В средней школе




Скачать 1.76 Mb.
Название В средней школе
страница 5/14
Дата публикации 15.05.2014
Размер 1.76 Mb.
Тип Документы
literature-edu.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

1. Использование свойств интеграла

№1. Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м (рис. 1).

Решение. Сила давления воды зависит от глубины х погружения площадки: , где а – площадь площадки. Получаем (т).

№2. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0. Какова наибольшая высота, достигаемая телом?

Решение. Скорость тела в любой момент времени t движения равна разности начальной скорости и скорости gt, вызванной ускорением, определяемым силой тяжести: . Движение вверх будет происходить при , то есть при . Таким образом, максимальная высота полета равна .

2. Введение новой переменной

№1. Задан закон изменения скорости движения материальной точки по прямой: (время t в секундах, скорость v в метрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 13 сек. от начала движения (t=0)?

Решение. В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках. Назовем её z, z=2t+1. При этом надо также от дифференциала dt перейти к дифференциалу dz. Получим . Вычислим сначала неопределенный интеграл,

Таким образом, м/c.

№2. Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [0,01;1], если ток изменяется по формуле .

Решение. За элементарный промежуток времени протекает количество электричества . В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках. . Тогда . Значит, общее количество электричества равно



№3. Точка движется по прямой. В начальный момент времени t=1 сек. её скорость равна 1 м/с, а затем уменьшается по закону . Найдите длину пути, пройденного точкой за 4 сек. от начального момента времени.

3. Интегрирование путем подстановки (внесением под знак дифференциала)

№1. Найти величину давления на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен R, а верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости; удельный вес жидкости равен .

Решение. Проведем горизонтальную полоску на глубине х. Сила давления жидкости на эту полоску равна . Таким образом, . Заметим, что 2xdx=dx2, тогда

.

№2. Конец трубы, погруженной горизонтально в воду, может быть закрыт заслонкой. Определить давление, испытываемое этой заслонкой, если её диаметр равен 60 см, а центр находится на глубине 15 м под водой.

Рассмотрим несколько нетривиальных примеров применения интеграла в физике. Решение данных задач поможет учащимся осознать большую прикладную значимость интеграла, а также позволит сформировать зрительные образы понятию интеграла.

№1. На прямой расположены материальная точка массы m и однородный стержень массы M и длины l. Точка удалена от концов стержня на расстояния c и c+l. Определить силу гравитационного притяжения между стержнем и точкой.

Решение. Разобьем отрезок [c; c+l] на большое число отрезков. Если отрезки эти малы, то массу каждого из них можно считать точечной и силу гравитационного притяжения между таким отрезком и массой m вычислять по закону всемирного тяготения. Если длина отрезка равна Δх, а расстояние его от начала координат равно х, то сила гравитационного притяжения равна Δх.

Суммируя полученные для каждого отрезка значения силы гравитационного притяжения, мы получим представление искомой силы в виде суммы тем более точное, чем мельче отрезки, на которые мы разбивали отрезок [c; c+l]. В пределе получим .

№2. Стержень АВ вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси ОО' с угловой скоростью=10рад/с. Поперечное сечение стержня S=4см2, длина его l = 20 см, плотность материала, из которого он изготовлен, кг/м3. Найти кинетическую энергию стержня.

Решение. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна , где – угловая скорость, а J – момент инерции относительно оси вращения. Момент инерции стержня относительно оси равен , отсюда кинетическую энергию стержня можно найти по формуле: =4,2 (Дж).

№3. Найти давление воды на плотину, если вода доходит до её верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой h, верхним основанием а и нижним основанием b.

Решение. Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине х и имеющий высоту dx. Легко доказать, что длина этого слоя равна . Поэтому его площадь dS равна , а давление dP на него равно . Всё давление на плотину выражается интегралом

.

№4. Найдите работу переменного тока, изменяющегося по формуле за промежуток времени, если сопротивление цепи равно R.

