Математического развития




Скачать 4.07 Mb.
Название Математического развития
страница 7/27
Дата публикации 28.09.2014
Размер 4.07 Mb.
Тип Документы
literature-edu.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   27

Свойства отношений

1. Отношение р на множестве А является рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении р с самим собой. Если же каждый элемент множества А не находится в этом отношении с самим собой, отношение обладает свойством антирефлексивности и называется антирефлексивным.

Среди уже перечисленных нами отношений рефлексивными являются: равно, не меньше, не больше, делит, делится на, равенство и подобие фигур; антирефлексивными являются отношения: нерав­но, меньше, больше между числами; предшествует, следует за между точками прямой. Отношение быть ровесником между людь­ми является рефлексивным, отношение же быть отцом, быть ма­терью, выше, старше, моложе — антирефлексивными. Отношение быть другом не является ни рефлексивным, ни антирефлексив­ным (бывают случаи, когда человек сам себе друг, и случаи, когда человек сам себе недруг).

2. Рассмотрим свойство: если а-b, то Ь=а, т. е. если пара (а, Ь)
находится в отношении равно, то и пара (Ь, а) находится в этом
отношении.

Таким свойством обладает, например, отношение быть ровес­ником: если х ровеснику, то у ровесник х. Это отношение обладает свойством симметричности и называется симметричным.

Не является симметричным, например, отношение старше: если х старше у, то неверно, что у старше х. Подобные отношения обладают свойством асимметричности и называются асиммет­ричными.

3. Несложно установить истинность следующих утверждений:
если х<�у и y<z, то x<z;

если х=у и ущ, то x=z;

если х ровесник у и у ровесник z, то х ровесник z; если х старше у и у старше z, то х старше z; если а\\Ь и Ь\\с, то а\\с.

Однако если х — отец у и у — отец z, то z не есть отец z (он его дедушка); если х — друг у, а у — друг z, то вообще не известно, является ли х другом z.

Свойство отношения р—(Р, А, А), состоящее в том, что из хру и ypz следует xpz для любых х, y,z^A, называется транзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — транзитивным.

Свойство отношения р, состоящее в том, что из хру и ypz сле­дует xpz для любых х, у, zЈ А, называется антитранзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — антитранзитив­ным.

Так, отношения меньше, равно, быть ровесником, старше, па­раллельно являются транзитивными. Отношение быть отцом яв­ляется антитранзитивным, а отношение быть другом не является ни транзитивным, ни антитранзитивным.

Отношение эквивалентности

Выделим теперь класс отношений, играющих особую роль в разбиении множеств предметов на классы, т. е. в классификации множеств.

Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, которые являются рефлексивными, симметричными и транзитивными одновременно. К ним относятся отношения ра­венства чисел и геометрических фигур, подобия фигур, отноше­ние быть ровесником.

Эти и другие подобные им, т. е. обладающие такими же свойст­вами, отношения принадлежат важному классу отношений эквива­лентности, находящих широкое применение и использование, в том числе в курсе математики общеобразовательной школы.

Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отноше­ние, установленное в некотором множестве А, называется отно­шением эквивалентности.

Если между элементами некоторого множества введено или ус­тановлено отношение эквивалентности, то этим самым порождает­ся разбиение данного множества на классы таким образом, что любые два элемента, принадлежащие одному классу разбиения, на­ходятся в данном отношении (иначе: эквивалентны по этому отно­шению), любые же два элемента, принадлежащие различным клас­сам, не находятся в этом отношении (иначе: не эквивалентны по этому отношению). Такое разбиение множества на классы обычно называют разбиением множества на классы эквивалентности.

Разбиение множества блоков (или фигур) на классы эквива­лентности можно смоделировать с помощью следующей игры с тремя обручами.

В множестве всех блоков введем отношение иметь один цвет (или быть одного цвета). Нетрудно убедиться в том, что это

множества всех блоков на классы эквивалентности по отношению быть одного цвета (области (1), (2), (3), (4) оказываются пустыми, так как нет трехцветного или двухцветного блока, область (8) пуста, так как блоков другого цвета, кроме красного, синего или желтого, нет). Нетрудно убедиться в том, что удовлетворяются условия (1)—(3) правильного разбиения (см. 2.1): 1) ни один из классов (красных, синих, желтых) блоков не пуст; 2) эти классы попарно не пересекаются; 3) их объединение равно множеству Мвсех блоков.

