В средней школе
|
Скачать 1.76 Mb.
|
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s=vt, то есть . Для неравномерного движения разобьём промежуток времени [a; b] на n равных частей. Рассмотрим промежуток времени [tk-1; tk] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой как в момент времени tk: . Перемещение точки за промежуток времени [tk-1; tk] приближенно можно представить как произведение . Найдем приближенное значение перемещения , где Sk=v(t1). Точное значение перемещения вычисляется по формуле . Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы.4) Задача о давлении жидкости на стенку. Бассейн высоты H наполнен водой. Вычислить давление воды на прямоугольную стенку бассейна с основанием прямоугольника, равным а. Решение. Разделим высоту Н на n равных частей (Δh). Стенка разделится на «элементы». Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жидкости высоты hi м, имеющего сечение 1 м2, равно hi тоннам. Давление же воды на элемент, находящийся на глубине hi, равно произведению hi на площадь элемента: . Обозначим произведение через F(hi). Тогда величина давления на всю стенку приближенно равна . Данную сумму называют интегральной суммой функции и F(h) на отрезке [0; H]. При этом предполагается, что функция F(h) непрерывна на отрезке [0; H] и может принимать любые значения. Если и высоты «элементов» стремятся к нулю, то точное выражение суммы равно . Его называют определенным интегралом от функции F(h) на отрезке [0; H] и обозначают . Далее понятие определенного интеграла обобщается на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b]. Такой подход к определению интеграла предполагает введение операции интегрирования как независимой операции; при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. С учениками решаются данные физические задачи, затем задача о площади криволинейной трапеции. После чего, обобщив полученные результаты, переходят к определению интеграла как предела интегральных сумм. Хотя данное определение громоздко, но идея метода наглядна (геометрическая интерпретация – площадь криволинейной трапеции). Вместе с определением интеграла получают и способ его вычисления. Но, как известно, интеграл можно определять не только как предел интегральных сумм. Поэтому рассмотрим несколько задач, где интеграл определяется как приращение первообразной. 1) Задача о перемещении точки. Пусть скорость прямолинейного движения точки, заданная на некотором промежутке времени [t1; t2]. При этом пусть v(t) > 0. Как выразится длина пути, пройденного точкой за данный промежуток времени? Решение. Обозначим координату движущейся точки в момент t через S(t). Тогда, так как движение при v>0 происходит только в положительном направлении (или иначе, т. к. S(t) – функция возрастающая, ввиду того, что ), то искомое расстояние будет выражаться числом S(t2)–S(t1). С другой стороны S(t) есть первообразная функции . Таким образом, вычисление длины пути, пройденного точкой за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной S(t) функции v(t), т. е. к интегрированию функции v(t). Разность S(t2)–S(t1) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так: . 2) Задача об импульсе силы. Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [t1; t2]. Решение. Как известно из физики второй закон Ньютона в импульсном представлении выражает уравнение . Произведение массы на скорость называется «количеством движения». Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [t1; t2] искомое количество движения может быть найдено так: . С другой стороны Р(t) есть первообразная функции F(t). Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t). Разность P(t2)–P(t1) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так: . Величина называется также «импульсом силы» за время [t1; t2]. 3) Задача о количестве электричества. Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Вычислим количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b] через сечение проводника. Решение. Если бы сила не менялась со временем, то изменение количества электричества q равнялось бы произведению . Пусть задан закон изменения в зависимости от времени. Тогда количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b], равно . С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а , следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I(t). Разность называют интегралом от функции I(t) на отрезке [a; b] и обозначают так: . Этот подход к определению интеграла предполагает введение операции интегрирования как операции, обратной дифференцированию. При этом формула Ньютона-Лейбница практически служит определением интеграла. Однако в этом случае идея метода суммирования отходит на второй план. Недостаток этого подхода состоит в том, что появляются затруднения при изучении приложений интеграла. В итоге все-таки приходится рассматривать интеграл как предел интегральных сумм, чтобы получить единый, достаточно общий метод решения задач геометрии, механики, электродинамики и других разделов физики. Все вышерассмотренные задачи – это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала. Кроме того, при изучении интеграла существенным является отбор свойств, которые необходимо знать ученикам. Их должно быть достаточно для рассмотрения приложений интеграла и в то же время не должны вводиться свойства, без которых можно обойтись в дальнейшем. Ниже приведенные свойства интеграла рассматриваются на различных физических задачах. 