Решение. Как известно из физики, в случае постоянного тока мощность выражается формулой . Обозначим, . Поэтому, учитывая, что , имеем:



№5. Два точечных электрических заряда +10-4 и –10-4 Кл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Найдите работу, необходимую для того, чтобы развести их на расстояние 10 км.

Решение. Сила взаимодействия F между зарядами равна(a=kq1q2, где Нм2/Кл2). Тогда работа этой силы, когда заряд q1 неподвижен, а заряд q2 передвигается по отрезку [0,1; 10000] м, равна



№6. Какую работу требуется выполнить, чтобы с помощью ракеты тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h?

Решение. На тело массы m по закону всемирного тяготения действует сила , где M – масса Земли, а r – расстояние тела от центра Земли. Поэтому

Рис. 2

На поверхности же Земли, то есть при r=R имеем F=mg, то есть и . Отсюда .

№ 7. Бак, имеющий форму полусферы радиуса R, целиком заполнен водой. Какую работу надо затратить, чтобы полностью выкачать воду из бака (рис. 2)?

Решение. Разобьем отрезок [0; R] на п отрезков равной длины точками 00 < х1 < < х2 < ... < хп = R и соответственно разрежем мысленно содержимое бака на п слоев. Приняв каждый такой слой примерно за круговой цилиндр, найдем объем k-го слоя: .

Таков же численно будет и его вес. Для поднятия этого слоя до верха бака требуется затратить работу Ак, равную приблизительно .

Заметим, что по мере измельчения отрезка [0; R] точность полученной формулы будет увеличиваться, перейдем к пределу, в результате чего получим точную формулу: .

Таким образом, решение представленных задач формирует такие специальные качества, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи учащихся.

Кроме того, использование физических задач для изучения интеграла в школьном курсе алгебры и начал анализа позволять сформировать наглядные образы изучаемого понятия, повысить осознанность усвоения темы. В свою очередь, в физике интеграл используется как средство решения задач. Отметим, что без понимания сути данного понятия, его свойств осознанное решение задач физики невозможно. Учителю необходимо регулярно осуществлять и подчеркивать тесную связь математики и физики как в ходе изучения темы «Интеграл», так и при решении физических задач.

Библиографический список

1. Виленкин Н. Я. Математический анализ. Интегральное исчисление [Текст]: уч. пособие для студентов-заочников II курса физико-математических факультетов педагогических институтов / Н.Я. Виленкин, Е.С. Куницкая, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1979.

2. Задачи как средство обучения алгебре и началам анализа в X классе [Текст]: уч. пособие / сост. Е.С. Канин. – Киров: КГПИ имени В.И. Ленина, 1985.

3. Задачник по курсу математического анализа [Текст]: уч. пособие для студентов заочн. отделения физ.-мат. фак-тов пединститутов. Ч. I / под ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971.

4. Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и её приложения к физике [Текст]: уч. пособие для физико-математических средних школ и проведения факультативных занятий / Я. Б. Зельдович. – М.: Наука, 1970.

5. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров [и др.]. – М.: Просвещение, 1998.

6. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа [Текст] Ч. I: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2003.


Родионова О. Л., Горев П. М.

Интеграция математических и естественнонаучных знаний
в учебных проектах учащихся профильной школы


В статье описаны возможности синтеза интегративного подхода и технологии проектной деятельности при обучении школьников математике и естественнонаучным дисциплинам. Интерес представляет перечень возможных проектов для интеграции знаний.
Международные исследования показывают, что одной из проблем современного математического образования является неумение школьниками применять средства математического аппарата при решении практических задач. В то же время, современная наука требует привлечения комплексных, синтетических знаний из различных ее областей. Вследствие этого возрастает роль межпредметной интеграции как средства развития интеллектуальных творческих способностей учащихся. Именно поэтому встает вопрос об интегративном подходе к преподаванию различных предметов в школе, который способствует выработке системы знаний, четкому видению школьниками общих для разных предметов идей, и формировании нового, интегративного способа мышления, необходимого для жизнедеятельности человека в обществе [1].

