Математического развития
|
Скачать 4.07 Mb.
|
|
2.4. Геометрические фигуры Формирование понятия геометрической фигуры Исторически понятие геометрической фигуры, так же как понятие натурального числа, было одним из исходных понятий математики. Как и натуральные числа, понятие геометрической фигуры образовалось с помощью абстракции отождествления, в основе которой лежит некоторое отношение эквивалентности. В данном случае таким отношением является сходство, подобие предметов по их форме, с помощью которого множество предметов разбивается на классы эквивалентности так, что любые два предмета одного класса имеют одинаковую форму, а любые два предмета различных классов — различные формы. Абстрагируясь при этом от других свойств предметов (цвета, величины, материала, из которого они сделаны, назначения и т. д.), мы получаем самостоятельное понятие геометрической фигуры. В математике поступают и так: класс подобных по форме предметов определяется любым принадлежащим ему предметом и называется формой. В связи с рассмотрением отношения эквивалентности нами был приведен пример классификации блоков по их форме. Решая эту задачу, дети получают классы квадратных, круглых, треугольных и прямоугольных блоков, затем каждый из этих классов, так же как и отдельные их представители, называется соответственно квадратом, кругом, треугольником, прямоугольником. В основе выделения этих понятий лежит отношение эквивалентности иметь одинаковую форму. В изучении геометрии, и в частности геометрических фигур, различают несколько уровней мышления. Первый, самый простейший уровень характеризуется тем, что геометрические фигуры рассматриваются как целые и различаются только по своей форме. Если показать дошкольнику круг, квадрат, прямоугольник и сообщить ему соответствующие названия, то после некоторого времени он сможет безошибочно распознавать эти фигуры исключительно по их форме (причем еще не анализированной), не отличая квадрат от прямоугольника. На этом уровне квадрат противопоставляется прямоугольнику. На следующем, втором уровне проводится анализ воспринимаемых форм, в результате которого выявляются их свойства. Геометрические фигуры выступают уже как носители своих свойств и распознаются по этим свойствам, свойства фигур ло-гически еще не упорядочены, они устанавливаются эмпирическим путем. Сами фигуры также не упорядочены, так как они только описываются, но не определяются. Этот уровень мышления в области геометрии еще не включает структуру логического следования. Описанные выше два уровня вполне доступны детям 4—6 лет, и это обстоятельство следует учитывать при составлении программ обучения и разработке методики. Из чего состоит геометрическая фигура? Всякая геометрическая фигура подразумевается состоящей из точек, т.е. всякая геометрическая фигура представляет собой множество точек, в том числе одну точку тоже принято считать геометрической фигурой. На предматематическом уровне дети знакомятся с простейшими, но наиболее распространенными геометрическими фигурами: различными линиями, формами блоков — квадратом, кругом, треугольником, а также пятиугольником, шестиугольником. Строгих определений, разумеется, на этом уровне не дается. Виды геометрических фигур Будем рассматривать далее лишь те виды простейших геометрических фигур, с которыми приходится иметь дело в процессе обучения дошкольников. Все геометрические фигуры делятся на плоские и пространственные. Так, например, квадрат, круг — плоские фигуры; куб, шар — пространственные. Начнем с рассмотрения линий. Под линией будем иметь в виду плоскую линию — линию, все точки которой лежат на некоторой плоскости, а сама линия есть подмножество точек плоскости. Прямую линию, или просто прямую, можно выделить среди других линий с помощью ее характеристических свойств, т. е. таких свойств, которыми обладает только прямая и никакие другие линии. На илл. 8 между деревом и домом проложено несколько тропинок. На геометрическом языке это означает: через две точки D и С проходит несколько линий. Прямая выделяется среди них тем, что это — линия кратчайшего расстояния. Еще одно характеристическое свойство прямой: через две точки D и С можно провести много различных линий, прямых — только одну, т. е. через две точки проходит одна и только одна прямая. Линии бывают замкнутыми и незамкнутыми. Например, прямая — незамкнутая линия, окружность — замкнутая. По отношению к прямой две точки могут находиться «по одну сторону» от нее или «по разные стороны». Например, если дом и дерево находятся по одну сторону от речки, можно дойти от дома до дерева или обратно, не проходя через мост. Если же они находятся по разным сторонам от реки, то дойти от дома до сада или обратно, не проходя через мост, нельзя. На геометрическом языке эта ситуация описывается