Математического развития
|
Скачать 4.07 Mb.
|
|
Глава 2. Теоретические основы развития математических представлений у дошкольников Теоретические основы развития математических представлений у дошкольников и учеников начальной школы получили сравнительно недавно (примерно 20 лет назад) специальное название — «предматематика» (англ. premathematics). Традиционно в качестве теоретических основ обучения принимали соответствующие математические теории в их завершенном виде. Однако дедуктивно построенная математическая теория в ее абстрактном виде не может служить основой для дошкольного и начального школьного обучения математике. Предматематику не следует принимать за «детскую математику». На предматематическом уровне изучаются некоторые понятия и темы школьного курса математики в средних и старших классах школы. Этот уровень часто используется и в научно-популярной литературе. Что же касается развития математических представлений у дошкольников и обучения математике в начальных классах школы, то они полностью находятся на предматематическом уровне, отражают соответствующую стадию развития математических знаний. Поэтому цели и результаты этого обучения правомерно называть «предматематической» подготовкой дошкольников и младших школьников, т. е. их подготовкой к изучению математики. Основная цель теоретических основ развития математических представлений — математическое описание и уточнение смысла всего того, что практикуется на занятиях с дошкольниками, разъяснение тех понятий, о которых у детей формируют соответствующие представления. Этой цели и подчинено изложение теоретических основ. Мы не будем строить здесь какие-нибудь строгие математические теории. Все изложение ведется на предматематическом уровне. Для иллюстрации различных понятий, фактов или конструкций мы будем пользоваться примерами и играми, моделирующими эти понятия или конструкции, и соответствующим дидактическим материалом. Таким образом, теоретические основы излагаются в непосредственной связи с элементарными математическими представлениями, формируемыми у дошкольников в процессе их обучения в детском саду. Особенностью этого изложения является выявление логической структуры мышления, развиваемой одновременно с математическими представлениями. Это дает возможность педагогу повысить развивающий эффект при формировании у школьников математических представлений. Используемая при изложении теоретических основ специальная логическая и математическая терминология и символика не предназначена, разумеется, для обучения дошкольников. 2.1. Множества Характеристическое свойство множества Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность некоторым предметам. Например, свойством быть красным обладают некоторые цветы, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством быть круглым обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др. Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что множество характеризуется данным свойством — или множество задано указанием характеристического свойства. Под характеристическим свойством множества понимают такое свойство, которым обладают все предметы, принадлежащие этому множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, не принадлежащий ему (не являющийся его элементом). Иногда свойство отождествляется с множеством предметов, характеризуемым этим свойством. Говоря круглое, мы одновременно мыслим о множестве всех круглых предметов. Если некоторое множество А задано указанием характеристического свойства Р, то это записывается следующим образом: А={х\Р(х)} и читается так: «А — множество всех х таких, что х обладает свойством Р», или, короче, «А — множество всехх, обладающих свойством Р». Когда говорят: «множество всех предметов, обладающих свойством Р», имеются в виду те и только те предметы, которые обладают этим свойством. Естественно, что некоторым свойством может обладать бесконечное множество предметов, другим — лишь конечное множество. Поэтому множества подразделяются на конечные и бесконечные. Конечное множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Например, множество детей данной группы, живущих на Садовой улице, может быть задано описанием с помощью характеристического свойства: {х\х — живет на Садовой улице} или же перечислением всех его элементов в произвольном порядке: {Лена, Саша, Витя, Ира, Коля}. Вполне понятно, что бесконечное множество нельзя задать перечислением всех его элементов. Математика в большей мере имеет дело с бесконечными множествами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоделированы на конечных множествах. Естественно, что в предматематической подготовке обычно имеют дело с конечными множествами. Элементами таких множеств могут быть самые разнообразные предметы любой природы, как конкретные (растения, животные, предметы обихода и т. д.), так и абстрактные (числа, геометрические фигуры, отношения и т.