, и скорость плота 3 км/час. За 2 часа плот проплыл 6 км, а катер 16 - 6 = 10 км. Скорость катера против течения реки 10:2 = 5 (км/час), тогда его собственная скорость 5 + 3 = 8 (км/час), а скорость по течению 8 + 3 = =11 (км/час).

Вычислим, сколько времени потребуется катеру проплыть от места встречи до пункта А и затем от пункта А до пункта В. А также сколько времени t2 потребуется плоту доплыть до пункта В. Если t2 окажется меньше , то плот прибудет в пункт В раньше катера. Время равно сумме времени, затраченного катером на путь от места встречи до пункта А, то есть ч, и времени, затраченного на путь из пункта А в пункт В, то есть ч.

Итак, (часа).

(часа).

Так как t2 > t, то плот не сможет прибыть в пункт В раньше катера.

Ответ: нет.

3. В направлении от А к В автомобиль ехал некоторое время с постоянной скоростью v1 = 60 км/ч. Остальную часть пути он проехал за такое же время, но со скоростью v2 = 40 км/ч. В противоположном направлении автомобиль ехал одну половину пути со скоростью v3 = 80 км/ч, а другую половину - со скоростью v4 = 45 км/ч. Какова средняя скорость рейса: а) из А в В? б) из В в А?

Решение.

а) Так как автомобиль в течение одинаковых промежутков времени ехал с каждой из указанных скоростей, то (км/ч).

б) Обратный рейс состоит из двух равных частей пути (предположим, что каждая из них равна 5 км), которые пройдены автомобилем в неравные промежутки времени; поэтому было бы неверно считать, что (км/ч). Пусть автомобиль ехал х часов со скоростью v3 и у часов со скоростью v4. Тогда v3x = v4y = s, откуда . Следовательно, средняя скорость (км/ч)

Ответ: а) 50 км/ч; б) 57,6 км/ч.

4. Пешеход, идущий из дома на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к отходу поезда на 40 мин, если будет идти с той же скоростью. Поэтому остальной путь он прошел со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 15 мин до отхода поезда. Чему равно расстояние от дома до станции и с какой постоянной на всем пути скоростью пешеход пришел бы на станцию точно к отходу поезда?

Решение.

Составим следующую таблицу:

Пешеход пришел бы на станцию

Расстояние, км

Скорость, км/ч

Время, ч

Точно

x

v

x/v

С опозданием

x – 3

3

(х-3)/3

С опережением

x – 3

4

(х-3)/4

Уравнивая промежутки времени, записанные в первой и второй, в первой и третьей строках, получаем систему уравнений



Или , откуда х = 14.

Ответ: х = 14, v = 3,5 км/ч.

5. Расстояние между точками А и В равно 270 м. Из А в В равномерно движется тело; достигнув В, оно сразу же возвращается назад с той же скоростью. Второе тело, выходящее из В в А через 11 с после выхода первого из А, движется равномерно, но медленнее. На пути от В к А оно встречается с первым дважды: через 10 и 40 с после своего выхода из В. Найти скорость движения каждого тела.

Решение.

Введем систему координат tOs, где по оси ординат (оси Os) откладываем пройденное расстояние s = АВ = 270, а по оси абсцисс (оси Ot) - время t:

ВЕ = 11, ЕН=10, ЕК = 40.

Тогда АС – график движения первого тела из А в В, составляющий с осью Ot острый угол α, тангенс которого равен значению скорости .

CD - график движения первого тела из В в А, составляющий с осью Ot острый угол α, тангенс которого равен значению скорости .

EF - график движения второго тела из В в А, составляющий с осью Ot острый угол β, тангенс которого равен значению скорости v2.
Из треугольника AMN: tgα = . To есть MN = 21.

Из треугольника EHM: tgβ = . To есть МН = 10v2.

Из треугольника EKF: tgβ = . To есть KF = 40v2.

Из треугольника CKF: tgα = . To есть CK = .

HCM = MAN = α,

Из треугольника НСМ: tgα = . То есть

Так как HM + MN = 270, НС + СК = 30, получим систему уравнений:



Ответ: v, = 10 м/с, v2 = 6 м/с.
Практикум по решению задач.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Решение тестовых задач по математике icon Решение задач 141-153 из учебника 99 Решение задач 154-165 из учебника...
Издание разработано при поддержке Отдела теории алгоритмов и математических основ кодирования Вычислительного центра им. А. А. Дородницына...
Решение тестовых задач по математике icon Главы задач. В этой главе описываются предлагаемые модели и методы...
«Построение тестовых программ для проверки подсистем управления памяти микропроцессоров»
Решение тестовых задач по математике icon Среди большого разнообразия математических задач существуют такие,...
Все это делает логические задачи необычайно привлекательными, и школьники (даже не отличающиеся успехами в математике) обычно с удовольствием...
Решение тестовых задач по математике icon Транслятор тестовых заданий в xml – формат
Актуальна разработка тестовых систем, предназначенных как для создания банка тестовых данных, так и для современных исследований...
Решение тестовых задач по математике icon Решение математических задач повышенной сложности

Решение тестовых задач по математике icon Тема Разработка электронного учебного пособия «vba. Решение задач»

Решение тестовых задач по математике icon «Чтение художественной литературы»
Цели: формирование интереса и потребности в чтении (восприятии) книг через решение следующих задач
Решение тестовых задач по математике icon Программа факультатива по химии для учащихся 10 классов «Решение...
Для успешного решения задач, поставленных перед школой, необходимо, с одной стороны, обеспечить прочное овладение школьниками программным...
Решение тестовых задач по математике icon Физика 1место школьный тур олимпиады по математике
Участие в молодежном чемпионате по географии (5 место в районе), в районной игре «Умники и умницы» по математике (грамота), на олимпиадах...
Решение тестовых задач по математике icon Моу-мсош
Это современная «надпредметная» универсальная технология, открытая к диалогу с другими педагогическими подходами и технологиями,...
Литература


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
literature-edu.ru
Поиск на сайте

Главная страница  Литература  Доклады  Рефераты  Курсовая работа  Лекции