Кроме того, для успешной интеграции в социум и адаптации в нем выпускнику современной школы необходимы практико-ориентированные знания [13]. Поэтому здесь особую актуальность приобретает использование в педагогическом процессе методов и методических приемов, позволяющих сформировать у учащихся навыки самостоятельного активного поиска, сбора и анализа необходимой информации, умения выдвигать гипотезы, делать выводы и строить умозаключения [10]. Помимо этого, при интегративном подходе в методике обучения должны использоваться активные методы и формы, позволяющие интегрировать знания и способы деятельности различных наук, направляющие школьников на самостоятельный творческий поиск, исследование [6]. К таким методам может быть отнесено использование проектных технологий. Математические и естественнонаучные дисциплины (прежде всего в их межпредметных связях) дают широкий простор для эффективного применения метода проектов, а это, в свою очередь, способствует освоению необходимых школьнику знании и формированию умений и навыков.

Уроки, построенные на основе интегративного подхода, развивают потенциал учеников, стимулируют познание ими окружающей действительности, развивают у них логику мышления, коммуникативные способности. Именно такая подготовка, включающая использование проектных технологий и межпредметных связей, обеспечивает конкурентоспособного специалиста в интегрированном информационном пространстве современного общества [2].

В основе метода проектов лежит развитие познавательных навыков учеников, умения самостоятельно конструировать свои знания, умения ориентироваться в обширном информационном пространстве, анализировать полученную информацию, умения самостоятельно выдвигать гипотезы, принимать решения (поиск направления и методов решения проблемы); развитие критического мышления, способность осуществлять исследовательскую и творческую деятельность [13]. При разработке, создании и защите проекта учитель является не носителем готовых знаний, а организатором деятельности учеников, он не дает решение проблемы, а направляет на его самостоятельный поиск.

Известные педагоги Я. А. Каменский, К. Д. Ушинский и др. выделяли особую важность межпредметной взаимосвязи для отражения целостной картины природы в представлениях школьников, для создания структурированной системы знаний и правильного миропонимания, отмечали необходимость обобщенного системного познания и полноты познавательного процесса [4].

Тем не менее, Г. К. Селевко в главе «Педагогические технологии на основе дидактического усовершенствования» Энциклопедии образовательных технологий пишет, что традиционное содержание школьного образования (особенно естественнонаучного) раздроблено и далеко от реализации идей синергетики, которые «позволяли бы наиболее полно проиллюстрировать единство всего сущего, построить единую процессуальную модель мира, ... в которой все – неживая и живая природа, жизнь и творчество человека, общество и культура – взаимосвязано и подчинено единым вселенским законам» [15, стр. 479].

Математические и естественнонаучные дисциплины как никакие другие требуют использования интеграции в процессе обучения, поскольку именно они направлены на формирование целостных представлений об окружающем материальном мире, о связи между предметами на основе ведущих идей и понятий [6].

И. С. Сергеев в книге «Как организовать проектную деятельность учащихся» [16] делит все учебные дисциплины на два вида. Он пишет: «Ведущую роль в логике построения образовательного процесса на предметах, формирующих систему специальных и общеучебных знаний и умений учащихся, занимает содержание обучения. Систематическое построение учебной программы – условие высокого качества знаний «на выходе» – диктует жесткий отбор форм и методов обучения. В обыденном сознании это «серьезные» предметы, такие как география, биология, химия, физика, математика. На уроках этой группы метод проектов имеет относительно низкую эффективность, что доказала и мировая, и отечественная практика» [16, стр. 33]. По словам автора, реализация проектной деятельности по этим дисциплинам лучше всего происходит в форме межпредметных проектов. Выделяя второй вид учебных дисциплин, И. С. Сергеев пишет: «Преподавание предметов, ориентированных на формирование компетентностей (информационной, коммуникативной и др.) не только допускает, но и требует введения метода проектов как в классно-урочную, так и во внеурочную деятельность учащихся» [16, cтр. 33]. К таким дисциплинам он относит информатику, экологию, экономику и некоторые другие гуманитарные предметы. Таким образом, очевидно, что для повышения эффективности применения метода проектов в обучении математике необходима ее интеграция с другими школьными предметами, в частности с естественнонаучными дисциплинами.

