Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме "Ин




Скачать 392.96 Kb.
Название Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме "Ин
страница 2/5
Дата публикации 09.06.2014
Размер 392.96 Kb.
Тип Методическая разработка
literature-edu.ru > Математика > Методическая разработка
1   2   3   4   5



Тогда четность числа арбузов в корзинах будет чередоваться, поэтому в половине корзин будет четное число арбузов, а в половине нечетное.

Так как четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых, то общее число арбузов в 8 корзинах с четным числом арбузов и в 8 корзинах с нечетным числом арбузов будет четным. По условию же всего арбузов - 55, а это нечетное число. Значит, разложить нельзя.

Ответ: нельзя.

3. Сумма 2002 натуральных чисел - число нечетное. Каким числом: четным или нечетным является произведение этих чисел?

РЕШЕНИЕ:



Так как сумма 2002 чисел - число нечетное, то число нечетных слагаемых - нечетно. Тогда среди 2002 чисел есть хотя бы одно четное число. А значит, произведение 2002 чисел будет четным числом.

Ответ: чётное число.

4. Учитель написал на листке бумаги число 10. 25 учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу - как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

РЕШЕНИЕ. От прибавления или вычитания единицы меняется характер четности числа.



Поэтому, если 25 раз (нечётное число) менять характер четности числа 10, то в результате получится нечетное число. Следовательно, число 0 получиться не может.

Ответ: не может.

5. В вершинах куба записаны числа 2, 0, 0, 3, 1, 9, 5, 7. За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить нули во всех вершинах?

РЕШЕНИЕ. Так как сумма данных чисел: число 27 - нечетное, а при прибавлении двух одинаковых целых чисел четность суммы не меняется.

Возможные варианты

Пример

Н + Н = Ч

27 + Ч = Н

Ч + Ч = Ч

27 + Ч = Н

Т.о. получить все нули во всех вершинах не получится (сумма восьми нулей – число четное).

Ответ: нельзя.

III. Для домашней работы.

  1. Квадратная доска 6x6 заполнена костяшками домино 1x2. Докажите, что можно провести вертикальный и горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино.

  2. На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вместо них написать одну цифру, отличную от двух стертых (2 вместо 0 и 1, 1 вместо 0 и 2, 0 вместо 1 и 2. Докажите, что если в результате таких операций на доске останется одна - единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором производились стирания.

  3. Числа 0, 1, 2,...,9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?

Литература

1. И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. Задачи на смекалку. 5 – 6 кл. – Г. Москва, изд. “Просвещение”, 2006 г.
2. А. Ф. Фарков. Готовимся к олимпиадам по математике. Г. Москва, изд. “Экзамен”, 2007 г.
3. В. А. Гусев, А. П. Комбаров. Математическая разминка. Г. Москва, изд. “Просвещение”. 2005 г

Блок 2

Повторение ранее изученного:

Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании.

В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность) и остаток от деления, хотя встречаются и другие стандартные инварианты: перестановки; раскладки и т. п. Причем, применение четности - одна из наиболее часто встречающихся идей при решении олимпиадных задач.

Сформулируем наиболее важные утверждения, на которых основано применение этой идеи:

  1. четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых;

  2. знак произведения нескольких (отличных от нуля) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Возможные варианты

Пример

Н + Н = Ч

3 + 5 = 8

Ч + Ч = Ч

4 + 6 = 10

Н + Ч = Н

5 + 4 = 9

Н х Н = Н

3 х 5 = 15

Ч х Ч = Ч

4 х 6 = 24

Н х Ч = Ч

5 х 4 = 20

Задачи для работы в классе

Выделение части объекта.

Основная идея такова: выделить в каждом объекте какую-то часть, в которой изменения, вызываемые разрешенными операциями, выглядят особенно просто.

1.В таблице 3*3 угловая клетка закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Доказательство. Достаточно проследить за угловыми клетками.

1) 2)

1чёрная и 3 белые 1чёрная и 3 белые

3) 4)

3 чёрные и 1 белая 3 чёрные и 1 белая

Характер чётности числа чёрных клеток среди четырёх угловых не меняется при перекрашиваниях.

Раз исходно одна клетка была чёрной, то не может оказаться так, что не будет ни одной чёрной клетки.

Ответ: невозможно.

2. В таблице 4*4 знаки “+” и “-” расставлены так, как показано на рисунке.

+

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Разрешается изменить знак на противоположный одновременно во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или вдоль прямой, параллельной какой-нибудь из диагоналей

(в частности, в любой угловой клетке). Можно ли с помощью этих операций получить таблицу, не содержащую ни одного минуса?

Решение.

Заменим плюсы и минусы числами 1 и –1. В качестве инварианта можно взять произведение чисел, находящихся в клетках, которые заштрихованы на рисунке, поскольку оно в результате разрешенной операции все время сохраняет первоначальное значение равное –1.



 

+1

- 1

 

+1

 

 

+1

+1

 

 

+1

 

+1

+1

 

Но, значит, среди заштрихованных чисел всегда будет оставаться –1, следовательно, получить таблицу, не содержащую ни одного минуса, нельзя.

Ответ: нельзя.

Перестановки

3.Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?

Решение:

Обозначим кузнечиков А, В и С.

Назовём расстановки кузнечиков АВС, САВ и ВСА (слева направо) правильными, а ВАС, АСВ и СВА – неправильными.



