В.А.Шапошников
ПРОГРАММА спецкурса
ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ И ИСТОРИЯ КУЛЬТУРЫ
I. Организационно-методическое обоснование курса
А) Цель и задачи курса: знакомство студентов с особенностями бытия математики в контексте культуры и изменением связанных с нею философских вопросов в различные исторические эпохи. Курс призван сформировать у студентов, получающих преимущественно математическое образование, более гибкое и глубокое представление о главном предмете их занятий. Кроме того, он должен помочь учащимся развить навыки философского мышления на основе рефлексии над хорошо знакомым им из базовых курсов материалом.
Б) Место курса в профессиональной подготовке студентов: гуманитарный спецкурс по выбору, рассчитанный на студентов 1-4 курсов факультета вычислительной математики и кибернетики, на котором и читается, начиная с 1997 г. Спецкурс рассчитан на один семестр (весенний, объем – 32 лекционных часа), и направлен на формирование универсальных общекультурных компетенций учащихся.
В) Требования к уровню освоения содержания курса: знакомство с главными этапами развития европейской математики, основными вопросами философии математики и характерными подходами к их решению; знание определяющей коллизии, задающей способ вхождения математики в культурную ситуацию каждого из разбираемых в курсе периодов; умение кратко изложить основные концепции в философии математики и знание имен их авторов.
II. Содержание курса
Тема 1. Что такое философия математики?
«Философия математики» и «философия математики». Философия математики как рефлексия над математикой. Полезность и бесполезность такой рефлексии. Локальный и глобальный смысл деятельности. Первичное удивление перед математикой, осознание математики как тайны.
Основные проблемы философии математики. Философия математики в ее истории. Задача определения места математики в культуре. Хронология и основные фигуры в истории философии математики.
Классический и современный периоды в развитии философии математики, их особенности. Деление современного периода на «фундаменталистский» и «нефундаменталистский» (социокультурный) этапы (подход А.Г.Барабашева). Три философские парадигмы: онтологическая, гносеологическая и антропологическая. Специфика философско-математической рефлексии в каждой из них.
Тема 2. «Греческое чудо» и возникновение теоретической математики
Понятие «греческого чуда» (Э.Ренан). «Начала» Евклида как образец теоретической математики. Споры о появлении теоретической математики и возникновении математического доказательства.
Можно ли утверждать заимствование математики греками с востока? (аргументы «за» и «против»). Особенности египетской и шумеро-вавилонской математики. Существовало ли доказательство в до-греческой математике? (аргументы «за» и «против»).
Кто был первым греческим математиком: Фалес или Пифагор? Что мы знаем о Фалесе и его математических занятиях? Попытка реконструкции доказательств Фалеса. Первые геометрические теоремы и орнаменты. Знал ли Фалес «теорему Фалеса»? Аргументы «за» и «против» Фалеса-геометра.
Каковы причины появления доказательства? Интерналистский и экстерналистский подходы. Греческий полис: десакрализация и рационализация общественной жизни, публичность и демократические тенденции, новое отношение к слову, «агональный дух» (Ж.-П.Вернан, А.И.Зайцев).
Гипотеза А.Сабо об «элейском» происхождении доказательства и ее критика. Пример доказательства у Парменида и «апории» Зенона.
Тема 3. Пифагореизм и математика
Гипотеза появления доказательства в контексте религиозно-мистической практики. Зороастризм, орфизм и пифагореизм. Математика и мистерии.
Пифагорейское сообщество как политическое, религиозное и научно-философское объединение. Древний пифагореизм и неопифагореизм. Основные имена: Пифагор, Гиппас, Филолай, Архит, Никомах, Теон Смирнский, Ямвлих.
Происхождение слова «математика». Четыре математических дисциплины: арифметика, геометрия, музыка (гармоника) и астрономия (сферика). Содержание, характер и взаимосвязь этих дисциплин. Протоматематический характер порядка мироздания (от Гомера и Гесиода к Солону и Анаксимандру).
