Тематический план модулей для обобщающего повторения планиметрии за курс основной школы
№
|
Наименование модулей
|
Всего часов
|
В том числе
|
Форма контроля*
|
лекция
|
практика
|
контроль
|
|
1
|
Прямоугольный треугольник и его свойства
|
4
|
1
|
3
|
2
|
Две КР
и одна СР
|
2
|
Равнобедренный треугольник и его свойства
|
3
|
1
|
2
|
2
|
Две КР
и одна СР
|
3
|
Произвольный треугольник и его свойства
|
4
|
1
|
3
|
2
|
Две КР
и одна СР
|
4
|
Четырехугольник, параллелограмм, и его свойства
|
4
|
1
|
3
|
2
|
Две КР
и одна СР
|
5
|
Трапеция и ее свойства
|
4
|
1
|
3
|
2
|
Две КР
и одна СР
|
6
|
Свойства углов, касательных, хорд и секущих
|
3
|
1
|
2
|
2
|
Две КР
и одна СР
|
7
|
Треугольники и окружность
|
3
|
1
|
2
|
2
|
Две КР
и одна СР
|
8
|
Четырехугольники и окружность
|
3
|
1
|
2
|
2
|
Две КР
и одна СР
|
9
|
Метод площадей
|
3
|
1
|
2
|
1
|
КР и СР
|
10
|
Метод вспомогательной окружности
|
3
|
1
|
2
|
1
|
КР и СР
|
* КР – контрольная работа; СР – самостоятельная работа (контрольные работы не входят в отводимые часы для повторения).
Построение модуля «Прямоугольный треугольник»
для обобщающего повторения планиметрии
Образовательная цель: создание условий для овладения учащимися системой знаний о треугольнике (одной из основных фигур планиметрии) и его основных свойствах; усвоения приемов решения планиметрических задач с использованием свойств и теорем о треугольнике. Развивающая цель: создание условий для формирования пространственного и логического мышления; развития практического мышления учащихся в использовании геометрических знаний, коммуникативных умений. Воспитательная цель: создание условий для формирования мировоззрения учащихся, воспитания нравственности, культуры общения, самостоятельности, активности, воспитания трудолюбия.
Комплексная дидактическая цель формулируется в терминах «знать» и «уметь» и достигается реализацией интегрирующих целей конкретных модулей.
Сформулируем интегрирующую цель для модуля «Прямоугольный треугольник». После изучения модуля «Прямоугольный треугольник» учащиеся
– должны знать метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, свойства проекций катетов, свойства медиан, биссектрис, высот, теоремы о площадях треугольника, теоремы синуса и косинуса, теорему Пифагора;
-
должны уметь определять наиболее эффективный метод решения задачи, применять основные формулы, метрические соотношения и теоремы в прямоугольном треугольнике.
Структура модуля представлена в таблице 2.
Таблица 2
Номер
элемента
|
Название учебного элемента.
Цели и задачи формулируются для ребёнка
|
Управление обучением
(содержание, формы, методы)
|
УЭ-0
|
Цели и задачи модуля. Актуализация целей.
|
Беседа.
|
УЭ-1
|
Учебный модуль.
Цель: актуализация знаний и умений по теме «Прямоугольный треугольник», определение исходного уровня знаний по теме.
|
Входной контроль.
|
УЭ-2
|
Повторение и обобщение.
Цель: повторить вопросы, касающиеся треугольника и более подробно свойства прямоугольного треугольника; уметь применять теоретические знания на практике.
|
Источники информации, методы решения задач.
|
УЭ-3
УЭ-4
УЭ-5
УЭ-6
|
Отработка учебного материала.
Цель: 1) проверить теоретические знания учащихся и умения решать опорные задачи;
2) отработать навыки применения формул, теорем для решения планиметрических задач, и различные методы их решения.
|
Самостоятельная работа (контроль по теории и методам решения задач)
Урок-практикум по самостоятельному решению задач
|
УЭ-6
|
Учебный модуль.
Цель: проверить свои знания и умения по теме модуля.
|
Выходной контроль
|
Структура модуля «Прямоугольный треугольник»
Первый урок – входной контроль. Учащимся предлагается контрольная работа по теме «Прямоугольный треугольник». Задания контрольной работы содержат вопросы о свойствах прямоугольного треугольника и его элементов, а именно: теорема Пифагора; биссектрисы, медианы треугольника, высоты проведенной из вершины прямого угла; формулы синуса и косинуса острого угла; а так же свойства произвольного треугольника: подобие треугольников, формулы площади треугольника. Приведем пример одного из вариантов контрольной работы (здесь и далее задачи заимствованы из [1-7]).
-
Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8.
-
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС с прямым углом С, если , см.
-
В прямоугольном треугольнике медианы острых углов равны 89 и 156. Найти длину гипотенузы.