Таким же путем, т. е. с помощью отношения быть одного цвета, формируется и само представление о цвете как о классе, объединяющем все предметы одного цвета, скажем все красные предметы.

Аналогично формируется и представление об определенной форме предметов. С помощью отношения иметь одну форму мы

получаем разбиение всех блоков (или фигур) на четыре класса эк­вивалентности такое, что любые два блока (или две фигуры), при­надлежащие одному классу, обладают одной и той же формой, любые же два блока (или две фигуры) различных классов облада­ют различной формой. Сама форма выступает здесь как класс эк­вивалентности. Так, впоследствии, например, формируются представления о круге, квадрате, треугольнике, прямоугольнике и других геометрических фигурах как на плоскости, так и в про­странстве.

Эти примеры показывают, с одной стороны, что отношения эквивалентности являются базой для формирования новых поня­тий и для классифицирующей деятельности, с другой — что рас­смотренные выше (2.1) дидактические игры с обручами обучают этой деятельности.

Отношение порядка

Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, как меньше, больше между числами, предшествует, следует за между точками прямой; старше, моложе между людьми. Эти от­ношения являются антирефлексивными, асимметричными и тран­зитивными.

Всякое антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение в некотором множестве А называется отношением по­рядка1.
2.3. Числа

Возникновение понятия натурального числа


1 Иногда такое отношение называют отношением строгого порядка, чтобы отличить его <�уг отношения нестрогого порядка, являющегося рефлексивным, антисимметричным и тран­зитивным.

Теоретические основы формирования элементарных матема­тических представлений у дошкольников включают детальное изу­чение лишь системы натуральных чисел. Поэтому, говоря здесь «числа», мы имеем в виду натуральные числа.

К построению математических моделей явлений, основанно­му на отвлечении от всех свойств предметов, кроме их количест­венных отношений и пространственных форм, человечество при­бегало с первых шагов изучения окружающего мира. Одним из первых достижений на этом пути было возникновение и форми­рование понятия натурального числа. Оно появилось, по-видимо­му, на довольно позднем этапе развития мышления и предполага­ло наличие способности к созданию абстрактных понятий и опе­рированию ими.

Процесс формирования понятия числа был сложным и дли­тельным. На самом раннем этапе устанавливалась равночислен-ность различных множеств, общее же свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравнивае­мых множеств. Например, знали, что два рыболова поймали по­ровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом. В дальней­шем практика экономических и социальных взаимоотношений привела к необходимости выражать численность одних множеств уже через численность других множеств, т. е. общее свойство рав­ночисленное™ стало осознаваться как нечто отличное от кон­кретной природы самого множества, его элементов. Однако в ка­честве эталонов выступали еще различные множества, состоящие из подручных предметов — эквивалентов равночисленности мно­жеств предметов. Еще позже определенное множество, например пальцы на руках и ногах, начали выступать в качестве своеобраз­ного единственного эталона количества, что позволило выделить общее свойство численности, отличное от всех особенных свойств множеств. Впоследствии общее свойство всех равночисленных множеств абстрагировалось от самих множеств и выступило в «чистом виде», т. е. как абстрактное понятие натурального числа. Далее в качестве эталона численности уже выступают сами нату­ральные числа, когда люди говорят не «рука яблок», а «пять яблок» (интересно, что в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти», т. е. о ладони). И наконец, происходит отвлечение от ре­ально существующих ограничений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах. Возникает абстракция бесконечного множества натуральных чисел. Объектом научного анализа стано­вятся свойства элементов самого этого множества, в отвлечении от тех предметов, счет которых привел к созданию понятия числа. Возникает теория, описывающая систему чисел с ее свойствами и закономерностями.

Как будет показано дальше, процесс формирования представ­лений дошкольников о числе в известном смысле в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия.

В математике известны различные способы построения тео­рии натуральных чисел. Мы рассмотрим лишь основные идеи двух теорий натуральных чисел, количественной и порядковой, находя­щие отражение в формировании представлений о числе, счете и арифметических операциях.

Основные идеи количественной теории натуральных чисел

В количественной теории натуральное число с самого начала воспринимается как число элементов (мощность, численность) конечного множества.

Рассмотрим всевозможные конечные множества (говорят «класс, или семейство, множеств») и установим для них отноше­ние эквивалентности следующим образом: два множества А и В будем называть эквивалентными (обозначается это через А~В), если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.