следующим образом. Две точки А и В находятся по одну сторону от прямой /, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает прямую / (илл. 9). Первые представления о внутри и вне закрепляются в играх с обручами, когда дети встречаются со все усложняющимися ситуациями: определение блоков внутри и вне одного обруча, внутри одного и вне другого обруча, внутри всех трех обручей, внутри двух обручей и вне третьего и т. п. Поэтому перед решением задач, связанных с классификацией блоков или фигур в играх с обручами, необходимо выяснить, распознают ли дети внутреннюю и внешнюю области по отношению к каждому обручу. Переведем теперь эти ситуации на язык геометрии. Интуитивно ясно, что всякая окружность разбивает множество всех не принадлежащих ей точек плоскости на две области (илл. 10). Если две точки А и В или D и Е лежат в одной области, то отрезок, соединяющий их, не пересекает линии /; если две точки, например С и D, принадлежат различным областям, то соединяющий их отрезок пересекает линию / (в точке К). Илл. 10 Одна из этих областей называется внутренней, другая — внешней. Каким же геометрическим свойством можно охарактеризовать внутреннюю или внешнюю область? Область, которая интуитивно принимается за внешнюю, обладает следующим свойством: можно найти в этой области две точки, например D и Е, такие, что прямая, проходящая через них, целиком лежит в этой области. Вторая область, которая интуитивно принимается за внутреннюю, не обладает этим свойством или характеризуется свойством, представляющим собой отрицание характеристического свойства внешней области, т. е. нельзя найти в ней такие две точки, чтобы прямая, проходящая через них, лежала целиком в этой области (или, иначе, прямая, проходящая через любые две точки этой области, обязательно пересекает линию /)- Выше мы пользовались понятием отрезок и связывали его неизменно с двумя точками: «отрезок АВ», «отрезок, соединяющий точки А и В» и т. п. Что же такое отрезок? Иногда говорят «часть прямой». Это можно понимать как подмножество точек прямой. Но какое это подмножество? Иногда пользуются отношением между, применимым к трем точкам. Это отношение соответствует наглядному представлению о точке, лежащей на прямой между двумя другими точками: если точка С лежит между точками А и В, то нельзя «дойти» по прямой от А к В, не пройдя через точку С. Эти наглядные представления подсказывают и некоторые свойства отношения между: если точка С лежит между А и В, то С лежит и между В и А; из трех точек только одна лежит между двумя другими, т. е. если Слежит между А и В, то уже А не лежит между Си В, а также В не лежит между А и С. Имеются две различные трактовки понятия отрезка (по существу это два различных понятия). По одной из них отрезку АВ принадлежат сами точки А я В (концы отрезка) и все точки прямой АВ, лежащие между А и В. По другой трактовке точки А и В не считаются принадлежащими отрезку АВ, хотя по-прежнему называются его концами (т. е. концы отрезка не принадлежат ему). Мы будем придерживаться первой трактовки, дидактически более целесообразной. Так как через две точки А и В проходит единственная прямая АВ, то эти две точки определяют и единственный отрезок с концами А я В. Зная, что такое отрезок, можно уточнить и понятие ломаной линии. Если А\,А2, At,, .., A„-j, Ап — точки, никакие последовательные три из которых не лежат на одной прямой, то линия, состоящая из отрезков/41Л2>^2^3> ..,Ап_]А„, называется ломаной линией, эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки А\, А2, A3,.., Ап_], А„ — ее вершинами; точки А\ я Ап называются также концами ломаной Если концы ломаной совпадают, то ломаная называется замкнутой, в противном случае — незамкнутой (строгие определения замкнутой и незамкнутой кривой линии в элементарной геометрии не даются). На илл. 11, А изображена замкнутая ломаная линия, на илл. 11, 2> — незамкнутая. Как и всякая замкнутая линия, замкнутая ломаная линия разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две области — внутреннюю и внешнюю. Среди ломаных линий выделяют простые (без самопересечений) ломаные линии, т. е. такие, которые сами себя не пересекают. Изображенные на илл. 11 ломаные линии простые. На илл. 12 изображены непростые, сами себя пересекающие ломаные линии. Перейдем теперь к рассмотрению многоугольников. Имеются два основных подхода, по существу определяющих различные понятия: согласно одному из них, под многоугольником понимают простую замкнутую ломаную линию, согласно второму — простую замкнутую ломаную вместе с ее внутренней областью или объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области. Согласно первой трактовке, модель многоугольника, например, можно изготовить из проволоки, по второй — вырезать из бумаги. Какая же из двух трактовок более целесообразна с дидактической точки зрения? (С логической точки зрения обе трактовки корректны и имеют право на существование.) Для маленьких детей более естественным является называть квадратом, треугольником и т. д. именно ту фигуру, которую они закрасили и вырезали, т. е. ломаную вместе с ее внутренней областью. Поэтому представляется, что и для школы вторая трактовка является более целесообразной. Многоугольники классифицируются по числу сторон или углов: треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и т.