Положение «все есть число» и недоумения с ним связанные. Филолай о «пределе» и «беспредельном». Пифагорейская таблица противоположностей (Аристотель) и ее возможная интерпретация. Гипотеза магического отождествления. Фрагменты Гиппаса и Филолая и учение о числе как «гармонии» (с использованием интерпретаций С.Н.Трубецкого, П.А.Флоренского и А.Ф.Лосева). Онтологический, гносеологический и эстетический аспекты пифагорейского «числа». Предание о Поликлете и «золотое сечение». Анекдот о «пифагорейце» Эврите.
Введение терминов «философия» и «космос». Философия пифагорейцев по Ямвлиху. Катартический, сотериологический и мистериальный смысл пифагорейского числа. Числовой символизм пифагорейцев: от монады до декады.
Отделение теоретической и практической математики как отделение сакрального и профанного. Секуляризация математики. Математика в контексте полисной культуры. Математика и софистика. Гиппий из Элиды. Две причины появления «тенденции к антинаглядности» (А.Сабо) в античной математике.
Современное употребление слова «пифагореизм».
Тема 4. Философия математики Платона
Платон и математика. Теория анамнесиса (знания как припоминания) и задача об удвоении квадрата («Менон»).
Место математики в иерархиях бытия и познавательных способностей («Государство»). Метафора разделенного отрезка и аналогии (пропорции). Метафоры «тени», «зеркала» и «сна». Эмпирический, математический, эйдетический уровни и их соотношение. Единичность и множественность в онтологической иерархии. Срединный (промежуточный) статус математических сущностей и специфическая математическая способность – dianoia (рассудок). Dianoia и noesis (разум, умозрение). Учение Прокла о воображении (phantasia) и его связи с рассудком (dianoia) в математическом мышлении. Противоположность математического (опора на гипотезы) и философского (диалектика) методов познания.
Математика в «мифе о пещере». Зачем будущему философу изучать математику? («Подготовка глаз» и «очищение»). Противопоставление «торгашеского» и «философского» способов занятия математикой. Предание о протесте Платона против смешения геометрии и механики. Двойственность отношения Платона к математике. Исократ о занятиях математикой.
Математика и творение космоса по диалогу «Тимей». Парадигма и демиург. «Третий вид» Платона: материя или пространство? Устроение мирового тела. Число стихий и их пропорциональная связь. Платоновы тела и их соотношение со стихиями. Платоновы тела и фундаментальные треугольники. Разделение мировой души, «космический семичлен» и музыкальные интервалы. Разделение мировой души и учение о небесных телах. «Правдоподобный миф» и вопрос о статусе математических конструкций «Тимея».
Платон и пифагореизм. Споры о «неписаном учении» Платона. Математика в Ранней Академии: Спевсипп и Ксенократ. Смешение платонизма и пифагореизма. Современное значение термина «математический платонизм».
Тема 5. Философия математики Аристотеля
Вопрос о способе существования математических предметов. Критика «пифагорейского» и «платонического» ответов на этот вопрос. Различение сущности (субстанции) и свойства (атрибута). «Сказываться о подлежащем» и «находиться в подлежащем». Математические предметы – это свойства, находящиеся в подлежащем. Математический предмет и категории «количество», «качество» и «отношение». Классификация «количеств» и их характерные свойства.
Вопрос о способе рассмотрения математиком его предмета. Учение об «отвлечении» (абстракции). Построение иерархии знаний по степени абстракции. Продуктивные, практические и теоретические науки. Три теоретические науки: физика, математика и первая философия (метафизика). Иерархия математических дисциплин. Идея «общей (универсальной) математики».
Возражение против теории математических предметов как абстракций. Учение о «возможности» (потенциальном) и «действительности» (актуальном). Математический предмет как потенциально существующий в чувственно воспринимаемых вещах. Учение о «материи» и «форме». Математика изучает не материю, а формы. Аристотель между платонизмом и эмпиризмом.
Математический предмет и материя. Математический предмет и движение. «Умная материя» Аристотеля и «воображаемая материя» Прокла. Математика и бесконечность. Что такое «бесконечность»? Отличие в отношении к бесконечности чисел и величин. Бесконечность по делимости и по протяженности. Актуальная и потенциальная бесконечность. Бесконечность и объяснение движения в космосе Аристотеля. Как математик обходится только потенциальной бесконечностью?
