В соответствии с вариантом, заданным двумя последними цифрами шифра, указанного в зачетной книжке студента, выписать из таблицы 1 и 2 условия задания и выполнить следующее:
1. Начертить схему электрической цепи, соблюдая требования ЕСКД. На схеме выбрать и указать направления токов во всех ветвях схемы, обозначить все точки цепи, различающиеся потенциалами.
2. Дл я заданной частоты (f) и амплитуды (Um) приложенного входного напряжения рассчитать мгновенные и действующие значения токов во всех ветвях, а также выходного напряжения. Начальную фазу приложенного напряжения принять равной нулю.
3. По результатам расчета п.2 построить на комплексной плоскости топографическую диаграмму цепи.
4. Определить комплексную частотную передаточную функцию цепи для указанных входного и выходного напряжений. Записать выражения для амплитудно-частотной (АЧХ) и фаза-частотной (ФЧХ) характеристик и построить их на графиках в обычном и логарифмическом масштабах.
5. Определить переходную функцию цепи, h(t), для указанных входного и выходного напряжений, выполнив расчет классическим и операторным методами.
6. Найти реакцию цепи (Uвых(t)) на воздействие (Uвх(t)) в форме прямоугольного импульса высотой U0 и длительностью Tимп. Результат представить на графике Uвх(t) и Uвых(t).
Условия к заданию
Таблица 1 - Схема электрической цепи
вариант
|
схема
|
41-45
|
Рис.2.9
|
Таблица 2 - Значения параметров цепи Так как 4 mod 5=4
№ вариа
|
L1, мГн
|
L2, мГн
|
C1, мкФ
|
C2, мкФ
|
R1, Ом
|
R2, Ом
|
R3, Ом
|
Um,
В
|
ƒ,
Гц
|
U0,
В
|
Tимп
|
4
|
4
|
6
|
6
|
1
|
10
|
100
|
8
|
27
|
500
|
30
|
2τ
|
Примечания:
Если в схеме один индуктивный или емкостной элемент, то принять L=L1,
или C=C1 соответственно.
В качестве значения τ принять:
- в случае колебательного переходного процесса – постоянную времени цепи;
- в случае апериодического процесса - максимальную из постоянных времени двух экспонент.
(Постоянные времени определяются после выполнения п.5 задания).
Решаем Задания (вариант 44) для схемы, изображенной на рисунке 2.9:
при следующих значениях параметров цепи:
R1 = 10 Ом, R2 = 100 Ом, R3 = 8 Ом, L =L1=4 мГн, C =C1= 6 мкФ,
Uвх= Um = 27 В, f = 500 Гц, U0 = 30 В, Tимп = 2τ. (L2=0 мГн, C2= 0 мкФ).
Результаты вычислений будем брать с тремя значащими цифрами.
Все вычисления производились в пакете символьного программирования Maple 13 (аналог MathCAD, Mathematica). Так как человеку свойственно ошибаться (мы не роботы), данная программа существенно исключает ошибок, облегчает и упрощает вычисления, да и мы уже не изучаем арифметику начальных классов.
3.1 Соблюдая требования ЕСКД, чертим сопротивления в виде прямоугольников размером 10х4 мм, источники э.д.с. – окружностей, диаметром 10 мм, индуктивности 3 или 4 витка радиусом от 1,5 до 4 мм, емкость – параллельные отрезки длиной 8 мм на расстоянии 1,5 мм друг от друга, все линии одинаковой толщины. В данной цепи имеется две ветви, один узел и четыре точек, отличающихся потенциалами. На рис. 2.9.1 расставлены направления и обозначены токи, а также буквами от a до d обозначены точки.
3.2 Для выполнения п.2 задания воспользуемся символическим методом анализа цепей синусоидального тока, иначе называемым методом комплексных амплитуд.
Для приложенного входного напряжения (В)
комплексная амплитуда напряжения (В):
Рассчитаем индуктивное сопротивление катушки и емкостное сопротивление конденсатора для заданной частоты:
Комплексные сопротивления элементов цепи (Ом):
I – мнимая единица.
Расчет комплексных амплитуд токов ведется аналогично расчету цепей постоянного тока по схеме Рис 2.9.2. Здесь сопротивления Z1 и Z5 соединены между собой последовательно так же, как и сопротивления Z3 и Z4, а ветки 1-5 и 3-4 соединены между собой параллельно, далее последовательно соединено сопротивление Z2.
Находим входное сопротивление всей цепи по отношению к точкам, где приложено входное напряжение (Ом):
По закону Ома находим комплексную амплитуду тока в первой ветви (в А):
Или в показательной форме:
Токи второй и третьей ветвей найдем по формуле «разброса токов» (в А):
В показательной форме:
Мгновенные значения токов (в А):
Действующие значения токов (в А)
Мгновенное значение:
Действующее значение (в В):
3.3 Для построения топографической диаграммы рассчитаем комплексные потенциалы всех точек цепи. При этом потенциал точки e примем равным нулю, иначе говоря, заземлим эту точку. Тогда
Для построения топографической и векторной диаграммы на комплексной плоскости, выбрав удобный и одинаковый масштаб, отложим в виде точек найденные комплексные значения потенциалов , …, . Затем соединим точки так, чтобы получить разности соответствующих потенциалов, или векторы, изображающие напряжения на каждом элементе цепи, а именно: a-e, a-b, b-c, c-d, d-e, причем стрелку ставим в сторону первой буквы каждой пары. Результаты
построения диаграммы – на рисунке 2.9.3.