д. Наблюдая различные многоугольники, можно обнаружить наличие или отсутствие свойства, называемого выпуклостью. На илл. 13 изображены многоугольники, обладающие (в случаях/1, Б, Г, Е) и не обладающие (в случаях В, Д, Ж) этим свойством. Как же геометрически описать это интуитивно ясное свойство? Любой из многоугольников в случаях Л, Б, Г, Е расположен по одну сторону от прямой, проведенной через каждую его сторону, т. е., если продолжить любую сторону, полученная прямая не пересечет многоугольник (с этой целью на рисунке стороны этих многоугольников продолжены пунктиром). В каждом из многоугольников в случаях В, Д, Ж существует хотя бы одна такая сторона, продолжение которой пересекает многоугольник. Первые называются выпуклыми, вторые — невыпуклыми. Треугольник, квадрат, прямоугольник — выпуклые четырехугольники. Пятиконечная звездочка — невыпуклый десятиугольник. Стороны и вершины многоугольника, т. е. замкнутая ломаная, образуют границу многоугольника. Это интуитивно ясное понятие. Например, интуитивное представление о границе фигуры готовит детей к географическому понятию границы. Чем же отличается граничная точка, т. е. точка, принадлежащая границе, от внутренней точки многоугольника (и вообще фигуры)? Как это различие описать геометрически? С этой целью введем понятие окрестности точки. Под окрестностью точки А будем понимать круг любого радиуса с центром в точке А. Теперь, пользуясь этим весьма наглядным понятием, опишем различие между внутренней и граничной точками многоугольника. Для любой внутренней точки А, как бы близка она ни была к границе, всегда можно найти окрестность, все точки которой внутренние (илл. 14). Для граничной точки В нет такой окрестности, т. е., какую бы окрестность точки В ни взяли, внутри ее найдутся как внутренние, так и внешние точки. Такими же свойствами обладают внутренние и граничные точки на географической карте, представляющей собой некоторую геометрическую фигуру. Например, на географической карте России для любой внутренней точки можно найти окрестность, внутри которой все точки принадлежат территории России. Для любой точки на границе России такой окрестности нет, т. е. в любой окрестности такой точки найдутся как точки, принадлежащие России, так и точки, принадлежащие соседнему государству. Среди форм используемых нами блоков (или фигур) кроме треугольника, квадрата, прямоугольника имеется и круг. Кроме того, многие предметы, с которыми встречаются дети (тарелки, блюдца, колеса велосипеда и др.), имеют круглую форму. Считаем нецелесообразным для дошкольников вводить термин окружность. В элементарной геометрии круг определяется как множество (или геометрическое место) всех точек плоскости, удаленных от некоторой точки, называемой центром, на расстояние, не превышающее R (R — радиус круга); окружность определяется аналогично как множество всех точек плоскости, удаленных от точки, называемой центром, на одно и то же расстояние R. Заметим, что если в этих формулировках слово «плоскость» заменить словом «пространство», то получатся определения шара и сферы, соответственно, пространственных аналогов круга и окружности. Круг, окружность, шар и сферу можно определить и генетически, т. е. описанием процесса образования этих фигур. Этот процесс легко смоделировать: если отрезок зафиксировать в одном конце и вращать его около этого конца, то он опишет круг, а второй его конец — окружность. Если полукруг вращать около диаметра, то он опишет шар, а ограничивающая его полуокружность — сферу. Дошкольники знакомятся также с одним из простейших многогранников, каким является куб. Куб — пространственный аналог квадрата. Он ограничен шестью квадратами. Его можно сконструировать (склеить) из плоской фигуры — выкройки, изображенной на илл. 15 Ознакомление детей с описанными выше простейшими геометрическими фигурами является пропедевтической основой для дальнейшего формирования и развития у них геометрических, в том числе пространственных, представлений. 