Подавляющее большинство учителей используют межпредметные связи математики с другими школьными предметами в том случае, если изучаемая тема имеет явную практическую значимость или реальное представление в жизни. По-видимому, иной материал остается оторванным от реальных практических применений математических знаний, а, следовательно, проблема интеграции лишь обозначается, но не решается. Исправить это можно, используя синтез интегральной и проектной образовательных технологий.

В построении интегральных образовательных технологий существует достаточное разнообразие конкретных решений – моделей, отличающихся по тем или иным параметрам. В свою очередь учебный проект в них может выступать интеграционной основой для нескольких учебных предметов.

Одним из путей реализации модели «Интегрирование учебных дисциплин»1, заключающейся в объединении предметных систем различных наук, может являться метод проектов. Например, в настоящее время в школьную практику входит изучение такого предмета как «Естествознание», а также введение элективного курса «Основы естественнонаучного познания мира», которые объединяют такие дисциплины, как математика, физика, химия и биология. Здесь особую эффективность приобретает разработка исследовательских проектов. Это объясняется тем, что проект становится базовой платформой для переработки материала таким образом, чтобы и естествознание, и основы естественнонаучного познания мира представляли собой дисциплину, в которой различные разделы науки объединены между собой на единой логической основе [15, стр. 481]. Кроме того, в рамках интегрированных дней или недель, посвященных тем или иным дисциплинам, можно осуществлять защиту межпредметных проектов, которые были подготовлены заранее.

Временная модель интегрирования учебных предметов – модель «синхронизации» параллельных программ, учебных курсов и тем – позволяет синхронизировать программы, построенные так, чтобы по интегрируемым предметам в данное время изучались темы, близкие по содержанию или по какому-либо другому признаку. Метод проектов здесь может служить средством, позволяющим закрепить, обобщить и углубить знания учащихся по интегрированным дисциплинам.

Модель межпредметных связей дает возможность согласовать учебные программы, что обусловлено содержанием наук и дидактическими целями. Проектные технологии в этом случае могут использоваться непосредственно на уроке математики в виде краткосрочных проектов, которые были бы направлены на обучение школьников методам исследовательской деятельности, открытию новых фактов, установлению взаимосвязей между дисциплинами [15].

Кроме того, А. Н. Лямин выделяет урок – защиту проектов, как специфическую форму интегративного обучения [6].

Те или иные математические методы и понятия могут быть применимы и использованы в самых различных науках. Однако нельзя утверждать об обратном. Поэтому при подготовке к использованию проектных технологий в обучении математике важно выделить, чем будет являться математика в данном межпредметном проекте: или математика как источник методов изучения другой науки, или математика как равноправная составляющая. Второй случай наиболее часто встречается при интеграции математики и физики, поскольку физика способствовала развитию некоторых важных областей математики.

В связи с этим можно выделить три вида межпредметных проектов по результатам интеграции дисциплин в нем:

1) ассимиляционные (слияние средств и методов базовой науки со стороны соучаствующей интеграции науки);

2) конгломерирующие (соединение взаимодействующих наук на основе одной из них);

3) синтезирующие (формирование новой интегративной науки) [6].

Стоит отметить, что наиболее распространенными в математическом образовании являются ассимиляционные и конгломерирующие. Это связано с тем, что математика имеет ряд принципиальных отличий от естественных наук, что мешает их синтезу и взаимопроникновению (односторонность интеграции). Однако элементы синтезирующих проектов (двусторонняя интеграция) могут проявляться при разработке проектов по математике и более чем двух естественнонаучных дисциплин (например, математика и биофизика, биохимия и т. п.).