Установленное таким образом отношение множеств является отношением типа эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, сим­метрично и транзитивно. Для любых множеств А, В, С:

а) А~А; б) если А~В, то В~А; в) если А~В и В~С, то А~С.

Поэтому введенное отношение порождает разбиение данного семейства множеств на классы эквивалентности так, что любые два множества одного класса эквивалентны, а любые два множе­ства различных классов неэквивалентны.

Эквивалентные множества не совпадают полностью, всеми своими свойствами: множество пальцев человеческой руки и мно­жество, состоящее из пяти столов, различные, но эквивалентные множества.

Каждый класс эквивалентности характеризуется мощностью, т. е. любые два множества одного класса равномощны (имеют одинаковую мощность). Так как мы имеем дело лишь с конечны­ми множествами, то равномощность означает равночисленность. Мощность, или класс, равночисленных конечных множеств и на­зывают натуральным числом.

Таким образом, каждому конечному множеству Л приписыва­ют в качестве характеристики натуральное число т(А), опреде­ляющее его принадлежность определенному классу эквивалент­ности. При этом множествам, принадлежащим одному классу эк­вивалентности, приписывается одно и то же натуральное число:

если А~В, то т(А)=т(В);

множествам, принадлежащим различным классам эквивалент­ности,— различные натуральные числа:

если А~В, то т (А)^т(В).

Так как А и В — конечные множества, то натуральные числа т(А) и т(В) обозначают числа элементов (численность) этих мно­жеств.

В основе такой концепции натурального числа лежит абстрак­ция отождествления: отношение эквивалентности множеств отож­дествляет множества, принадлежащие одному классу эквивалент­ности по их численности.

В результате этого отождествления от множеств, принадлежа­щих одному классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, в виде самостоятельного понятия — натурального числа.

Название «количественная теория» связано с тем, что в этой теории натуральное число обозначает количество элементов мно­жества.

Основные идеи порядковой теории натуральных чисел

В конце XIX в. была построена порядковая теория натураль­ных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858—1932), построившего эту тео­рию на аксиоматической основе.

Весьма развитый в математике аксиоматический подход к по­строению теорий состоит в следующем: а) выделяются некоторые исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через ранее уже определенные; б) выделяются некоторые исходные предложения, или аксиомы, истинность которых принимается без доказательства; все осталь­ные предложения теории — теоремы — логически выводятся или доказываются с использованием введенных понятий, ранее дока­занных фактов, теорем.

Отметим, что аксиоматический подход применяется для по­строения теории, о которой уже имеются определенные, сформи­рованные интуитивные представления. Иначе говоря, осуществ­ляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».

Подход к построению теории натуральных чисел, берущий на­чало от Пеано, представляет собой определенный способ матема­тизации интуитивного представления о натуральном ряде.

Математизация этого интуитивного понятия приводит к опре­делению натурального ряда как некоторой структуры (T, 1,'), со­стоящей из: а) множества N, элементы которого называются нату­ральными числами; б) выделенного в этом множестве элемента, обозначаемого знаком 1 и называемого единицей; в) определенного в множестве ТУотношения «непосредственно следует за» (число, не­посредственно следующее за числом*, обозначим черезх\ т. е. если у непосредственно следует за х, то у=х'; у! «сосед справа» для х).

Натуральный ряд обладает следующими интуитивно ясными свойствами (принятыми Пеано в качестве аксиом, характеризу­ющих эту структуру).

I. Единица непосредственно не следует ни за каким натураль­ным числом, т. е. не является «правым соседом» никакого другого натурального числа, это «первое» натуральное число.

П. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число, т. е. любое натуральное число имеет только одного «правого соседа».

III. Любое натуральное число непосредственно следует не бо­лее чем за одним натуральным числом, т. е. единица не следует ни за каким, всякое другое натуральное число — точно за одним.

Всякое натуральное число, кроме единицы, является «правым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».

I. Если какое-нибудь множество М натуральных чисел (Л/c/) содержит 1 и вместе с некоторым натуральным числом х содержит и натуральное число х1', непосредственно следующее за х, то это множество совпадает с множеством всех натуральных чисел (M=N).