2.5. Величины и их измерение Что такое величина Величина — одно из основных математических понятий, возникшее в древности и подвергшееся в процессе длительного развития ряду обобщений. Общее понятие величины является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы, скорости и т. п. Каждый конкретный род величин связан с определенным способом сравнения соответствующих свойств объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого не покрывая целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходимые для сравнения площадей плоских фигур, объемов пространственных тел. Для сравнения двух предметов по массе их взвешивают. Если чаши весов уравновешиваются, то предметы имеют одинаковую массу, если же чаши не уравновешены, то предмет, находящийся на той чаше, которая перетягивает, имеет большую массу, второй предмет — меньшую. Понятия длины, площади, объема, массы могут быть обобщены на любой род величин: в системе всех однородных величин, т. е. всех длин, всех площадей, всех объемов, всех масс и т. д., устанавливается отношение порядка. Две величины а и Ь одного и того же рода или совпадают (а=Ь), или первая меньше второй (а<�Ь), или вторая меньше первой (Ь<�а). Однородные величины можно также складывать. Например, если точка В лежит между точками А и С, то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС (илл. 16, А). Если плоская фигура состоит из двух частей, не имеющих других общих точек, кроме граничных, то площадь S всей фигуры равна сумме площадей S1+S2 этих частей (илл. 16, Б). Если предмет состоит из двух частей, то его масса т равна сумме m\+ni2 масс т\ыгп2 этих частей. Если пространственная фигура состоит из двух частей, все общие точки которых образуют их общую границу, то объем всей пространственной фигуры равен сумме 1+2 объемов Щ и i этих частей (илл. 16, В). Так раскрывается смысл операции сложения для каждого рода величин (длин, площадей, объемов, масс и т.д.). Исходя из смысла отношения меньше (<) и операции сложения однородных величин (+), можно убедиться в том, что любая система однородных величин (В, <, +) обладает перечисленными ниже свойствами.
3) Сложение величин, как и сложение чисел, обладает свойством переместительности (коммутативности): a+b=b+a для любых я, be В. Например, безразлично — присоединить к отрезку АВ длины а отрезок ВС длины b или наоборот — мы все равно получим в результате один и тот же отрезок. 4) Сложение величин обладает свойством сочетательности (ассоциативности): a+(b+c)=(a+b)+c для любых а, Ь, се В. Например, если присоединить к отрезку АВ длины а отрезок BD длины Ь+с так, чтобы точка В лежала между точками А и D (илл. 18), то получим отрезок AD длины а+ф+с); если к отрезку АС длины а+b присоединить отрезок CD длины с, то получим отрезок AD, длина которого выражается через (а+Ь)+с; но так как мы получили один и тот же отрезок AD, то a+(b+c)=(a+b)+c. Поэтому можно писать без скобок а+Ь+с. Илл. 18 5) Для любых a, be В, а+Ь>а (свойство монотонности сложения). Например, если точка Я лежит между точками А и С (илл. 18), то длина отрезка АС (а+b) больше длины отрезка АВ (а), или вообще «величина части меньше величины целого». Измерение величин Потребность в измерении всякого рода величин, так же как потребность в счете предметов, возникла в практической деятельности человека на заре человеческой цивилизации. Так же как для определения численности множеств, люди сравнивали различные множества, различные однородные величины, определяя прежде всего, какая из сравниваемых величин больше, какая меньше. Эти сравнения еще не были измерениями. В дальнейшем процедура сравнения величин была усовершенствована. Одна какая-нибудь величина принималась за эталон, а другие величины того же рода (длины, площади, объемы, массы и т.п.) сравнивались с эталоном. Когда же люди овладели знаниями о числах и их свойствах, величине-эталону приписывалось число 1 и этот эталон стал называться единицей измерения. Цель измерения стала более определенной — оценить, сколько единиц содержится в измеряемой величине. Результат измерения стал выражаться числом. Задача измерения величин, так же как и задача определения численности множеств предметов, является источником, порождающим числа. Однако в отличие от первой задачи, решение которой полностью обеспечивается натуральными числами, для задачи измерения величин этих чисел недостаточно. Это наглядно обнаруживается описанием процедуры измерения на простейшем примере измерения длин. Пусть необходимо измерить длину отрезка АВ с помощью единицы измерения CD длины е (илл. 19). Хотя мы опишем процедуру измерения длины конкретного отрезка АВ с помощью конкретной единицы измерения длины е, все действия и рассуждения, которые мы при этом проведем, носят общий характер и пригодны для решения любой задачи этого типа, т. е. для измерения длины любого отрезка. Откладываем отрезок CD от точки А последовательно на отрезке АВ, при этом возможны следующие случаи. 1. Возможно, что отрезок CD отложится на отрезке АВ целое число раз. На илл. 19, А, например, 5 раз (а вообще п раз), т.