Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме "Ин
|
Скачать 392.96 Kb.
|
|
6. Шахматный конь вышел с поля а1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов. Доказательство: Шахматный конь ходит с чёрного поля на белое и наоборот. Например, чтобы попасть с чёрного поля снова на чёрное, надо сделать как минимум два хода. Так что для того, чтобы вернуться на исходное поле, надо сделать чётное число ходов. 7. Можно ли покрыть шахматную доску костяшками домино 1*2 так, чтобы свободными остались только клетки а1 и н8? Решение: Каждая костяшка домино покрывает два поля: чёрное и белое. Чёрных и белых полей поровну, так что покрывать так, чтобы остались свободными два чёрных поля, нельзя. Ответ: нельзя. 8. На доске 2008 х 2008 двое игроков по очереди красят клетки в чёрный цвет. Первый имеет право закрашивать по одной клетке, а второй - “уголок” из трёх клеток. Каждую клетку можно закрашивать один раз. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре? Решение Выигрышная стратегия для второго игрока: мысленно разбив квадрат 2008 х 2008 на квадратики 2 х 2, второй игрок, после того как первый закрасит одну клетку в одном из квадратов 2 х 2, “докрашивает” его. В силу того, что произведение 2008 х 2008 делится на 4 = 2х2, то очевидно, что тогда последний ход всегда останется за вторым игроком. Ответ: выигрывает второй игрок. 9.Продолжение предыдущей задачи. Изменится ли ответ, если первый имеет право закрашивать квадрат 2 х 2? Решение: Выигрышная стратегия: своим ходом второй игрок может создать себе в одном из углов доски место для хода. Заметим, что первый игрок закрашивает больший участок доски, чем второй. После того как будут исчерпаны ходы в остальной части доски (а это рано или поздно наступит), второй будет иметь “запасный” ход “в угол”. Ответ: не изменится, выигрывает второй игрок. 10. Пусть А – число, записанное с помощью 31998. Обозначим А1=(А) сумму цифр числа А, А2=(А1), А3=(А2). Найдите А4=(А3). Решение: Число А составлено из одних девяток, следовательно, оно делится на 9. При суммировании цифр числа это свойство сохраняется, т. е. является инвариантом преобразования (х). А = А1=(А) = 9+9+9+…+9 = 9 х 31998 = 9 х 9999 = 91000 < 101000. Число 101000 записано при помощи 1001 цифры, т.о., полученное число А1 записано с помощью менее, чем 1000 цифр. Число А2 = (А1) делится на 9, а значит, А2 = (А1) < 9*1000 = 9000 = 9*103 < 10*103 = 104, так что А2 записано не более, чем четырьмя цифрами. А3=(А2) < 9 *4 = 36 и делится на 9, т.е. А3 может принимать только значения 9, 18, 27. Во всех этих случаях (А3) = 9. Ответ: 9. МАЛАЯ ОЛИМПИАДА 1. В таблице 6 х 6 знаки “+” и “-” расставлены так, как показано на рисунке. Разрешается изменить знак на противоположный одновременно во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или вдоль прямой, параллельной какой-нибудь из диагоналей (в частности, в любой угловой клетке). Можно ли с помощью этих операций получить таблицу, не содержащую ни одного минуса?