10. . (3) Рассмотрим доказательство данного свойства на задаче о перемещении точки. (Пусть по прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].) При введении интеграла рассматривается случай, когда нижний предел интегрирования меньше верхнего. Но определенный интеграл можно обобщить и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае обратимся к определению интеграла как суммы. Разбивая отрезок от [a; b] промежуточными значениями , убедимся, что все Δt теперь отрицательны. Легко убедиться, что, (1) так как при любом разбиении отрезка [a; b] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δt во всех слагаемых. 20. Свойство аддитивности интеграла: . Докажем свойство на примере той же задачи о перемещении точки. Существенное свойство интеграла состоит в том, что область интегрирования можно разбить на части: путь, пройденный за время от а (начала) до b (конца), можно представить как сумму пути, пройденного за время от a до c (промежуточного момента) и от c до b. (4) При помощи соотношения (3) можно распространить формулу (4) и на случай, когда с не лежит внутри промежутка [a; b]. Пусть c>b>a. Тогда очевидно . Перенесем последнее слагаемое в левую часть и воспользуемся (3): . (5) Таким образом, получили равенство (5), в точности совпадающее с (4). Аналогично можно рассмотреть случаи другого расположения чисел a, c, b (их всего шесть вариантов). Учащиеся легко могут самостоятельно убедиться, что формула (4) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел a, c, b. 30. Свойства линейности интеграла : , . Рассмотрим доказательство этих свойств на примере задачи о работе переменной силы и задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна. 3.1. Пусть к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой в одну сторону. Под действием этих сил материальная точка переместилась из точки а в точку b, при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам: и . Тогда общая работа, совершенная обеими силами равна . (6) С другой стороны, если к телу приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F(x) находится по формуле . Работа этой силы равна . (7) В силу равенства левых частей в формулах (6) и (7), получаем равенство правых, то есть. Нетрудно показать, что данное свойство выполняется для любого конечного числа сил, действующих на точку и направленных по одной прямой в одну сторону. Это свойство показывает, что интеграл суммы нескольких слагаемых разбивается на сумму интегралов отдельных слагаемых. Если же к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы и , направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то их равнодействующая F(x) при находится по формуле . Тогда верно следующее равенство . 3.2. Ранее был приведен метод введения интеграла, основанный на рассмотрении задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой получена формула , (8) где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна. Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле. Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно . (9) В силу равенства левых частей в формулах (8) и (9), получаем равенство правых, т. е. . Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т.е. . 40. Если на отрезке [a; b], то . Докажем данное свойство с помощью задачи о массе стержня. При введении понятия интеграла с помощью задачи о вычислении массы неоднородного стержня была получена формула . Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны, масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то. Используемые в доказательствах свойств интеграла физические модели, во-первых, наглядны, во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы. Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении. После решения физических задач можно доказать все рассмотренные свойства интеграла на основе геометрического смысла интегральной суммы и площадей криволинейных трапеций, что позволит подчеркнуть связь математики и физики, а также будет способствовать лучшему усвоению учащимися свойств интеграла. Рис. 1 Кроме того, можно использовать задачи из различных разделов физики для отработки навыков интегрирования. |
Похожие:
 |
Аннотации к рабочим программам учебных дисциплин в средней и старшей школе Дисциплина «Русский язык» включена в базовую часть гуманитарного цикла. К исходным требованиям, необходимым для изучения дисциплины... |
 |
Методика преподавания элементов теории вероятности в общеобразовательной... Особенности изучения элементов теории вероятности и математической статистики в общеобразовательной средней школе |
|
Расписание уроков в мкоу средней общеобразовательной школе |
|
Приказ от 02. 09. 2012 №90 Расписание уроков начальной школы (1-4)... Расписание уроков начальной школы (1-4) на 2012-2013учебный год по мкоу добрятинской средней общеобразовательной школе |
|
1. Конспекты занятий Негосударственном образовательном учреждении частной средней общеобразовательной школе «Ромашка» |
|
Уважаемые коллеги! Инновационные технологии в теории и практике обучения иностранным языкам в средней и высшей школе |
|
Расписание уроков 5-11 классов на 2013-2014 учебный год по мкоу добрятинской... |
|
Информация об организации инновационной деятельности в Муниципальном... Информация об организации инновационной деятельности в Муниципальном бюджетном общеобразовательном учреждении средней общеобразовательной... |
|
Программа развития воспитания в Муниципальном бюджетном общеобразовательном... |
|
Рекомендованная литература для внеклассного чтения в средней школе. Топ-100 Паустовский К. Г., Житков Б. С., Зощенко М. М., Астафьев В. П., Пермяк Е. А., Драгунский В. Ю., Гайдар А. П., Яковлев Ю. Я., Железников... |