е. второй конец отрезка CD (точка D) при пятом (а в общем случае при п-м) отложении совпадает с точкой В (концом отрезка АВ). Так как длина отрезка АВ равна 5е (пе), то, принимая длину е за 1, можно считать числовое значение длины отрезка АВ равным 5 (в общем случае — я). Если обозначить числовое значение длины отрезка АВ через \АВ\ (в дальнейшем для краткости вместо «числовое значение длины» будем говорить просто «длина» там, где это не приводит к недоразумению), то в нашем примере |/4i?|=5, а в общем случае \АВ\=п. В этом случае натуральные числа обеспечивают решение задачи измерения. 2. Возможно, что точка А$ (А„) не совпадает с точкой В (илл. 19, Б), причем |Л5.В|<�е, т. е. если отложить еще один раз отрезок CD, то конец его Аь(Ап+1) уже окажется вне отрезка АВ, иными словами, точка В окажется между точками А5 и Аь (Ап и A„+i). Тогда длина отрезка АВ уже не выражается натуральным числом, она находится «между» двумя последовательными натуральными числами 5<\АВ\<6, или в общем виде п<\АВ\<�п+\, между которыми, как известно, нет других натуральных чисел. В этом случае мы можем лишь приближенно считать длину отрезка АВ равной одному из этих чисел, 5 или 6 (я или п+1). В результате получаем приближенное значение измеряемой длины с точностью до 1. Это означает, что, принимая одно из этих чисел за значение длины отрезка АВ, мы допускаем погрешность, меньшую 1, причем число 5 (я) — приближенное значение длины с недостатком, а число 6 (я+1) — с избытком. Если точка В ближе к точке А^ (А„), то число 5 (я) ближе к истинному (точному) значению длины отрезка АВ, если же точка В ближе к точке А^ (А„+\), то число 6 (я+1) ближе к точному значению этой длины. В зависимости от этого выбирают то приближенное значение, которое ближе к точному, что дает меньшую погрешность. Если такая степень точности удовлетворяет нас, то можно считать процесс измерения законченным. Однако практика часто предъявляет требование получить результаты измерений с более высокой степенью точности, т. е. с меньшей погрешностью. С этой целью возникает необходимость продолжить процесс измерения, т. е. измерить длину остатка, отрезка Аф, в общем случае АпВ. Естественно, это нельзя сделать с помощью той же единицы измерения CD, которая не умещается на этом отрезке. Надо выбрать более мелкую единицу измерения, какую-то часть отрезка CD, допустим десятую. Тогда длина е\ этой новой единицы измерения равна 0,1е, т.е. числу 0,1 (здесь неявно применяется свойство о возможности деления величины на какое угодно число частей). Далее процедура измерения повторяется, но уже применительно к отрезку Аф (АпВ) и с единицей измерения длины 0,1. Значит, опять возможны два случая:
Если такая точность удовлетворительна, то процесс измерения можно считать законченным. В противном случае процесс продолжается, т. е. повторяется та же процедура, но уже применительно к новому остатку, отрезку А^^В, и с новой единицей намерения, длина которой, например, десятая доля прежней единицы, т.е. ^2=0,01. Заметим, что можно было бы принимать 61=72 е, e2~xh еь и тогда были бы получены приближенные значения длины в виде двоичных дробей. В результате получаем, например, либо \АВ\=5,36 (]АВ\=п, п\п2), либо 5,36<|Аб|<5,37 (п, п\п2<\АВ\<�п, п\п{~), т.е. приближенные значения длины: 5,36 (п, n\ni) с недостатком, или 5,37(и, /Ji«2') с избытком, но уже с точностью до 0,01 или с погрешностью, в 100 раз меньшей, чем первые приближения с помощью натуральных чисел 5 или 6. Если такая точность достаточна для решаемой задачи, то процесс измерения считается законченным, в противном случае он продолжается, т. е. процедура измерения повторяется применительно к новому остатку и с новой единицей измерения. Естественно возникает вопрос: до каких пор может продолжаться процесс измерения? Оказывается, вообще возможны два случая: 1) на каком-то этапе процесса измерения единица измерения уложится целое число раз на измеряемом отрезке; 2) ни на каком этапе процесса измерения это не случится и, следовательно, процесс измерения будет продолжаться бесконечно. Последнее обстоятельство означает, что существуют так называемые несоизмеримые отрезки, например диагональ квадрата и его сторона. Если измерять диагональ квадрата стороной, т. е. принимая сторону квадрата за единицу измерения, то процесс измерения никогда не закончится, так как ни сама сторона квадрата, им любая ее часть, полученная от деления стороны на целое число равных частей, не укладывается целое число раз в диагонали этого квадрата. В этом случае и рациональных чисел, т. е. целых и дробных, недостаточно для решения задачи измерения. В математике этот пробел устраняется дальнейшим расширением системы чисел с помощью введения иррациональных чисел. Как Как известно из школьной математики, иррациональные числа представляются в виде бесконечных десятичных непериодических дробей и образуют, таким образом, вместе с рациональными числами множество вещественных (или действительных) чисел, т. е. объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Однако только теоретически процесс измерения может оказаться бесконечным. Практически же процесс измерения длин (и других величин) состоит из конечного числа шагов, что дает в результате приближенное значение измеряемой величины с любой требуемой степенью точности, зависящей от количества выполненных шагов в процессе измерения. 