Глава 2. Упрощенные методы прогнозирования
2.1. Выявление тенденции с помощью сглаживания временных рядов по методу скользящих средних
Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем более, что современные программные средства предоставляют пользователю большие возможности для этого. Не всегда при этом четко прослеживается присутствие тренда во временном ряду. В этих случаях прежде, чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.
Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда.
Наиболее часто на практике используются упрощенные методы выявления тенденции ряда. Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда с помощью скользящих средних. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Иногда сглаживание применяют как предварительный этап перед использованием других методов выявления тенденции.
Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому, являются важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.
Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть
представлен в виде следующей последовательности шагов:
1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g
последовательных уровней ряда (g
2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал
сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.
3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.
4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.
При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на середину интервала сглаживания.
Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.
При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть
представлены в виде ряда:
y t-p, y t-p+1, ... , y t-1, y t, y t+1, ... , y t+p-1, y t+p,
а скользящая средняя определяется по формуле:
, (2.1)
где - фактическое значение i-го уровня;
- значение скользящей средней в момент t;
2p+1- длина интервала сглаживания.
Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной циклу, периоду колебаний.
Для устранения сезонных колебаний желательно было бы использовать
Четырех - и двенадцатичленную скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:
. (2.2)
Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние (для квартальной и месячной динамики соответственно):
. (2.3)
. (2.4)
При использовании скользящей средней с длиной активного участка g=2p+1, первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения «теряются».
«Потеря» значений последних точек является существенным недостатком, т.к. для исследователя последние "свежие" данные обладают наибольшей информационной ценностью.
Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда. Для этого необходимо:
-
Вычислить средний прирост на последнем активном участке
, (2.5)
где g - длина активного участка;
- значение последнего уровня на активном участке;
- значение первого уровня на активном участке;
- средний абсолютный прирост.
2) Получить P сглаженных значений в конце временного ряда путем
последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению. Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.
Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы, и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, применение простой скользящей средней нецелесообразно.
Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В таком случае более надежным является использование взвешенной скользящей средней.
При сглаживании по взвешенной скользящей средней на каждом участке выравнивание осуществляется по полиномам невысоких порядков. Чаще всего используются полиномы 2-го и 3-его порядка. Так как при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), то метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней.
Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами, а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка.
Алгоритм выравнивания с помощью взвешенной скользящей средней:
1. Для каждого активного участка подбирается полином вида
,
параметры которого оцениваются по методу наименьших квадратов. При этом начало отсчета переносится в середину активного участка. Например, для длины интервала сглаживания g=5, индексы уровней активного участка будут следующими i: -2, -1, 0, 1, 2.
Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a0 подобранного полинома.
Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, т.к. они будут одинаковыми для каждого активного участка. Причем при сглаживании по полиному к-ой нечетной степени весовые коэффициенты будут такими же, как при сглаживании по полиному (к-1) степени. В таблице 2.1 представлены весовые коэффициенты при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка (в зависимости от длины интервала сглаживания).
Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть отражены симметрично.
Таблица 2.1
Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка
Длина интервала сглаживания
|
Весовые коэффициенты
|
5
|
1/35[-3,+12,+17]
|
7
|
1/21[-2,+3,+6,+7]
|
9
|
1/231[-21,+14,+39,+54,+59]
|
11
|
1/429[-36,+9,+44,+69,+84,+89]
|
13
|
1/143[-11, 0, +9,+16,+21,+24,+25]
|
С учетом весов согласно таблице 2.1, для сглаживания по 5-членной взвешенной скользящей средней центральное значение на каждом активном участке , будет оцениваться по формуле:
. (2.6)
Основные свойства приведенных весов следующие:
1) Веса симметричны относительно центрального уровня.
2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.
3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет
сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.
ПРИМЕР 2.1.
Сгладить приведенный ниже исходный временной ряд по методу 5-тичленных скользящих средних (простой и взвешенной).
Урожайность пшеницы за 12 лет (ц/га):
t
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
yt
|
10,3
|
14,3
|
7,7
|
15,8
|
14,4
|
16,7
|
15,3
|
20,2
|
17,1
|
7,7
|
15,3
|
16,3
|
Решение:
Результаты расчетов по формулам (2.1) и (2.6) представлены в таблице 2.3.
Таблица 2.3
Результаты расчетов по методу скользящих средних
t
|
yt
|
|
|
1
|
10,3
|
-
|
-
|
2
|
14,3
|
-
|
-
|
3
|
7,7
|
12,5
|
11,9
|
4
|
15,8
|
13,78
|
12,6
|
5
|
14,4
|
13,98
|
16,2
|
6
|
16,7
|
16,48
|
15,2
|
7
|
15,3
|
16,74
|
17,4
|
8
|
20,2
|
15,4
|
18,8
|
9
|
17,1
|
15,12
|
15,2
|
10
|
7,7
|
15,32
|
11,7
|
11
|
15,3
|
-
|
-
|
12
|
16,3
|
-
|
-
|
Сглаживание по простой 5-тичленной скользящей средней:
= (10,3+14,3+7,7+15,8+14,4)/5=12,5;
= (14,3+7,7+15,8+14,4+16,7)/5= 13,78 и т.д.