При любом прыжке тип расстановки меняется.

Так что, если исходная расстановка была правильная, то после 1991 прыжка расстановка будет неправильная, так как 1991 – число нечётное, и кузнечики не смогут оказаться на прежних местах.

Ответ: нет.

4.Числа 1, 2, 3,……,п расположены в некотором порядке. Разрешается менять местами любые два рядом стоящих числа. Докажите, что если проделать нечётное число таких операций, то наверняка получится отличное от первоначального расположение чисел 1, 2, 3,…,п.

Доказательство:

Пусть а1, а2, а3,……,ап – произвольная перестановка из чисел 1, 2, 3,….,п. Будем говорить, что два числа образуют в этой перестановке инверсию, если большее из этих чисел предшествует меньшему.

Число перестановок

Возможный вариант

Число инверсий

Возможный вариант

Число инверсий

Характер чётности

числа инверсий

0 - Чётное

1;2;3;4;5;6

0 инверсий

 

 

Чётное

1 - нечётное

2;1;3;4;5;6

1 инверсия

 

 

нечётное

2 - Чётное

2;1; 4;3; 5;6

2 инверсии

 

 

Чётное

3 - нечётное

2;4;1;3; 5;6

1 инверсия

2;1; 4;3; 6;5;

3 инверсии

нечётное

4

2;4;1;3; 6;5;

2 инверсии

2;1; 3; 4;6;5;

2 инверсии

Чётное

5

4; 2;1;3; 6;5

3 инверсии

1;2;3;4;6;5;

1инверсия

нечётное

6

1;2; 4;3;6;5;

2 инверсии

 

 

Чётное

7

1;2;3;4; 6;5;

1 инверсия

 

 

нечётное

8

1;2;3;4;5;6

0 инверсий

 

 

Чётное

Поменяв местами два соседних числа в перестановке, мы увеличим или уменьшим число инверсий на 1. Проделав же нечётное число таких операций, мы изменим, характер чётности числа инверсий, а значит, изменим и перестановку.

Ответ: нет.

5. В различных пунктах кольцевого автодрома в одно и то же время в одном направлении стартовали 25 автомобилей. По правилам гонки автомобили могут обгонять друг друга, но при этом запрещён двойной обгон. Автомобили финишировали одновременно в тех же пунктах, что и стартовали. Докажите, что во время гонки было чётное число обгонов.

Доказательство:

Присвоим автомобилям номера 1, 2, 3,……,24, 25 в том порядке, в каком они располагаются на старте. В центре автодрома установим световое табло, на котором после каждого обгона будем указывать номера автомобилей в том порядке, в каком они следуют. Тогда обгон, приводит к тому, что на световом табло меняются местами два соседних числа. И теперь наша задача становится похожей на предыдущую.

Запишем наши рассуждения в виде таблицы:

Число обгонов

0

1

2

3

4

5

6

Число инвариантов

0

1

2

3 или 1

4 или 0

5 или 1

6, 0 или 2

Характер чётности числа инвариантов

Чётное

нечётное

Чётное

нечётное

Чётное

нечётное

Чётное

Таким образом, если бы общее число обгонов было нечётным, то нечётным бы оказалось и общее число перестановок соседних чисел, что изменило бы порядок следования автомобилей. А раз они финишировали одновременно в тех же пунктах, что и стартовали, то во время гонки было чётное число оборотов.

Ответ: чётное число обгонов.

Раскраска

Обычно поиск нужной раскраски нацелен на доказательство отрицательного ответа.
1   2   3   4   5

Похожие:

Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Отчет по работе с одаренными детьми ммсош – интернат 2012-2013 г
За минувший учебный год в ммсош – интернат проделана определенная работа с одаренными детьми
Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Семинар ответственных по работе с одарёнными детьми
Практический опыт работы проектирования системы работы с одаренными детьми отражен в единой районной программе «Одаренные дети»,...
Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Пояснительная записка Концепция программы Принципы педагогической...
Проблема раннего выявления и обучения талантливой молодежи самая важная в сфере образования
Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Отчёт о работе с одарёнными детьми Русский язык и литература как...
Классно-урочная система не в состоянии решить ее целиком. Поэтому необходимо дополнительное время. Это внеурочная деятельность: предметные...
Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Методическая разработка на тему
Реализация системно-деятельностного подхода в работе учителя-логопеда в группах предшкольной подготовки с детьми с зпр (6-7 лет)
Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Предметная область «Обществознание» Вопросы повышенной трудности...
Древнерусское государство возникло в результате внутреннего развития общества, социальных и хозяйственных сдвигов, необходимости...
Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Методическая разработка
Методическая разработка предназначена для студентов, магистрантов и аспирантов, имеющих навыки чтения научной литературы. Она поможет:...
Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Методическая разработка внеклассного мероприятия Разработала: Касьянова...
Методическая разработка внеклассного мероприятия «Всему начало слово чистое, живое»
Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Методическая разработка по литературе по теме: «Ах, война, что ж...
Советского союза в вов, ее значение и влияние на формирование национального самосознания российских граждан
Методическая разработка занятий с одаренными детьми по теме \"Ин icon Методическая разработка урока истории в 11 классе по теме: «Россия многонациональная империя»
Задание для учащихся, прочитайте фактический материал по истории, назовите главную мысль текста?
Литература


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
literature-edu.ru
Поиск на сайте

Главная страница  Литература  Доклады  Рефераты  Курсовая работа  Лекции