2.6. Алгоритмы Что такое алгоритм Воспитание детей с самого рождения, в частности воспитание дошкольников, включает усвоение ими разного рода правил и их строгое выполнение (правила утреннего туалета, одевания и раздевания, принятия пищи, перехода улицы и др.). Режим дня дошкольника представляет собой систему предписаний о выполнении детьми и воспитателем действий в определенной последовательности. Обучая детей счету, измерению длин, сложению и вычитанию чисел, уборке комнаты, посадке растений и т. д., мы сообщаем им необходимые правила о том, что и в какой последовательности нужно делать для выполнения задания. Организовывая разнообразные дидактические и подвижные игры, мы знакомим дошкольников с их правилами. О всех видах деятельности, осуществляемых по определенным предписаниям, говорят, что они выполняются по определенным алгоритмам. С малых лет человек усваивает и исполняет в каждодневной жизни большое число алгоритмов, часто даже не зная, что это такое. Что такое алгоритм? Нередко встречаются виды однотипных задач, например: сложение двух многозначных чисел; переход улицы, регулируемый или нерегулируемый светофором; измерение длины отрезка и т. д. Естественно возникает вопрос: существует ли достаточно общий способ, который можно было бы использовать для решения любой задачи данного вида однотипных задач? Если такой общий способ существует, то его называют алгоритмом^ данного вида задач. Для каждого из приведенных выше видов задач имеется соответствующий алгоритм. 1 Слово алгоритм происходит от имени известного математика IX в. аль-Хорезми, что означает «из Хорезма», впервые сформулировавшего правила выполнения арифметических действий над многозначными числами. Через труды аль-Хорезми в Европу проникли способы действий с числами в десятичной системе счисления, которые стали называть алгоритмами согласно латинской транскрипции имени ученого. В течение столетий значение слова «алгоритм» постепенно обобщалось, и сегодня под алгоритмом понимают некоторый общий метод или способ, предписание, инструкцию, свод правил для решения за конечное число шагов любой задачи из определенного вида однотипных задач, для которого предназначен этот метод. Для задачи сложения двух многозначных чисел известен способ сложения «в столбик», пригодный для сложения любых двух многозначных чисел, т. е. для решения любой частной задачи из этого вида однотипных задач. Для задачи перехода улицы, например нерегулируемого светофором, можно сформулировать общий способ в виде следующего предписания, состоящего из 10 указаний, или команд:
10. Переход улицы закончен. Интуитивно под алгоритмом понимают общепонятное и точное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнить для решения любой задачи из данного вида однотипных задач. Это определение, разумеется, не является математическим определением в строгом смысле, так как в нем встречается много терминов, смысл которых хотя и интуитивно может быть ясен, но точно не определен («предписание», «общепонятное», «точное», «действие»). Однако оно представляет собой разъяснение того, что обычно вкладывается в интуитивное понятие алгоритма, а для наших целей этого вполне достаточно. Какие же свойства характеризуют всякий алгоритм? Анализ различных алгоритмов позволяет выделить следующие общие свойства, присущие алгоритмам: а) массовость, т. е. алгоритм предназначен для решения не одной какой-нибудь задачи, а для решения любой задачи из данного вида однотипных задач; б) определенность (или детерминированность), т. е. алгоритм представляет собой строго определенную последовательность шагов, или действий, он однозначно определяет первый шаг и каждый следующий шаг, не оставляя решающему задачу никакой свободы выбора следующего шага по своему усмотрению; в) результативность: решая любую задачу из данного вида задач по соответствующему алгоритму, мы за конечное число шагов получаем результат. Разумеется, для различных частных задач одного вида число шагов может оказаться различным, но оно всегда конечно. Алгоритм — одно из фундаментальных научных понятий, используемое и математикой, и информатикой — наукой, изучающей способы представления, хранения и