д.), или изображения таких объектов. Чаще всего мы будем пользоваться множествами, элементами которых являются знакомые детям предметы или их изображения. При этом изображение птички так и будем называть птичкой, изображение дерева — деревом и т. п. Универсальное множество. Дидактический материал Обычно предметы, обладающие определенным свойством, выделяются из некоторого наперед заданного основного, или универсального, множества предметов (множества всех предметов, рассматриваемых в связи с данным свойством). Например, множество детей, живущих на какой-либо улице, мы выделили из множества всех детей определенной (конкретной, известной нам) группы как ее часть (подмножество), характеризуемую указанным свойством. В данном случае множество всех детей этой группы играет роль универсального множества (множества всех детей). Если в качестве универсального множества принять множество всех детей данного детского сада (а не только одной группы), то множество детей, живущих на указанной улице, может оказаться иным. Все вопросы, связанные с множествами (операции над множествами, отношения между ними, разбиение множества на классы и др.), решаются, как правило, внутри некоторого явно заданного или подразумеваемого универсального множества. Удобно иллюстрировать понятия, связанные с множествами предметов, на одном универсальном множестве специального дидактического материала, который может быть эффективно использован в обучении дошкольников, — логические блоки'. Эти блоки названы логическими, потому что они позволяют моделировать разнообразные логические структуры и решать логические задачи с помощью специально создаваемых конкретных ситуаций, т. е. могут быть использованы, как это будет показано дальше, для ранней логической пропедевтики детей 4—6 лет. Комплект (универсальное множество) состоит из 48 деревянных или пластмассовых блоков. Каждый блок обладает четырьмя свойствами, т. е. является носителем четырех свойств, которыми он полностью определяется: формой, цветом, величиной и толщиной. Имеются четыре формы: круг, квадрат, треугольник и прямоугольник (под прямоугольником имеется в виду разносторонний прямоугольник; на этом предматематическом уровне дети не считают квадрат прямоугольником); три цвета: красный, синий,,желтый; две величины: большой и малый — и две толщины: толстый и тонкий. Это так называемый «пространственный вариант» дидактического материала. Широкие возможности для применения в обучении дошкольников имеет и «плоский вариант» блоков, который для краткости назовем «фигуры». Такой комплект (универсальное множество) состоит из 24 фигур, изображенных на листе плотной бумаги. Каждая из этих фигур полностью определяется тремя свойствами: формой (круг, квадрат, треугольник, прямоугольник); цветом: красный, синий, желтый (к, с, ж); величиной: большой, маленький (б, м). Толщиной фигуры не различаются (она у всех одна и та же). Таким образом, имя каждой фигуры состоит из тройки букв-названий (формы, цвета, величины) и может быть символически записано так: □ жб — квадратная желтая большая фигура (в дальнейшем можно назвать короче — желтый большой квадрат); СИ см — прямоугольная синяя малая фигура (или синий малый прямоугольник) и т. п. Прежде чем пользоваться блоками (или фигурами) для проведения различных игр и решения разного рода задач, необходимо научиться распознавать каждый элемент универсального множества, состоящего из блоков (или фигур), т. е. уметь называть его полное имя. Подмножество. Дополнение множества и отрицание предложения Рассмотрим теперь некоторое свойство, которым могут обладать или не обладать элементы нашего универсального множества. Свойство быть красным выделяет из универсального множества подмножество красных блоков или фигур. Свойство быть круглым выделяет из этого множества другое подмножество — круглых блоков (или фигур). Термин подмножество применяется в математике в смысле часть множества. При этом, однако, не исключаются два крайних случая: когда часть множества (подмножество) совпадает со всем множеством, т. е. все элементы множества обладают рассматриваемым свойством, и когда эта часть не содержит ни одного элемента, например ни один блок не обладает свойством быть зеленым. В последнем случае эту часть называют пустым множеством и обозначают символом 0. Эти крайние случаи тоже можно смоделировать конкретными ситуациями, создаваемыми с помощью блоков (или фигур). Если, например, рассматривая только красные блоки (теперь множество красных блоков является универсальным), мы предлагаем выделить из них те, которые являются красными, то выделенное подмножество совпадает со всем рассматриваемым множеством. Если же предлагается из этих блоков отделить (переложить в другой ящик) все те, которые являются синими, то этот ящик останется пустым, т. е. фактически в множестве красных блоков будет выделено «пустое множество» блоков. Пусть множество М — некоторое универсальное множество, множество А — некоторое подмножество множества М. Символически это обозначается «АсМ». Говорят также, что множество А включается в М. Это означает, что все элементы множества А являются также элементами множества М. Выделение подмножества с помощью некоторого свойства может быть смоделировано с помощью игры с одним обручем. Опишем эту игру. На полу (или на столе) располагают обруч (такой, который используется в художественной гимнастике, или поменьше). У каждого ребенка в руке — один блок. Дети по очереди располагают блоки в соответствии с заданием воспитателя, например внутри обруча — все красные, а вне обруча — все остальные (илл. 4). Илл. 4 Эта задача, как правило, не вызывает затруднений у детей, уже различающих блоки по цвету и понимающих, что значит внутри и вне обруча. После решения задачи предлагаются два вопроса: «Какие блоки лежат внутри обруча?» и «Какие блоки лежат вне обруча?» Первый вопрос несложен для детей, так как ответ содержится в условии уже решенной задачи. Второй вопрос на первых порах вызывает затруднения, так как в условии задачи говорится «все остальные», здесь же спрашивается «Какие?» Ответ, который мы хотим получить («Вне обруча лежат все не красные блоки»), появляется не сразу. Такой ответ, как «Вне обруча лежат все желтые и все синие блоки», по существу правильный. Но мы хотим выразить свойство блоков, оказавшихся вне обруча, как отрицание свойства тех, которые лежат внутри. Можно предложить детям назвать свойство всех блоков, лежащих вне обруча, с помощью одного слова, используя при этом слово «красные». Некоторые дети догадываются, и в дальнейшем, при проведении этой игры в различных вариантах, эти трудности уже не возникают. В ходе этой игры отрабатывается переход от выражения некоторого свойства к выражению отрицания этого свойства: внутри обруча вне обруча красные не красные квадратные не квадратные большие не большие {малые) толстые не толстые {тонкие) не круглые круглые не желтые желтые и т. п. Какова же цель применения таких дидактических игр? В дальнейшем будет показано, что такого рода дидактические материалы предшествуют формированию одного из важнейших общеобразовательных умений — умения классифицировать объекты. Отвлечемся теперь от описанной конкретной игры и рассмотрим илл. 4 как изображение некоторого множества М (с помощью множества точек внутри прямоугольника) и некоторого подмножества А (с помощью множества точек круга), выделенного из М некоторым свойством Р. Оставшиеся элементы М, т. е. те, которые не принадлежат А, не обладают свойством Р. Множество всех этих элементов (тоже подмножество М) называется дополнением множества А (до универсального множества М) и обозначается через 7L {А с чертой). Если множество А характеризуется свойством Р, то его дополнение А характеризуется свойством не Р (если элементы А красные, то элементы А не красные). Таким образом, множество А представляет собой множество всех х из М, не обладающих свойством Р. Образование дополнения А приводит к образованию отрицания предложения, выражающего характеристическое свойство множества А. Отрицание некоторого предложения Р конструируется на русском языке с помощью слов неверно, что, поставленных перед отрицаемым предложением, или, если Р — простое предложение, использованием частицы не перед сказуемым. Пересечение множеств и конъюнкция предложений Опишем игру с двумя обручами. Размещают на плоскости два разноцветных обруча (допустим, красный и черный) так, чтобы они пересеклись (имели общую часть), и предлагают детям расположить блоки так, чтобы внутри красного обруча оказались, например, все красные блоки, а внутри черного — все круглые (илл. 5). , все красные блоки, а внутри черного — все круглые (илл. 5). Вначале некоторые дети допускают ошибки. Начиная заполнять красный обруч красными блоками, они могут расположить все эти блоки, в том числе и круглые красные, вне черного обруча. Затем все остальные круглые блоки располагают внутри черного, но вне красного обруча. В результате общая часть двух обручей может оказаться пустой. Некоторые дети после постановки вопроса «Все круглые блоки внутри черного обруча?» замечают допущенную ошибку и перекладывают круглые красные блоки в общую часть двух обручей, объясняя, почему они должны лежать именно там (внутри красного обруча — потому что красные, внутри черного — потому что круглые). После выполнения практической задачи по расположению блоков дети отвечают на четыре стандартных для всех вариантов игры с двумя обручами вопроса. Какие блоки лежат: 1) внутри обоих обручей; 2) внутри красного, но вне черного обруча; 3) внутри черного, но вне красного обруча; 4) вне обоих обручей. Следует подчеркнуть, что блоки надо называть здесь с помощью двух свойств — формы и цвета. Отвлечемся теперь от описанной игры и рассмотрим ситуацию, изображенную на илл. 5, в общем виде1. Общая часть множеств Д и В (илл. 5, область (1)) представляет собой подмножество всех элементов из М, принадлежащих как А, так и В, т. е. обладающих обоими свойствами Ри Q. Это множество называется пересечением множеств А и В и обозначается через АглВ. Итак, пересечением Аг\В двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В, т. е. их общая часть. Если характеристические свойства множеств А и В выражаются с помощью предложений Р и Q соответственно, то характеристическое свойство пересечения АслВ выражается предложением «Ри Q», составленным из предложений PnQc помощью союза и. Это предложение называется конъюнкцией предложений Р и Q (от лат. conjunctio — союз, связь). |
Похожие:
 |
Учебно-методическое пособие по курсу «методы программирования» для... Ученым советом механико-математического факультета 29 марта 2005 г., протокол №5 |
 |
План работы заместителя директора по увр терентьевой Е. Н Доведение до учителей школы проекта мгу «Концепция развития математического образования в рф» |
|
Анализ работы школьного методического объединения учителей математического... Мо в целом, а в итоге на совершенствование учебно-воспитательного процесса, достижение оптимального уровня образования, воспитания... |
|
Программа факультативных занятий по математике для III v классов общеобразовательных учреждений Целью факультативных занятий «Путешествие в страну Занимательной математики» является повышение уровня математического развития учащихся.... |
|
И резервы роста Вологодского научно-координационного центра Центрального экономико-математического института ран |
|
Общие вопросы психологии развития Психология развития и возрастная психология. Психология развития как прикладная отрасль. Основные задачи психологии развития. Связи... |
|
Методы вычислений с контролем точности на квазиравномерных сетках Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской Академии Наук |
|
Рабочая программа дисциплины (модуля) Дисциплина «Возрастная анатомия и физиология» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла б-2 (курс по... |
|
Бикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей Работа выполнена в отделе физико-химических свойств вещества Института математического моделирования ран |
|
Заседание шмо учителей Естественно математического цикла мкоу«Карахунская сош» Нормативно-правовая основа разработки программы составлена на основе следующих документов |