1.2Математические модели CAE систем
1.2.1Метод конечных элементов
Прочностные расчеты сопровождаются расчетами напряжений, при которых твердое тело с помощью булевых операций можно разбить на твердотельные конечные элементы. Если тело образуется посредством структурно-клеточного представления (СКП), элементом расчета напряжений является геометрически определяемая «клетка» этого представления.
СКП сложных объектов можно предложить в качестве геометрического инструмента подготовки данных для метода конечных элементов (МКЭ) по исследованию напряжений инженерных конструкций. Традиционные МКЭ, предполагающие строгое теоретическое обоснование, можно успешно применять лишь для ограниченного класса задач и особых условий нагрузки. Неуверенность в достоверности приближенного расчета предельных нагрузок вынуждает конструкторов усложнять конструкции, что приводит к перерасходу материалов и увеличению стоимости.
Основные принципы МКЭ были известны еще в 19-м веке, однако из-за сложности математических вычислений распространение они получили только с применением вычислительной техники.
Расчет рабочего напряжения (прочности) основан на использовании коэффициентов жесткости, устанавливающих перемещение узлов нагруженной сетки, что позволяет определять напряжение в каждом элементе.
Жесткость пластичного материала определяется следующим выражением:
F = kx, где:
k - жесткость материала (коэффициент упругости),
F - сила,
x - перемещение.
Для стержня, имеющего два свободно перемещающихся узла, жесткость определяется в векторной форме. Вектор жесткости равен матрице жесткости, умноженной на вектор узловых перемещений:
Матрица жесткости применяется в любом методе прочностного расчета, использующего конечно-элементную сетку. Для объемных деталей соотношение сил и перемещений зависит от геометрии элементов и сводится к различным алгебраическим вычислениям, оперирующим множеством матриц.
Для описания элемента вводятся понятия области конечного элемента и степени свободы каждого узла.
Размерность матрицы жесткости зависит от общего числа степеней свободы узлов сетки. Например, тонкий стержень имеет одну степень свободы в каждом из 2-х узлов, что и определяет размерность матрицы - два. Для системы из 2-х стержней размерность увеличивается до 3х3. Простая двумерная область, такая как треугольник, в каждом из трех узлов имеет две степени свободы, и матрица жесткости будет иметь размерность 6х6. Для описания сложных конструкций и условий нагрузки может потребоваться матрица жесткости огромных размеров (1000х1000 и более).
В МКЭ элемент может быть представлен в виде:
-
тонкого двумерного стержня (2 узла);
-
тонкого изгибающего бруса (2,3 узла);
-
плоского треугольника (3 узла);
-
плоского 4-х угольника (4 узла);
-
параболического 4-х угольника (4 узла и 4 характеристических точки-узла );
-
треугольного 3-х мерного сплошного линейного типа (6 узлов);
-
3-х мерного сплошного тетраэдра (4 узла);
-
четырехугольного сплошного линейного типа (8 узлов);
-
3-х мерного сплошного квадратичного типа (20 узлов);
-
треугольного кольца (3 узла);
-
4-угольного кольца (4 узла);
-
криволинейного кольца (8 узлов).
Интересны области применения элементов. Элемент типа стержень или брус применяется при расчетах плоских каркасов и ребер жесткости в листовых конструкциях.
Поверхностные элементы обеспечивают расчеты на прочность таких физических конструкций, как перекрытия, палуба судна, т.е. для конструкций, подвергающихся воздействию изгибающих нагрузок.
Криволинейные 2-х мерные элементы в 3-х мерном пространстве обеспечивают расчет емкостей высоких давлений и кузовов автомобилей.
Сложные трехмерные элементы, требующие громоздких расчетов на компьютере, точнее отражают нагрузки на конструкцию. Элементы применяются при анализе таких конструкций, как корпуса клапанов, поршни и лопатки турбин.
Объемные сплошные осесимметричные элементы образуются путем вращения определенного сечения вокруг пространственной оси и используются при анализе валов, маховиков, форсунок, корпусов насосов, рабочих колес и ремней.
Элемент твердого тела испытывает различные составляющие напряжения: растяжение и сжатие в направлении осей x, y и z, сдвига по плоскостям и т.д. Результирующее воздействие на элемент может оказаться более критичным, чем каждая из его составляющих. Внутри элемента всегда найдется точка, в которой пересекаются взаимно перпендикулярные плоскости. Плоскости, расположенные под определенными углами друг к другу, образуют максимальную нормаль напряжения. Эти плоскости называются основными плоскостями, а результирующая их напряжений - максимальным основным напряжением.
Процесс расчета на прочность по МКЭ на персональном компьютере охватывает три этапа.
-
Подготовка модели и ее предварительный анализ.
-
Построение геометрической модели конструкции. Здесь требуется ввести следующие данные:
-
геометрические параметры (тип элемента, частота сетки, область получения сетки);
-
характеристики нагрузки (величины и точки приложения и направления векторов нагрузки, давления, термические нагрузки, центробежные нагрузки, частотные силы и т.п.);
-
граничные условия (сопряженные силы трения, допустимые перемещения);
-
свойства материалов (плотность, коэффициенты трения).
-
Анализ модели. На этом этапе определяются:
-
значения перемещений узлов;
-
величины нагрузок на элемент, которые, в свою очередь, отображаются в виде: сеток, деформированных под действием нагрузок;
-
изолиний с числовыми отметками о величинах нагрузок;
-
раскрашенных зон и интенсивности их цветов в зависимости от величин приложенной нагрузки;
-
мультипликации динамического процесса изменения нагрузок и т.д.
Погрешность в результате расчета при использовании МКЭ складывается, главным образом, из погрешности дискретизации, обусловленной заменой тела, обладающего бесконечным числом степеней свободы, моделью с конечным числом степеней свободы, и погрешности округления чисел при выполнении вычислительных операций на ЭВМ.
Погрешность дискретизации зависит от ряда факторов:
-
выбора предполагаемого закона изменения перемещений или напряжений и обобщенных узловых координат;
-
точности приведения внешней нагрузки к узловым усилиям;
-
размера конечного элемента.
Ошибка округления всегда возрастает при увеличении числа конечных элементов. Это связано, прежде всего, с тем, что увеличение числа элементов приводит к резкому возрастанию числа арифметических операций. Кроме того, с уменьшением размера конечного элемента доля деформационных составляющих в значениях обобщенных перемещений уменьшается по отношению к той их части, которая связана с движением элемента как абсолютно твердого тела.
Можно показать, что использование для решения задач, описываемых уравнением 2m-го порядка, МКЭ на базе интерполирующих полиномов степени p для аппроксимации функции в области конечного элемента, приводит к относительной ошибке:
, где:
a – характерные размеры конечного элемента;
l – характерные размеры конструкции.
Таким образом, путем достаточного уменьшения размера элемента теоретически можно достичь любой требуемой точности округления.
Ошибки округления при решении системы линейных алгебраических уравнений возникают из-за усечения или округления исходных данных для матрицы и вектора , а также из-за накопления погрешностей вследствие округлений в ходе самого процесса вычислений.
При точном решении систем уравнений число операций умножения примерно n3/3, где n - число уравнений системы, и очень сложно оценить эффект влияния такого большого числа округлений.
|