Проблема непрерывности (континуума) и решение Аристотелем «апорий» Зенона. Непрерывность в «Началах» Евклида и «метод исчерпывания» Евдокса. «Континуалистская» математика Евклида и «атомистическая» математика Демокрита. Понятия «места» и «времени» у Аристотеля. Соотношение математики и физики в системе Аристотеля.
Логика Аристотеля. Вопрос о статусе логики как науки. Порядок «для нас» и «по природе»: становящаяся эпистема и эпистема окончательная. «Наведение» (индукция) и «выведение» (дедукция), диалектика и аналитика. «Умозаключение» (силлогизм) и «доказательство». Высказывания и их формы, истинность и ложность высказываний. Силлогизм, его фигуры и модусы. Совершенный силлогизм. Начала доказательства: «аксиомы», «определения», «гипотезы», «постулаты». Родо-видовые определения. «Древо Порфирия». Начала доказательства у Аристотеля и у Евклида: сходства и отличия. Смысл определений Евклида. Отличия «постулата» и «гипотезы» по Аристотелю. Связь различения «постулатов» и «аксиом» с различением «проблем» и «теорем». Силлогизм Аристотеля и структура евклидовой теоремы по Проклу. Как связаны логика Аристотеля и доказательства в математике? «Анализ» и «синтез» в античной математике.
Тема 6. Математика в культуре Средних веков и Возрождения
Математика в контексте христианской культуры. «Квадривиум» математических дисциплин и «семь свободных искусств» (Никомах, Боэций и далее). Математические дисциплины в системе христианского образования. Августин о «христианской науке». Математика и экзегетика Священного Писания. Примеры использования арифметических и геометрических понятий в контексте аллегорической экзегезы. Христианские авторы о ценности математических занятий (Августин, Кассиодор, Рабан Мавр). Математика и астрология.
Геометрия в культуре раннего средневековья (по работам Е.А.Зайцева). Геометрические «флорилегии»: «Начала» Евклида и тексты римских землемеров. Геометрические понятия и символика «поля» в контексте экзегетики. Образ Бога-геометра.
Изменение ситуации при переходе к высокому средневековью. Университеты. Получение греческих авторов через посредство арабов. Появление алгебры.
Математика и теология. От бесконечности Бога к бесконечности мира: Николай Кузанский и Джордано Бруно.
Встреча теоретической и практической математики: Лука Пачоли, Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер. Математика как наука о всеобщей закономерности. Магическая наука эпохи Возрождения как попытка синтеза математики, физики и теологии. Математическая магия и переосмысление механики и техники. Рождение механицизма.
Христианские корни науки Нового времени и пересмотр античного наследия. Соотношение божественного и человеческого. Первородный грех и познание-покорение природы. Кеплер и Галилей: «книга природы написана на языке математики». Союз экспериментального естествознания и математики.
Тема 7. Идея ‘Mathesis Universalis’ и математика Нового времени
Учение Декарта о методе и «универсальная математика». Декарт критикует математику греков. Споры об «универсальной математике» в XVI-XVII вв. и вопрос о статусе алгебры.
Метод Декарта, логика открытия и задача автоматизации процесса получения достоверного знания. Аналитическая vs. синтетическая геометрия.
Нативизм и математические идеи. Актуальная и потенциальная врожденность. Учение Декарта об интеллектуальной интуиции и дедукции.
Лейбниц: математика в «лучшем из возможных миров». Математика и логика. Математические истины как «истины разума». Лейбниц и идея «универсальной характеристики». Декарт и Лейбниц как представители новой философской парадигмы.
Философская подоплека возникновения математического анализа (Ньютон и Лейбниц). Математика неправильных форм и движений. Проблема обоснования анализа: «Аналист» Джорджа Беркли и споры вокруг него.
Тема 8. Философия математики Канта
Математика и постановка задачи «Критики чистого разума». Классификация суждений и статус суждений математических. Проблема априорного синтеза в математике и учение о природе пространства и времени. Трансцендентальная философия математики и отличие априорности от врожденности.
Конструктивный характер математики. Два типа конструирования: остенсивное и символическое. Противопоставление математики и философии по их методу. Шопенгауэр, опираясь на Канта, критикует Евклида.