Сглаживание по 5-тичленной взвешенной скользящей средней:
= (1/35)* (-3*10,3+12*14,3+17*7,7+12*15,8-3*14,4) =11,9;
= (1/35)* (-3*14,3+12*7,7+17*15,8+12*14,4-3*16,7) =12,6 и т.д.
На рис.1 показаны графики исходного и сглаженного рядов, где четко видны различия в динамике, полученной сглаживанием по простой и взвешенной скользящим средним.
Рис. 2.1. Графики исходного и сглаженных рядов
2.2. Основные показатели динамики экономических показателей
Для количественной оценки динамики явлений применяются статистические показатели: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, которые могут быть цепными, базисными или средними.
В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней
временного ряда.
Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными.
Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.
Абсолютный прирост равен разности двух сравниваемых уровней.
Темп роста есть отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах. Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в процентах, темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. В таблице 2.4 приведены формулы для вычисления базисных, цепных и средних показателей динамики.
Средние показатели: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста определяются для получения обобщающих показателей динамики развития.
В таблице использованы следующие обозначения:
y1,y2, ... ,yt, ..., yn - уровни временного ряда в моменты времени t = 1, 2, ... , n;
n - длина временного ряда; yб - уровень временного ряда, принятый за базу.
Таблица 2.4
Основные показатели динамики временных рядов
Показатель
|
Абсолютный прирост, Δу
|
Темп роста,
Т, %
|
Темп прироста
К, %
|
Цепной
|
|
|
|
Базисный
|
|
|
|
Средний
|
|
|
|
2.3. Прогнозирование на основе средних показателей динамики
Описание динамики ряда с помощью среднего абсолютного прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперед, достаточно к последнему наблюдению прибавить значение среднего абсолютного прироста:
, (2.7)
где yn - фактическое значение в последней n- ой точке ряда;
- прогнозная оценка значения уровня в точке n+1;
- значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда .
Чтобы получить прогноз на К шагов вперед, нужно к последнему наблюдению прибавить значение среднего абсолютного прироста, умноженное на К:
. (2.8)
Такой подход к получению прогнозного значения корректен, если характер развития близок к линейному. На такой равномерный характер развития могут указывать примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.
Применение среднего темпа роста (и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. Использование этого показателя для прогноза целесообразно для процессов, изменение динамики которых происходит примерно с постоянным темпом роста. В этом случае прогнозное значение на К шагов вперед может быть получено по формуле:
, (2.9)
где - прогнозная оценка значения уровня ряда в точке n+к;
yn- фактическое значение в последней n-ой точке ряда;
- средний темп роста, рассчитанный для ряда (в относительных единицах).
К недостаткам среднего прироста и среднего темпа роста следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключают влияние промежуточных уровней. Тем не менее, эти показатели имеют широкую область применения, что объясняется простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественному и качественному анализу.
ПРИМЕР 2.2. Ежемесячная динамика объема реализации продукции торгового предприятия в течение 7 месяцев составила (тыс. руб.): 21, 23, 25, 28, 29, 32, 34.
Требуется:
-
Обосновать правомерность использования среднего абсолютного прироста для получения прогнозных значений объема реализации продукции;
-
Рассчитать прогнозный уровень объема реализации продукции в 8-м и 9-м месяцах, используя показатель среднего абсолютного прироста.
Решение:
-
Рассчитаем цепные абсолютные приросты объема реализации продукции на временном интервале 7 месяцев (тыс. руб.):
= 23-21=2;
= 25-23=2;
= 28-25=3;
= 29-28=1;
= 32-29=3;
= 34-32=2.
Рассчитанные значения цепных абсолютных приростов варьируют незначительно - от 1 до 3 тыс. руб., что позволяет сделать вывод о линейном характере динамики процесса. Следовательно, модель прогноза с помощью среднего абсолютного прироста в данном случае приемлема.
Средний абсолютный прирост составит:
-
Прогнозный уровень объема реализации продукции в 8-м и 9-м месяцах соответственно составит:
;
2.4. Прогнозирование по методу экспоненциальных средних
В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений
исследования и прогнозирования одномерных временных рядов являются
адаптивные методы.
При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной является информация последнего периода, т.к. необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень "устаревания" данных.
Прогнозирование методом экстраполяции на основе кривых роста в какой-то мере тоже содержит элемент адаптации, поскольку с получением
"свежих" фактических данных параметры кривых пересчитываются заново.