Решение Снова заменим плюсы и минусы на +1 и –1. Инвариантом будет произведение чисел, стоящих в чёрных клетках. И раз оно равно числу –1, то нельзя получить таблицу, не содержащую ни одного минуса. Ответ: нельзя. 2.Докажите, что шахматную доску 8 х 8 нельзя замостить 15 прямоугольными фигурками 1 х 4 и одной фигурой, указанной на рисунке. (Квадраты шахматной доски и фигурки одинаковы). Доказательство Используем раскраску доски чёрными и белыми, чередующимися по цвету строками. Чёрных и белых квадратов оказывается поровну – 32. Как бы мы ни располагали данную на рисунке фигуру, она будет накрывать три квадрата одного цвета один другого. Прямоугольники 1 х 4 либо накрывают одинаковое количество чёрных и белых квадратов, либо – 4 квадрата только одного цвета. Так что всякий раз, накрывая ими из 32 – ух по два, то по четыре квадрата, никак не останется 1 или 3 свободных для указанной фигурки. ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ 1.Может ли шахматный конь пройти с поля а1 на поле н8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз? Решение Поля а1 и н8 оба чёрные, а чёрных и белых полей на шахматной доске поровну – 32. При проходе цвета полей будут чередоваться, так что закончить обход на поле того же цвета нельзя. Ответ: нельзя. 2.На доске написано число 8п. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если п =1989? Решение Вспомним доказательства признака делимости на 9 и заметим, что число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9. Какие же остатки при делении на 9 дают степени восьмёрки? Число 81 при делении на 9 даёт в остатке 8; 82 – 1; 83 – 8, 84 – 1; 85 – 8 и т. д. Степени с чётным показателем дают в остатке 1, а степени с нечётным показателем дают в остатке 8. Значит, 81989 при делении на 9 даёт в остатке 8. Вернёмся к условию задачи. Описанные в условии последовательные вычисления всё время будут давать числа, которые при делении на 9 дают в остатке 8. Так что, когда получится однозначное число, то это и будет само число 8. Ответ: 8. 3.На доске написано 8 плюсов и 13 минусов. Разрешается стирать любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется после выполнения 20 таких операций? Решение Заменяя все плюсы нулями, а минусы – единицами, заметим, что сумма двух стираемых чисел имеет тот же характер чётности, что и число, записываемое вместо них. Так как сумма всех чисел была нечётной (13), то и последнее оставшееся число будет нечётным, т. е. единицей, и, значит, на доске останется минус. 4. Дно прямоугольной коробки было вымощено прямоугольными плитками 1 х 4 и 2 х 2. Плитки высыпали из коробки, и одна плитка 2 х 2 потерялась. Её заменили на плитку 1 х 4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся. Доказательство Рассмотрим раскраску в четыре цвета, указанную на рисунке:
Тогда каждая плитка 2 х 2 содержит ровно одну клетку цвета1, а каждая плитка 1 х 4 – или ни одной или две клетки цвета 1. Следовательно, характер чётности числа плиток 2 х 2 должен совпадать с характером чётности числа клеток цвета 1. Но после замены плиток характер чётности числа плиток 2 х 2 изменится. Это и доказывает то, что замостить дно коробки не удастся. Литература 1. И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. Задачи на смекалку. 5 – 6 кл. – Г. Москва, изд. “Просвещение”, 2006 г. 2. А. Ф. Фарков. Готовимся к олимпиадам по математике. Г. Москва, изд. “Экзамен”, 2007 г. 3. В. А. Гусев, А. П. Комбаров. Математическая разминка. Г. Москва, изд. “Просвещение”. 2005 г Блок 3 (ОБОБЩАЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ ПО ТЕМЕ “ИНВАРИАНТЫ”) Повторение ранее изученного Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность) и остаток от деления, хотя встречаются и другие стандартные инварианты: перестановки; раскладки и т. п. Причем, применение четности - одна из наиболее часто встречающихся идей при решении олимпиадных задач. Сформулируем наиболее важные утверждения, на которых основано применение этой идеи: 1. четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых; 2. знак произведения нескольких (отличных от нуля) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей. Задачи для работы в классе Чётность № 1 Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 45 045? РЕШЕНИЕ: Пусть 45 045 = (х – у)*х*у. Рассмотрим случаи:
(х – у) – чётное и ху – чётное, а произведение двух чётных чисел чётно, поскольку 45 045 число нечётное, то этот вариант невозможен.
(х – у) – нечётное и ху – чётное, а произведение нечётного и чётного чисел чётно, поскольку 45 045 число нечётное, то этот вариант невозможен.
(х – у) – чётное и ху – нечётное, а произведение нечётного и чётного чисел чётно, поскольку 45 045 число нечётное, то этот вариант невозможен. ОТВЕТ: нет. № 2 В вершинах куба записаны числа 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0. За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить нули во всех вершинах? РЕШЕНИЕ. Так как сумма данных чисел: число 1 - нечетное, а при прибавлении двух одинаковых целых чисел четность суммы не меняется.
