Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Компьютерные Технологии»

Рис. 2 Примеры символьных вычислений





Рассмотрим на примерах ряд операторов палитры "Символьные вычисления" (рис. 1):

• simplify – упростить выражение, например



• expand - разложить по степеням какой-либо переменной, раскрыть выражение, например

(2х² +5) (х + 1)(х³ - 6) expand,х →2х⁶ - 7х³ + 2х⁵ - 12х² + 5x⁴ - 30х- 30

• factor - разложить выражение на множители (операция, обратная expand), например

2x⁶-7x³+2x⁵+5x⁴-30x-30 factor,x →(2x²+5)(x+1)(x³-6)

• coeffs – нахождение полиномиальных коэффициентов. Эта операция аналогична команде expand с той лишь разницей, что она возвращает коэффициенты результирующего полинома в виде вектора.

• 
  substitute – замена переменной в выражении (подстановка).
  
• 
  series – разложить функцию в ряд Тейлора по указанной переменной, например
  

y(x):=e^x

y(x) series,x,4 →1+x+

В данном примере второй параметр, равный 4, определяет количество членов ряда, оставляемых при разложении.

• parfrac – разложить выражение на простые дроби, например



• solve – решить уравнение или неравенство относительно указанной переменной. Пусть, например, необходимо решить уравнение 2x² + x -10 = 0. Для этого в MathCAD введем следующую формулу:




Однако многие уравнения подчас не имеют аналитического решения. В таких случаях приходится применять численные методы. В MathCAD для приближенного отыскания корня функции F(x) используется встроенная функция root(F(x), x), перед вызовом которой необходимо задать начальное приближение. На рис. 3 приведен пример нахождения корня функции F(x)= -64 + 25x -8x² + 2x³. В нем сначала определяется функция F(x), затем задается начальное приближение x =1 и находится корень x1.





Рис. 3 Приближенное нахождение корня функции
Интегральные преобразования

MathCAD предоставляет пользователю возможность выполнять следующие виды инте-гральных преобразований:

• 
  fourier и invfourier – прямое и обратное преобразования Фурье;
  
• 
  laplace и invlaplace – прямое и обратное преобразования Лапласа;
  
• 
  ztrans и invztrans – прямое и обратное преобразования Z-преобразования. Например, преобразование Лапласа:
  

Символьные преобразования над матрицами

В палитре "Символьные вычисления" имеются следующие кнопки для выполнения символьных преобразований над матрицами:

– получение транспонированной матрицы;

– получение обратной матрицы;

– вычисление определителя квадратной матрицы.

Задания для самостоятельной работы

В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом три задания.

1. 
   Найти предел, производную, интеграл или сумму ряда, используя операции символьных вычислений MathCAD.
   
2. 
   Решить аналитически (при помощи символьной функции solve) уравнение в MathCAD. Построить график заданной функции. Для одного из найденных корней повторить процедуру, но уже численным способом (посредством функции root), выбрав в качестве начального приближения любую точку в окрестности этого корня.
   
3. 
   Для функции f (t) найти ее изображение, используя прямое преобразование Лапласа, а для функции F(s) найти ее оригинал при помощи обратного преобразования Лапласа.
   

Таблица 1

№ варианта	Задание 1	Задание 2	Задание 3
1			f(t)=sin(2t)cos t
2		x3+x2-x-1=0
3		cos x–ln x–0.125=0
4		x4-x3-5x2+2=0
5
6		-3x5+x4-2x2+x+1=0
7
8		x4-2x3+3x2-x+1=0
9
10		2x3+5x2-0.5x+15=0
11		sin x-ln x-0.5=0	f(t)=sin t∙sh t
12
13
14		=0

Лабораторная работа №2

«Численное решение дифференциальных уравнений и их систем в MathCAD»

Цель работы

1. 
   Научиться решать в MathCAD дифференциальные уравнения численным способом.
   
2. 
   Ознакомиться со способом численного решения систем дифференциальных уравнений в Math-
   CAD.
   

Задание

1. 
   Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.
   
2. 
   Решить в MathCAD дифференциальное уравнение и систему дифференциальных уравнений в соответствии с вариантом задания (табл. 2).
   

