Математического развития
|
Скачать 4.07 Mb.
|
|
1 Изображение множеств с помощью кругов было предложено выдающимся математиком Леонардом Эйлером (1707—1783). Поэтому такие круговые диаграммы называют кругами Эйлера, иногда диаграммами Эйлера—Венна. Зависимость истинностного значения конъюнкции от истинностных значений составляющих предложений определяется обычным смыслом союза и: конъюнкция «Р и Q» истинна тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих ее предложения Р и Q. Это можно записать в виде следующей истинностной таблицы, дающей истинностные значения конъюнкции при любых возможных комбинациях истинностных значений составляющих (см. табл. 1).
В логике конъюнкция обозначается знаком «л», т. е. вместо «Р и О» пишут «PaQ». Объединение множеств и дизъюнкция предложений Обратимся еще раз к игре с двумя обручами, изображенной на илл. 5. Поставим еще один вопрос: «Какое множество блоков оказалось внутри хотя бы одного из двух обручей: красного или черного?» Этот вопрос сложный, так как характеристическое свойство этого множества требует применения союза или в неразделительном (соединительном) смысле, что вызывает затруднения не только у дошкольников. Правильный ответ на поставленный вопрос может быть сформулирован следующим образом. Внутри хотя бы одного из двух обручей находится множество блоков, каждый из которых красный или круглый. Это множество состоит из всех красных не круглых, красных круглых и не красных круглых блоков (изображенных соответственно областями (2), (1), (3) в диаграмме (илл. 5). В общем виде можно сформулировать так. Если множество А характеризуется свойством Р, множество В — свойством Q, то множество, состоящее из всех предметов, являющихся элементами хотя бы одного из этих двух множеств, характеризуется свойством Р или Q. Это множество называется объединением множеств А и В и обозначается «ЛиВ». Итак, объединением ЛоВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В. Союз или понимается здесь в неразделительном смысле, т. е. каждый элемент объединения A\jB должен принадлежать хотя бы одному из множества А, В, т. е. или А, или В, или обоим множествам An В. Таким образом, если характеристические свойства множеств А и В выражаются с помощью предложений Р и Q соответственно, то характеристическое свойство объединения АиВ выражается предложением «Р или Q», составленным из предложений Р и Q с помощью союза или, понимаемого в неразделительном смысле. Это предложение называется дизъюнкцией предложений Ри Q (от лат. disjunctio — разобщение, различие). В обыденной речи союз или применяется в двух различных смыслах: неразделительном (соединительном), когда составное предложение, образованное с помощью этого слова, считается истинным в случае, если истинно хотя бы одно из составляющих предложений; в разделительном, когда составное предложение считается истинным в случае, если истинно только одно из составляющих предложений, в этом случае иногда говорят или.., или, либо.., либо. Разбиение множества на классы Разбиение множества на классы лежит в основе классифицирующей деятельности. Обратимся еще раз к диаграмме, изображенной на илл. 4. Здесь мы имеем множество М и два его подмножества Ai~A, удовлетворяющие следующим условиям:
класса (А и Л). Рассмотрим теперь диаграмму на илл. 5. Здесь мы имеем множество М и четыре подмножества: АглВ, АпВ, ~Ас\В, ЪглВ. Обозначим их соответственно через К\, К2, A3, А4. Нетрудно заметить, что выполняются условия, аналогичные предыдущим:
Объединение 'ЩыК^ШрвЩ состоит из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств К\, Ki, A3, А4. В этом случае условия (1)—(3) определяют разбиение множества М на четыре класса. Рассмотрим теперь игру с тремя обручами. Пусть три разноцветных (например, красный, черный и синий) обруча расположены так, как показано на илл. 6. Илл. 6 После того как образовавшиеся области (1)—(8) соответствующим образом названы (внутри всех трех обручей, внутри красного и черного, но вне синего и т. д.), решается более сложная, чем в игре с двумя обручами, задача классификации блоков (или фигур) по трем свойствам. Предлагается расположить блоки, например, так, чтобы внутри красного обруча оказались все красные блоки, внутри черного — все квадратные, а внутри синего — все большие. После выполнения задачи расположения блоков ставятся восемь стандартных для любого варианта игры с тремя обручами вопросов. Какие блоки лежат: 1) внутри всех трех обручей; 2) внутри красного и черного, но вне синего обруча; 3) внутри черного и синего, но вне красного обруча; 4) внутри красного и синего, но вне черного обруча; 5) внутри красного, но вне черного и вне синего обруча; 6) внутри черного, но вне синего и вне красного обруча; 7) внутри синего, но вне красного и вне черного обруча; 8) вне всех трех обручей? Как видно на илл. 6, в игре с тремя обручами моделируется разбиение множества на восемь классов: Ш{ т АпВпС; К2 = АпВиС; Къ = ИглВслС; К4 = АглВпС; К5 = АпВпГ; К6 = InBnC; К7 = InBnC; Ks = InBnC. И здесь также выполняются условия (1)—(3). Теперь можно ответить в самом общем виде на вопрос: что такое разбиение множества на классы? Система множеств К\, К2,... К„ называется разбиением множества М на классы, а сами эти множества — классами разбиения, если выполняются следующие условия:
Если хотя бы одно из условий (1)—(3) не выполняется, то система множества К\, К2,.., К„ не является разбиением множества М на классы. Например, система множества остроугольных, прямоугольных и двупрямоугольных треугольников не образует разбиение множества всех треугольников, так как множество двупрямоугольных треугольников, содержащих по два прямых угла, пусто, т.е. не выполняется условие (1). Система множеств остроугольных, прямоугольных и равнобедренных треугольников не образует разбиение множества всех треугольников, так как не выполняется условие (2) — множества прямоугольных и равнобедренных треугольников пересекаются (существуют прямоугольные равнобедренные треугольники). Система множества остроугольных и прямоугольных треугольников не образует разбиения множества треугольников, так как не выполняется условие (3) — объединение множеств остроугольных и прямоугольных треугольников не образует множество всех треугольников. Отношения между двумя множествами С целью уточнения вернемся к вопросу об отношении включения одного множества в другое. Вообще говоря, в математике различаются два вида включения: в широком смысле (нестрогое включение) и в узком смысле (строгое включение). Первое обозначается знаком с. Запись «AczB» означает, что все элементы Л принадлежат В. При этом возможны два случая:
В предматематической подготовке дошкольников встречается лишь строгое включение, собственная часть множества. В играх с обручами моделируются и другие отношения, в которых могут находиться два множества. Так, например, множества красных (А) и не красных (Л) блоков не имеют ни одного общего элемента, т. е. их пересечение пусто (АглА = 0). Такие два множества, как мы уже знаем, называются непересекающимися (в литературе встречается и термин «дизъюнктные» множества). Множества красных (А) и квадратных (В) блоков имеют общие элементы (красные квадраты), т. е. их пересечение непусто (АглВф0), причем ни одно из этих множеств не включается в другое, т. е. не является подмножеством другого. Такие два множества называются пересекающимися. Выявление правильных отношений между множествами окружающих нас предметов — составная часть формирования и развития представлений дошкольников об окружающем мире. Выработка у дошкольников простейших представлений классификации окружающих предметов является основой для формирования в дальнейшем математического мышления, связанного с моделированием и исследованием различных математических конструкций, способствует повышению алгоритмической культуры учащихся. 2.2. Отношения Бинарные отношения Под бинарным отношением понимают отношение между двумя предметами. Дальше, говоря «отношение», мы будем иметь в виду именно бинарное отношение. Выясним, что интуитивно понимают под отношением и как это понятие можно описать математически. Из курса школьной математики известны многочисленные примеры отношений:
Это, разумеется, далеко не полный перечень встречающихся в школьной математике отношений. Примеры бинарных отношений встречаются не только в математике, но и всюду в жизни, вокруг нас. Родственные и другие отношения между людьми (быть отцом, дедушкой, матерью, бабушкой, братом, сестрой, другом, ровесником; старше, моложе, выше, ниже и др.) выступают как бинарные отношения. Отношения между событиями во времени (раньше, позже, одновременно), между предметами по их расположению в пространстве (выше, ниже, левее, правее, севернее, южнее и др.) также выступают как бинарные отношения. Всегда, когда речь идет о некотором отношении, имеются в виду два множества А я В; при этом некоторые элементы множества А находятся в данном отношении с некоторыми элементами множества В или того же множества А. Таким образом, всякое отношение между элементами множеств А и В (или между элементами множества А) порождает множество пар, первые компоненты которых принадлежат А, вторые — В (или тоже А), т. е. порождает подмножество АхВ (или АхА), причем такое, что элементы каждой пары и только они находятся в данном отношении. Всякое отношение между элементами двух множеств А и В полностью характеризуется тремя множествами: А и В, между элементами которых установлено отношение, и некоторым множеством пар Р — подмножеством АхВ, т. е. декартовым произведением. Один из путей определения математического понятия отношения и состоит в отождествлении этого понятия с указанной тройкой множеств. Отношением между элементами непустых множеств А и В называется тройка множеств р=(Р, А, В), где P<zAxB. Множество пар Р называется графиком отношения р. Об элементах пары (х, у), принадлежащей графику Р, говорят, что они находятся в отношении р, и записывают это так: «хру». Таким образом, записи «(х, у)е Р» или «хру» равносильны. Если В—А, то р=(Р, А, А) называется отношением между элементами множества А. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие:
 |
Учебно-методическое пособие по курсу «методы программирования» для... Ученым советом механико-математического факультета 29 марта 2005 г., протокол №5 |
 |
План работы заместителя директора по увр терентьевой Е. Н Доведение до учителей школы проекта мгу «Концепция развития математического образования в рф» |
|
Анализ работы школьного методического объединения учителей математического... Мо в целом, а в итоге на совершенствование учебно-воспитательного процесса, достижение оптимального уровня образования, воспитания... |
|
Программа факультативных занятий по математике для III v классов общеобразовательных учреждений Целью факультативных занятий «Путешествие в страну Занимательной математики» является повышение уровня математического развития учащихся.... |
|
И резервы роста Вологодского научно-координационного центра Центрального экономико-математического института ран |
|
Общие вопросы психологии развития Психология развития и возрастная психология. Психология развития как прикладная отрасль. Основные задачи психологии развития. Связи... |
|
Методы вычислений с контролем точности на квазиравномерных сетках Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской Академии Наук |
|
Рабочая программа дисциплины (модуля) Дисциплина «Возрастная анатомия и физиология» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла б-2 (курс по... |
|
Бикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей Работа выполнена в отделе физико-химических свойств вещества Института математического моделирования ран |
|
Заседание шмо учителей Естественно математического цикла мкоу«Карахунская сош» Нормативно-правовая основа разработки программы составлена на основе следующих документов |