Т.о. получить все нули во всех вершинах не получится (сумма восьми нулей – число четное). ОТВЕТ: нет. № 3. Вдоль дороги растут 2002 ели. Утром на каждой из них сидело по одной вороне. В полдень каждая ворона взлетела и перелетела на дерево, растущее через одно от того, с которого она взлетела. Могло ли так получиться, чтобы на каждой ели вновь сидело по одной вороне? РЕШЕНИЕ: С чего начать? А если так: Занумеруем ели по порядку с 1 по 2002. Заметим, что вороны, сидевшие на елях с нечетными номерами, перелетают на ели с нечетными номерами. Соответственно вороны, сидевшие на елях с четными номерами, перелетят на ели с четными номерами. Рассмотрим ели с нечетными номерами: покрасим их в два цвета:Белый цвет: 1,5,9…2001. Таких елей 501. Черный цвет: 3,7,11…1999. Таких елей 500. Ели вдоль дороги: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …………………………….,2002. Заметим, что ворона с “белой” ели, перелетит на “черную”, и наоборот. Однако черных елей 500, а белых – 501. Значит, по крайней мере, на одну из белых елей не сядет ни одной вороны. ОТВЕТ: не могло. № 4. На доске написано в строку 2003 числа. Доказать, что среди них можно стереть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет четной. Верно ли это для 2002 чисел? РЕШЕНИЕ: Очевидно, надо использовать следующее утверждение: четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых. Например: 1+2+3=6 1+2+3+5=11 Для числа 2003 (нечет.) рассмотрим три случая: 1случай: среди 2003 целых чисел есть четные и нечетные. Если количество нечетных чисел нечетно, то стираем любое из них. Если количество нечетных четно, то из 2003 целых чисел есть хотя бы одно четное. Его и стираем. 2случай: пусть все 2003 числа нечетные. Стираем любое из них. 3случай: пусть 2003 числа четное. Стираем любое из них. Для числа 2002. Если они все нечетные, то после стирания одного из них сумма останется нечетной. Остальные случаи рассматривать нет смысла. Поэтому для 2002 целых числе это неверно. Ч.Т.Д. Раскраска Обычно поиск нужной раскраски нацелен на доказательство отрицательного ответа. № 5 Можно ли разрезать квадратный лист клетчатой бумаги (10х10 клеток) на четырёхклеточные фигуры вида (см. рис. 1)? |
Похожие:
 |
Отчет по работе с одаренными детьми ммсош – интернат 2012-2013 г За минувший учебный год в ммсош – интернат проделана определенная работа с одаренными детьми |
 |
Семинар ответственных по работе с одарёнными детьми Практический опыт работы проектирования системы работы с одаренными детьми отражен в единой районной программе «Одаренные дети»,... |
|
Пояснительная записка Концепция программы Принципы педагогической... Проблема раннего выявления и обучения талантливой молодежи самая важная в сфере образования |
|
Отчёт о работе с одарёнными детьми Русский язык и литература как... Классно-урочная система не в состоянии решить ее целиком. Поэтому необходимо дополнительное время. Это внеурочная деятельность: предметные... |
|
Методическая разработка на тему Реализация системно-деятельностного подхода в работе учителя-логопеда в группах предшкольной подготовки с детьми с зпр (6-7 лет) |
|
Предметная область «Обществознание» Вопросы повышенной трудности... Древнерусское государство возникло в результате внутреннего развития общества, социальных и хозяйственных сдвигов, необходимости... |
|
Методическая разработка Методическая разработка предназначена для студентов, магистрантов и аспирантов, имеющих навыки чтения научной литературы. Она поможет:... |
|
Методическая разработка внеклассного мероприятия Разработала: Касьянова... Методическая разработка внеклассного мероприятия «Всему начало слово чистое, живое» |
|
Методическая разработка по литературе по теме: «Ах, война, что ж... Советского союза в вов, ее значение и влияние на формирование национального самосознания российских граждан |
|
Методическая разработка урока истории в 11 классе по теме: «Россия многонациональная империя» Задание для учащихся, прочитайте фактический материал по истории, назовите главную мысль текста? |