Проектно-исследовательская деятельность по математике, интегрирующая ее с естественнонаучными дисциплинами, может обладать различной степенью интеграции (в зависимости от профиля) и широко применяться как непосредственно на уроке, так и в дополнительном образовании.

Отличительной особенностью такой проектной деятельности является то, что учитель контролирует процесс разработки проекта, более активно участвует в его создании. Это связано с тем, что время на уроке (или нескольких уроков) строго ограничено, а базовый материал должен быть усвоен каждым учащимся. Здесь мы видим определенную сложность применения метода проектов непосредственно на уроке математики. Однако при умелой организации процесса создания проекта и правильно выбранном его продукте этот метод достаточно эффективен, т. к. позволяет создать условия для формирования у учащихся навыков выделения проблемы, поиска способов ее решения, добычи информации (это может быть учебник, дополнительные материалы; доступ к школьной электронной библиотеке, если урок проходит в компьютерном классе и т. п.), ее обобщения, представление выводов в виде некоторого конечного продукта.

Проектно-исследовательская деятельность по естественнонаучным и математическим дисциплинам имеет наибольшую эффективность в дополнительном математическом образовании, особенно в форме интегрированных проектов. Это объясняется тем, что тематика не ограничивается ни школьным материалом, ни временем, ни отсутствием доступа к некоторым источникам информации, которые на уроке использовать в полной мере невозможно (материалы, которые встречаются только в библиотечных фондах, получение данных в результате долгосрочных наблюдений и др.).

В. В. Гузеев предлагает ввести в школьную практику «недели проектов», которые уже несколько десятилетий практикуются за рубежом. В ходе таких мероприятий учащиеся не ограничены рамками предметов и могут в обобщенной форме применить комплекс полученных знаний [3].

Кроме того, в профильном и предпрофильном обучении метод межпредметных проектов может быть использован в качестве основного на занятиях элективных и межпредметных (профориентационных) курсов.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

В средней школе icon Аннотации к рабочим программам учебных дисциплин в средней и старшей школе
Дисциплина «Русский язык» включена в базовую часть гуманитарного цикла. К исходным требованиям, необходимым для изучения дисциплины...
В средней школе icon Методика преподавания элементов теории вероятности в общеобразовательной...
Особенности изучения элементов теории вероятности и математической статистики в общеобразовательной средней школе
В средней школе icon Расписание уроков в мкоу средней общеобразовательной школе

В средней школе icon Приказ от 02. 09. 2012 №90 Расписание уроков начальной школы (1-4)...
Расписание уроков начальной школы (1-4) на 2012-2013учебный год по мкоу добрятинской средней общеобразовательной школе
В средней школе icon 1. Конспекты занятий
Негосударственном образовательном учреждении частной средней общеобразовательной школе «Ромашка»
В средней школе icon Уважаемые коллеги!
Инновационные технологии в теории и практике обучения иностранным языкам в средней и высшей школе
В средней школе icon Расписание уроков 5-11 классов на 2013-2014 учебный год по мкоу добрятинской...

В средней школе icon Информация об организации инновационной деятельности в Муниципальном...
Информация об организации инновационной деятельности в Муниципальном бюджетном общеобразовательном учреждении средней общеобразовательной...
В средней школе icon Программа развития воспитания в Муниципальном бюджетном общеобразовательном...

В средней школе icon Рекомендованная литература для внеклассного чтения в средней школе. Топ-100
Паустовский К. Г., Житков Б. С., Зощенко М. М., Астафьев В. П., Пермяк Е. А., Драгунский В. Ю., Гайдар А. П., Яковлев Ю. Я., Железников...
Литература


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
literature-edu.ru
Поиск на сайте

Главная страница  Литература  Доклады  Рефераты  Курсовая работа  Лекции