Поступление новых данных может привести и к замене выбранной ранее кривой на другую модель. Однако степень адаптации в данном случае весьма незначительна, кроме того, она падает с ростом длины временного ряда, т.к. при этом уменьшается "весомость" каждой новой точки. В адаптивных методах различную ценность уровней в зависимости от их "возраста" можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.
Оценивание коэффициентов адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который формально отличается от метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия и других методов тем, что не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых данных.
Примером простейшей адаптивной модели является экспоненциальная средняя. Экспоненциальное сглаживание временного ряда производится итеративно (пошагово), причем массив прошлой информации представлен единственным значением сглаженного уровня ряда в предыдущий момент времени.
Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная
формула:
, (2.10)
где St- значение экспоненциальной средней в момент t;
α - параметр сглаживания, α =сonst, 0< α <1;
β = 1- α .
Если последовательно использовать соотношение (2.10), то экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда. При
. (2.11)
Таким образом, величина St является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом, веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от "возраста" наблюдений). Поэтому величина St названа экспоненциальной средней.
Например, если α = 0,3, то вес текущего наблюдения yt будет равен 0,3; вес предыдущего уровня yt-1 будет соответствовать α*β = 0,3*0,7=0,21; для уровня yt-2 вес составит α*β2 = 0,3*0,72=0,147; для yt-3 вес α*β3 = 0,3*0,73 = 0,1029 и т.д.
Пусть модель временного ряда имеет вид:
.
Английский математик Р. Браун показал, что дисперсия экспоненциальной средней D[St] меньше дисперсии временного ряда :
. (2.12)
Из (2.12) следует, что при высоком значении α дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением α дисперсия экспоненциальной средней уменьшается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.
Таким образом, с одной стороны, необходимо увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением α, с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину α нужно уменьшить.
Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного
значения параметра сглаживания α составляет задачу оптимизации модели.
Часто поиск оптимального значения α осуществляется путем перебора и в качестве оптимального выбирается такое значение, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки. Обычно параметр сглаживания принимается равным в интервале от 0,1 до 0,3.
При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид: yt = a1,t + et, где a1,t - варьирующий во времени средний уровень ряда, et - случайные не автокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и
дисперсией .
Прогнозная модель определяется равенством ,
где - прогноз, сделанный в момент t на τ единиц времени (шагов) вперед; - оценка параметра в момент времени t.
Единственный параметр модели â1,t определяется экспоненциальной средней: â 1,1 = St ; â 1,0 = S0.
Выражение (2.10) можно представить иначе:
. (2.13)
Величину можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.
Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Массив прошлой информации уменьшен до единственного значения St-1.
ПРИМЕР 2.3. По данным примера 2.1 сгладить исходный ряд по методу экспоненциальной средней для различных значений параметра сглаживания α: 0,1; 0,5; 0,9. Построить графики и сделать выводы.
Решение: Покажем расчет при α = 0,1:
1. За начальное значение сглаженного ряда в момент времени t=1принимаем первое значение наблюдаемого уровня = y1 = 10,3;
2. Значение экспоненциальной средней в момент времени t=2 в соответствии с выражением (2.10) составляет = 0,1*14,3+0,9*10,3 = 10,7 и т.д.
3. Для последней точки ряда t=12 значение экспоненциальной средней для параметра сглаживания α = 0,1 равно = 0,1*16,3+0,9*13,07= 13,39.
При α = 0,5 и α = 0,9 расчеты аналогичны. Исходные и глаженные значения ряда yt по экспоненциальной средней приведены в табл. 2.5, а графики – на рис. 2.2.
Таблица 2.5
Исходный и сглаженные уровни ряда
t, мес
|
yt, ц/га
|
(α =0,1)
|
(α =0,5)
|
(α =0,9)
|
1
|
10,3
|
10,3
|
10,3
|
10,3
|
2
|
14,3
|
10,7
|
12,3
|
13,9
|
3
|
7,7
|
10,4
|
10
|
8,32
|
4
|
15,8
|
10,94
|
12,9
|
15,05
|
5
|
14,4
|
11,29
|
13,65
|
14,46
|
6
|
16,7
|
11,83
|
15,17
|
16,48
|
7
|
15,3
|
12,17
|
15,24
|
15,42
|
8
|
20,2
|
12,98
|
17,72
|
19,72
|
9
|
17,1
|
13,39
|
17,41
|
17,36
|
10
|
7,7
|
12,82
|
12,55
|
8,67
|
11
|
15,3
|
13,07
|
13,93
|
14,64
|
12
|
16,3
|
13,39
|
15,11
|
16,13
|
Рис. 2.2. Наблюдаемые и сглаженные уровни ряда по методу экспоненциальной средней
На рис. 2.2 четко видно, что самый сглаженный ряд (с наименьшей дисперсией) получен при малом значении α=0,1, а самый колеблемый – при α=0,9 (он почти повторяет значения исходного ряда).
|