3.4 Для определения комплексной передаточной функции цепи
необходимо выразить выходное напряжение через входное, иначе говоря, проделать практически те же действия, что и при расчете в п.3.2, но только в общем виде:
Опять используем Maple 13. Присваиваем значения данных (надеюсь, проверяющему известные подобные программы). Примечание: в этом пакете далеко не все дано в готовом виде, все формулы написаны мной лично.
Вычисления
3.5 Определение переходной функции цепи h(t).
Переходной функцией цепи называется реакция на воздействие в виде единичной ступенчатой функции. Для ее определения необходимо проанализировать переходный процесс Uвых (t) при подключении цепи к источнику постоянной э.д.с., равной 1В, при нулевых начальных условиях, рис. 2.9.7.
Классический метод.
Классический метод предполагает представление искомой величины (в данном случае выходного напряжения) в виде суммы принужденной, или установившейся, составляющей и свободной составляющей: Uвых(t) = Uпр(t) + Uсв(t).
1) Расчет принужденной составляющей.
В установившемся режиме постоянная э.д.с. может вызывать только постоянные токи в цепи. Постоянный ток через емкость протекать не будет, а индуктивность представляет собой для постоянного тока короткое замыкание. Поэтому ток третьей ветви равен нулю.
Вычисляем среде Maple (все единицы выбраны в системе отчисления SI).
Из уравнения следует, что
2) Определение общего вида свободной составляющей.
Составляем характеристическое уравнение цепи с помощью приравнивания к нулю выражения для входного сопротивления Z(p) относительно входных зажимов, имея в виду, что сопротивление индуктивного элемента равно pL, а емкостного равно 1/pC.
Корни характеристического уравнения:
Корни характеристического уравнения получились комплексно-сопряженными, что говорит о том, что переходный процесс является колебательным, и свободная составляющая имеет следующий общий вид:
Где - постоянная затухания, – угловая частота затухающих колебаний, A и B – постоянные интегрирования, которые должны быть определены из начальных условий.
Общий вид результата как суммы двух составляющих:
3) Определение начальных условий.
Для вычисления постоянных интегрирования необходимо знать начальное значение искомой величины и начальное значение ее первой производной.
Так как выходное напряжение является напряжением на емкости, то по закону коммутации оно не может измениться мгновенно. До подключения э.д.с. оно было равно нулю, следовательно, и в первый момент после подключения остается равным нулю: Uвых(0)= 0.
Также по закону коммутации не может измениться мгновенно ток, протекающий по индуктивности, который до подключения тоже был равен нулю.
Следовательно i2(0) = 0.
Если обе эти величины равны нулю, то в соответствии с законами Кирхгофа в момент t=0 оказываются равными нули и токи второй и третьей ветвей
(i1(0) = 0 и i3(0) = 0). Но ток i3 – это ток, протекающий через емкость, а он связан с напряжением соотношением: . Значит, значение первой производной выходного напряжения равно току номер 3, деленному на С:
4) Вычисляем постоянные интегрирования.
Из двух уравнений найдем А и В:
Окончательный результат:
Постоянная времени процесса
Построим график функции h: в оси обцисс четыре импеданса
Операторный метод.
Действия операторным методом при нулевых начальных условиях в значительной мере подобны действиям при анализе символическим методом цепей синусоидального тока при замене в выражениях сопротивлений комбинации «jω» на букву «p». Поэтому можем воспользоваться полученным в п.3.4 выражением для комплексной частотной характеристики, записав на месте «jω» букву «p». Таким образом, мы найдем то, что называется передаточной функцией цепи:
С помощью этой функции легко записать операторное выходное напряжение при заданном операторном входном напряжении:
В нашем случае на входе действует постоянная э.д.с., равная 1В. Ее операторным изображением является 1/p. Значит, операторным изображением переходной функции h(t) будет
Остается найти оригинал по формуле:
Так как при t=0 h=0, общее решение берем в виде
Построим график функции h: в оси обцисс четыре импеданса
График переходной функции приведен на рисунке
3.6 При выполнении последнего пункта задания следует иметь в виду, что зная переходную функцию цепи h(t), нетрудно записать выражение для реакции на любое заданное воздействие с помощью интеграла Дюамеля:
Результатом применения интеграла Дюамеля к воздействию в форме прямоугольного импульса длительностью Tимп и высотой U0 , будет:
Конкретно при заданных U0 = 30В, и определенной в п.3.5 переходной функции графики входного и выходного напряжений приведены на рисунке. Стрелками указаны график до и после .
Литература
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1984-2006.
2. Бессонов Л.А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники - М.: Высшая школа, 2000.
3. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей, - М. Энергоатомиздат, 1989.
|