преобразования информации с помощью различных автоматических устройств. Наличие алгоритма для осуществления некоторой деятельности является необходимым условием передачи этого вида деятельности различным автоматическим устройствам, роботам, компьютерам (от отпуска стакана газированной воды, продажи авиабилета с хранением и преобразованием информации о наличии свободных мест до управления сложными технологическими процессами, не говоря уже о выполнении огромных объемов вычислительной работы, связанной с решением сложных научно-технических задач). Имеются различные формы записи или представления алгоритмов, предназначенные для различных исполнителей: словесные предписания, в том числе включающие различные формулы; наглядные блок-схемы, ориентированные на исполнителя-человека; программы, представляющие собой запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ, т. е. языке программирования. Здесь уместно уточнить, что означает выдвинутое требование «общепонятности» предписания, которым задается алгоритм. Это означает, что предписание должно быть сформулировано так, чтобы оно было одинаково понятно всем исполнителям той категории, на которую оно ориентировано. Это имеет чрезвычайно важное значение, в частности, при обучении маленьких детей. Например, приведенные выше предписания, задающие алгоритмы перехода улицы и измерения длины, не предназначены для обучения дошкольников. Для этой цели нужно сформулировать их на понятном детям языке, что и делает любой воспитатель, если, разумеется, он имеет соответствующую подготовку и понимает свои задачи. Однако приведенные выше предписания составлены так, что они выявляют шаговую (дискретную) оперативно-логическую структуру алгоритмов. Поясним, что это означает. 1. Каждый алгоритм может быть представлен в виде последо- вательности шагов. Разумеется, понятие шаг является относитель- ным. Один и тот же алгоритм можно по-разному представить в виде последовательности шагов, и не всегда отдельные шаги соот- ветствуют элементарным действиям. Само понятие элементарное действие относительно: одно и то же действие может быть для одного ребенка, и не только ребенка, элементарным, для друго- го — неэлементарным (в результате чего и возникает необходи- мость в расчленении этого действия на другие, элементарные, действия). Дискретность структуры алгоритма состоит в том, что для каждого шага можно указать однозначно непосредственно следующий за ним шаг. 2. В приведенных выше предписаниях можно различить два ос- новных вида команд, а следовательно, два основных вида шагов, представленных этими предписаниями алгоритмов: простые ко- манды, предписывающие выполнение некоторых действий («смот- ри влево», «пройди до середины улицы», «выбери мерку», «наложи мерку» и т. д.), и составные, определяющие разветвление процесса решения задачи в зависимости от выполнения или невыполнения некоторого условия («если идет транспорт слева, то перейди к ука- занию 2, иначе — к указанию 5»), называемые условными. Условная команда имеет вид «если Р, то А, иначе В». Она предписывает следующий порядок действий: если условие Р выполняется (истинно), то выполняется А (в нашем примере — возврат к указанию 2). Если же условие Р не выполняется (ложно), что обозначается словом «иначе», то А пропускается и выполняется В (в нашем примере осуществляется переход к следующему указанию 5). Условные команды можно записать сокращенно: «если Р, то А», при этом подразумевается, что если условие Рне выполняется, то осуществляется переход к следующей по порядку команде В приведенных выше примерах условные команды, если условие Р выполняется, определяют повторение некоторых действий («стой», «смотри влево», «смотри вправо», «наложи мерку» и т. д.) определенное число раз (пока условие Р выполняется). Такие процессы и соответствующие им алгоритмы, в которых некоторые действия повторяются, называются циклическими. Если же алгоритм состоит из одних простых команд, то он называется линейным. Таким образом, различают линейные, разветвленные и циклические алгоритмы. Алгоритм можно наглядно представить в виде блок-схемы, состоящей из блоков и стрелок. Каждый шаг представляется с помощью блока. Блок, предусматривающий выполнение некоторого действия, изображается в виде прямоугольника, внутри которого записано соответствующее действие. Блок, представляющий логическое условие, изображается в виде ромба, внутри которого записано проверяемое условие. Если за шагом А непосредственно следует шаг В, то от блока А к блоку В проводится стрелка. От каждого прямоугольника исходит только одна стрелка, от каждого ромба — одна или две стрелки (одна с пометкой «да», идущая к блоку, следующему за логическим условием, если оно истинно, другая — с пометкой «нет», идущая к блоку, следующему за логическим