Тема 9. Эмпиризм, априоризм и конвенционализм в XIX веке
Спор о врожденных идеях и статус идей математических. Эмпирическая традиция истолковывает математику: Дж.Локк, Т.Гоббс, Дж. Беркли, Д.Юм и Дж.Ст.Милль. Милль о математике как одной из эмпирических наук. «Ошибка» Канта и теория индуктивного происхождения из опыта понятий и положений математики. Эволюционно-биологическое истолкование априорности.
Изменение облика математики в XIX веке. Опровергают ли неевклидовы геометрии философию математики Канта? Аргументы «за» и «против». Позиции Ф.Клейна, А.Пуанкаре и др.
Фикционализм: от фиктивных понятий к фиктивным теориям. От фикционализма к конвенционализму. Минимизированный априоризм Анри Пуанкаре.
Тема 10. Парадоксы теории множеств и программы обоснования математики
Создание теории множеств: Г. Кантор как философ и математик. Теория множеств - универсальный фундамент математики. Парадоксы теории множеств: Кантора, Рассела и др.
Возникновение и развитие математической логики. Определение числа по Г. Фреге и программа логицизма. Критика психологизма. Логицизм и философия математики Лейбница. Теория типов. Попытка реализации: “Principia Mathematica” Б. Рассела и А. Уайтхеда. Аксиомы бесконечности, выбора и сводимости. Итоги: так каково же соотношение математики и логики?
Программа интуиционизма: Л.Э.Я.Брауэр и А.Гейтинг. Математика как деятельность ментального конструирования. Вторичность языка и логики по отношению к математике. Критика неограниченного применения аристотелевской логики. Отличия интуиционистской математики и логики от классической. Брауэр о связи основополагающей интуиции математики с восприятием хода времени. Интуиции числа и континуума. Брауэр и Кант. Интуиционизм и конструктивизм: сходства и различия.
Новое понимание аксиоматического метода. Программа формализма: Д.Гильберт и П.Бернайс. Отношение Гильберта к программам логицизма и интуиционизма. Конструктивные и идеальные объекты. Решение проблемы бесконечного. Формализация математических теорий и идея метаматематики. Финитная установка. Гильберт и Кант: развитие идеи символического конструирования. Гильберт против ignorabimus в науке. Теоремы К.Гёделя и реакция Гильберта.
Тема 11. Релятивизм в философии математики (От неопозитивизма к постпозитивизму)
«Поворот к языку» и концепция логического анализа Б.Рассела. Философия математики раннего Л.Витгенштейна: «Логико-философский трактат». Предложения математики как уравнения. Сходства и отличия предложений математики и логики в их отношении к логике мира.
Философия математики в логическом эмпиризме (Венский кружок) и ее связь с ранним Витгенштейном. Пересмотр кантовской классификации суждений: отождествление априорных суждений с аналитическими и особенности интерпретации последних. Различение математической и физической геометрии.
Философия математики и поздняя философия Витгенштейна. Отношение Витгенштейна к спорам в области оснований математики и парадоксам. Математика, обыденный язык и языковые игры. Доказательства и языковые правила. Проблема следования правилу. Языковая конечность и математическая бесконечность. «Инженерный» взгляд на математику. «Ранний» и «поздний» Витгенштейн: смена философской парадигмы.
Антитеза платонизма и номинализма в философии математики. «Языковые каркасы» и онтология по Р.Карнапу: попытка отделить внутренние вопросы от внешних. Абстрактные объекты без платонизма у Карнапа и отказ от них у У.В.О.Куайна и Н.Гудмена. Конструктивный номинализм. Индивиды и классы. Сбривание «бороды Платона»: существовать – значит быть значением связанной переменной. Программы обоснования математики в свете спора по проблеме универсалий. П.Бернайс о математическом платонизме.
Критика Куайном различения аналитического и синтетического в логическом эмпиризме. Стирание грани между суждениями логики и математики, с одной стороны, и фактуальными суждениями естествознания, с другой. Холистический тезис Дюгема-Куайна.
Лингвистический, исторический и социокультурный релятивизм. Прагматизм и бихевиоризм в философии математики.
|