Предложение I, хотя по своему содержанию более слож­но, чем первые три, также выражает достаточно простое свой­ство: с помощью последовательного прибавления единицы, на­чиная с единицы, можно получить все натуральные числа. Вся­кий раз, когда мы доходим до некоторого числа х, допускается возможность написания непосредственно следующего за ним числа х?.

Натуральный ряд в описанном представлении мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его обра­зования незавершаем, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностью осуществления сле­дующего шага.

Свойства I—I характеризуют структуру «натуральный ряд» только с точки зрения отношения ', названного «непосредствен­но следует за». Но это построение можно дополнить свойствами, характеризующими операции сложения и умножения в множе­стве N.

Расширим систему свойств I—I таким образом, чтобы полу­чить характеристику структуры (N, 1,', +, •).

Знак + обозначает операцию «сложение», сопоставляю­щую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х+у, называемое их суммой и обладающее следующими свойст­вами:

т. е. сумма любого натурального числа х с числом 1 равна непо­средственно следующему за х числу хЛ I. Х+у'=(х+у)',

т. е. сумма любого числа х с числом у', непосредственно следу­ющим за любым числом у, равна числу, непосредственно следу­ющему за суммой х+у.

Знак • обозначает операцию умножения, сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х»у, на­зываемое их произведением и обладающее следующими двумя свойствами: II.x»l=x,

т. е. произведение любого натурального числа х и числа 1 равно числу х (умножение какого-нибудь числа на единицу не меняет это число).

III. х»(У)=(х»у)+х, т. е. произведение числа х на число, непосредственно следующее за числом у, равно произведению чисел х и у, сложенному с чис­лом х.

Из свойств I—III выводятся все остальные свойства порядка и операций сложения и умножения натуральных чисел.

Покажем в качестве примера, как, исходя из перечисленных свойств, можно получить таблицу сложения.

Будем исходить из знания того, что непосредственно сле­дующее число за каждым однозначным числом уже получено:

Г=2; 2'=3; 3'=4; 4'=5; 5'=6; 6'=7; 7'=8; 8'=9; 9'=10.

Исходя из свойства , получаем таблицу «прибавления едини­цы»:

1 + 1=1'=2;

2+1=2'=3;

3+1=3'=4;
9+1=9'= 10.

Теперь, зная таблицу и используя свойство I, можем вывести, например, чему равно 2+2:

2+2=2+1'=(2+1)'=3'=4.

Аналогично 3+2=3+Г=(3+1)'=4'=5 и т. д.

Как видно, в описанном построении теории натуральных чисел основную роль играет операция (функция) прибавления единицы
/(х)=х+1,

сопоставляющая с каждым числом х непосредственно следующее за ним число х+1 (илихО- Эта идея используется в обучении счету маленьких детей.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   27

Похожие:

Математического развития icon Учебно-методическое пособие по курсу «методы программирования» для...
Ученым советом механико-математического факультета 29 марта 2005 г., протокол №5
Математического развития icon План работы заместителя директора по увр терентьевой Е. Н
Доведение до учителей школы проекта мгу «Концепция развития математического образования в рф»
Математического развития icon Анализ работы школьного методического объединения учителей математического...
Мо в целом, а в итоге на совершенствование учебно-воспитательного процесса, достижение оптимального уровня образования, воспитания...
Математического развития icon Программа факультативных занятий по математике для III v классов общеобразовательных учреждений
Целью факультативных занятий «Путешествие в страну Занимательной математики» является повышение уровня математического развития учащихся....
Математического развития icon И резервы роста
Вологодского научно-координационного центра Центрального экономико-математического института ран
Математического развития icon Общие вопросы психологии развития
Психология развития и возрастная психология. Психология развития как прикладная отрасль. Основные задачи психологии развития. Связи...
Математического развития icon Методы вычислений с контролем точности на квазиравномерных сетках
Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской Академии Наук
Математического развития icon Рабочая программа дисциплины (модуля)
Дисциплина «Возрастная анатомия и физиология» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла б-2 (курс по...
Математического развития icon Бикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей
Работа выполнена в отделе физико-химических свойств вещества Института математического моделирования ран
Математического развития icon Заседание шмо учителей Естественно математического цикла мкоу«Карахунская сош»
Нормативно-правовая основа разработки программы составлена на основе следующих документов
Литература


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
literature-edu.ru
Поиск на сайте

Главная страница  Литература  Доклады  Рефераты  Курсовая работа  Лекции