условием, если оно ложно). Начало и конец изображаются овальными фигурами. Алгоритмы, представленные выше с помощью словесных предписаний, могут быть представлены и с помощью блок-схемы, иными словами, эти предписания переводятся в блок-схемы. На илл. 20 изображена блок-схема алгоритма перехода улицы, нерегулируемого светофором. Для изображения алгоритмов некоторых детских игр (правил игры) могут быть использованы специальные условные обозначения, которые легко разъясняются детям. Приведем в качестве примера игру «Преобразование слов», моделирующую понятие алгоритм преобразования слов в данном алфавите. В этой игре, а по существу серии игр, буквы и слова необычные. Используется двухбуквенный алфавит, состоящий из двухразличных геометрических фигур, например квадратика и кружочка, или из цифр 0 и 1. Словами мы называем конечные цепочки из квадратиков и кружочков (во втором варианте конечные последовательности из нулей и единиц). Любое сколь угодно длинное слово в нашем алфавите преобразовывается по приведенным на илл. 21 правилам следующим образом: если в заданном слове имеется квадратик, расположенный левее кружочка, то, согласно правилу 1, их нужно поменять местами; если во вновь полученном слове опять имеется квадратик, расположенный левее кружочка, нужно опять их поменять местами и т.д.; правило 1 применяется столько раз, сколько возможно, т. е. пока не получится слово, в котором уже нет квадратика, расположенного левее кружочка, или в котором все кружочки лежат левее всех квадратиков; затем переходим к применению правила 2, а именно: если имеются два рядом стоящих кружочка, их удаляют, и правило 2 применяется столько раз, сколько возможно, т. е. пока не получится слово, в котором нет двух рядом стоящих кружочков; затем переходим к применению правила 3, а именно: если имеются два рядом стоящих квадратика, их удаляют, и это правило применяется столько раз, сколько возможно, т. е. пока не получится слово, в котором нет двух рядом стоящих квадратиков. Полученное слово является результатом преобразования исходного слова по заданным правилам и способу их применения, определяющим вместе некоторый алгоритм преобразования слов в данном алфавите. На илл. 22 показано преобразование четырех слов по этому алгоритму. Как показывает опыт обучения, повторив эту игру несколько раз для различных «слов», дети 5—6 лет в состоянии заранее правильно определить, какие вообще могут оказаться результаты сокращения «слов» по заданным правилам: кружочек и квадратик, или один кружочек, или один квадратик, или «ничего» (это «ничего» называют «пустым словом»). Приведенные выше правила игры вместе с процедурой их применения могут быть изображены блок-схемой (илл. 23). Умение применять разного рода алгоритмы, тем более умение предвидеть и обосновывать возможные результаты их применения — признак формирования свойственного для математика стиля мышления. Моделирование различных алгоритмов в виде детских игр открывает широкие возможности для формирования зачатков этого стиля мышления уже у дошкольников. |
Похожие:
 |
Учебно-методическое пособие по курсу «методы программирования» для... Ученым советом механико-математического факультета 29 марта 2005 г., протокол №5 |
 |
План работы заместителя директора по увр терентьевой Е. Н Доведение до учителей школы проекта мгу «Концепция развития математического образования в рф» |
|
Анализ работы школьного методического объединения учителей математического... Мо в целом, а в итоге на совершенствование учебно-воспитательного процесса, достижение оптимального уровня образования, воспитания... |
|
Программа факультативных занятий по математике для III v классов общеобразовательных учреждений Целью факультативных занятий «Путешествие в страну Занимательной математики» является повышение уровня математического развития учащихся.... |
|
И резервы роста Вологодского научно-координационного центра Центрального экономико-математического института ран |
|
Общие вопросы психологии развития Психология развития и возрастная психология. Психология развития как прикладная отрасль. Основные задачи психологии развития. Связи... |
|
Методы вычислений с контролем точности на квазиравномерных сетках Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской Академии Наук |
|
Рабочая программа дисциплины (модуля) Дисциплина «Возрастная анатомия и физиология» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла б-2 (курс по... |
|
Бикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей Работа выполнена в отделе физико-химических свойств вещества Института математического моделирования ран |
|
Заседание шмо учителей Естественно математического цикла мкоу«Карахунская сош» Нормативно-правовая основа разработки программы составлена на основе следующих документов |