-
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
-
Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а площадь его равна 24 см2. Найдите площадь описанного круга.
Второй урок посвящается повторению вопросов, касающихся треугольника и, более подробно, рассмотрению свойства прямоугольного треугольника, признаки равенства и подобия треугольников; неравенства треугольника; сумма углов треугольника; теоремы синуса и косинуса; свойства высот (особое внимание на свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла), медиан и биссектрис треугольника; теорема Пифагора; формулы синуса и косинуса острого угла; свойства катета, лежащий против угла в 30 градусов; формулы площади треугольника; вписанных и описанных окружностей. Главной задачей этого повторения является актуализация знаний о прямоугольном треугольнике для последующего применения этих знаний для решения задач.
Все перечисленные вопросы можно повторить в форме фронтальной беседы. Повторять нужно именно свойства, формулы и определения, касающиеся прямоугольного треугольника, без повторения доказательств и выводов формул. Для того чтобы повторяемым знаниям была придана определенная структура, полученные результаты обобщения представлены в виде классификационной схемы, свободной таблицы, определенных записей [2]. Для модульной программы «Треугольник» предлагается следующий опорный конспект (схема 2).
Схема 2
Опорный конспект «Треугольник»
Классификация треугольников
|
Признаки
равенства
|
Признаки
подобия
|
|
Углы все острые
|
Один угол прямой
|
Один угол тупой
|
Нет
равных сторон
|
Остроугольный
|
Прямоугольный
|
Тупоугольный
|
По стороне и двум
прилежащим к ней углам
|
По двум равным углам
|
Две
стороны равны
|
Равнобедренный
|
Прямоугольный равнобедренный
|
-
|
По двум сторонам и углу между ними
|
По двум пропорциональным сторонам и равным углам между ними
|
Все
стороны равны
|
Равносторонний (правильный)
|
-
|
-
|
По трем сторонам
|
По трем пропорциональным сторонам
|
|
Произвольный треугольник
|
1) ;
|
2) ;
|
3) ;
|
4) Около любого треугольника можно описать окружность и при том только одну;
|
5) В любой треугольник можно вписать окружность и при том только одну.
|
6) Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.
|
7) Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
|
8) Если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности – середина гипотенузы.
|
9) Теорема синусов: ;
|
10) Теорема косинусов: .
|
|
Равнобедренный
треугольник
|
Прямоугольный
треугольник
|
|
1)
|
1) Теорема Пифагора:
|
то
|
-
Если , то
CB=0,5АВ
|
3) биссектрисы, медианы и высоты, проведенные к боковым сторонам, равны
|
3)
|
4) ;
|
|
Биссектриса
|
1) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
|
2) Если , то
|
3) Биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла
|
4) Биссектрисы внутреннего и внешнего углов одной вершины перпендикулярны
|
5)
|
|
Медиана
|
1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2:1, считая от вершины
|
2) Медиана делит площадь треугольника пополам
|
3)
|
4)
|
|
Высота
|
-
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
|
2) Высота, проведенная из вершины прямого угла разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному.
|
-
Высота, проведенная из вершины прямого угла есть средне пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой:
;;;, .
|
4) Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
|
Формулы площади треугольника
|
|
|
|
|
|
Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания
|
Если треугольники подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия
|
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих равные углы
|
Отношение площадей треугольников, имеющих общие основания, равно отношению высот, соответствующих этим сторонам треугольника
|
Описанная окружность
|
Вписанная окружность
|
Около любого треугольника можно описать окружность и при том только одну
|
В любой треугольник можно вписать окружность и при том только одну
|
Центр описанной около произвольного треугольника окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
|
Центр вписанной в произвольный треугольник окружности - точка пересечения биссектрис треугольника
|
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности - середина гипотенузы
|
На основе повторенного теоретического материала совместно разбираются решения пяти опорных задач, в которых показывается, в каких случаях и как используются данные знания, а так же различные методы решения планиметрических задач. Предлагаются следующие опорные задачи.
-
Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны 9 и 16. Найдите радиус вписанной окружности.
-
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота BD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD, равны соответственно 3 и 4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
-
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит биссектрису острого угла в отношении 4:5, считая от вершины. Найдите величину этого угла.
-
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 20. Из середины гипотенузы восстановлен перпендикуляр до пересечения с большим катетом. Длина перпендикуляра 15. Найдите катеты.
-
Найдите катеты треугольника с острым углом в 15о и гипотенузой а.
Первые три задачи посвящены повторению свойств высоты опущенной из вершины прямого угла. Очень часто учащиеся или не знают этих свойств или знают только одно: высота, проведенная из вершины прямого угла разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному, но, не смотря на знание этого свойства, они не используют его при решении задач.
|