Методические указания

Численное решение дифференциального уравнения n-го порядка

a_ny⁽ⁿ⁾+a_n-1y^(n-1)+…+a₁y′+a₀y=f(x)

с начальными условиями

,

…

,

y(x₀) = y₀

на отрезке в MathCAD может быть найдено при помощи функции odesolve (x, x_K, steps). Здесь

x - переменная дифференцирования;

x_K - правая граница отрезка, на котором ищется решение;

steps -необязательный параметр, определяющий число шагов разбиения интервала [x₀, x_K] для нахождения ре­шения дифференциального уравнения.

Ввод дифференциального уравнения и начальных условий производится в блоке, начинающемся с директивы given ("дано").

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y ′′ + 2y ′ + 3 y = sinx с начальными условиями y ′(0) = 1 и y(0) = 0 на отрезке .

Решение данного уравнения проиллюстрировано на рис. 4.



Рис. 4 Пример решения дифференциального уравнения
Замечания к решению дифференциального уравнения (рис. 4).

1. 
   Ввод знака равенства в дифференциальном уравнении и в начальных условиях производится при помощи кнопкипалитры "Сравнения и отношения".
   
2. 
   Знак производной ("штрих") вводится кнопкой клавиатуры. При этом, если необходимо ввести четвертую производную, то необходимо ввести четыре "штриха", пятую – пять "штрихов" и т.д.
   

Численное решение системы из n дифференциальных уравнений первого порядка



с начальными условиями



на отрезкев MathCAD может быть найдено при помощи функции rkfixed (y, x₀, x_K, n, F), которая возвращает полученную методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом таблицу решения системы. При этом начальные условия необходимо задать в виде вектора y, а правые части системы уравнений – в виде вектора F; n – число точек разбиения заданного интервала [x₀,x_K].

Например, пусть дана система дифференциальных уравнений



с начальными условиями



а параметр µ = -0,1. Требуется найти решение данной системы дифференциальных уравнений на интер­вале



Рис. 5 Решение системы дифференциальных уравнений
Решение данной задачи в MathCAD представлено на рис. 5.

Приближенное решение системы, получаемое данным методом, представляется табличной функцией, заданной в 100 точках (n = 0, 1, …, 99). При этом первый столбец матрицы решения Y соответствует x, второй – переменной y₀, а третий – y₁ (рис. 5).

Кроме функций решения дифференциальных уравнений odesolve и rkfixed, в MathCAD существует и ряд других, например, rkadapt и bulstoer.
Задания для самостоятельной работы

В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом два задания.

1. Найти численное решение дифференциального уравнения в MathCAD на интервале . Построить график решения.

2. Численно решить систему дифференциальных уравнений в MathCAD на интервале . Построить графики решения.

Таблица 2

№ варианта	Задание 1	Задание 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

Лабораторная работа №3 «Обработка данных в MathCAD»
Цель работы.

1. Изучить способы проведения интерполяции табличных данных в MathCAD.

2. Ознакомиться с функциями построения уравнений регрессии в MathCAD.
Задание.

1 Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.

2 Выполнить интерполяцию табличных данных и получить модель заданного вида с помощью регрессионного анализа в соответствии с вариантом задания (табл. 3).
Методические указания

Интерполяция

При проведении анализа различных физических явлений, технологических процессов результаты эксперимента обычно представляются в виде табличной зависимости функции y(x):



При этом число заданных точек этой зависимости ограничено.

Поэтому неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функции в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией или интерполяцией исходной зависимости, т.е. ее подменой какой-либо достаточно простой функцией [2]. В MathCAD имеются встроенные функции, обеспечивающие кусочно-линейную и сплайновую интерполяцию исходной табличной зависимости.

При кусочно-линейной интерполяции соседние узловые точки соединяются отрезками прямых, и дополнительные точки определяются по уравнениям этих прямых. Для проведения такого вида интерполяции используется функция linterp(VX, VY, x),

где VX и VY – векторы, задающие узловые точки исходной табличной зависимости,

x – аргумент результирующей интерполяционной функции.

Например, на рис. 6 исходная табличная зависимость y(x) задается векторами VX и VY (по 5 точек). Затем определяется, так называемая, интерполяционная функция f_i(x), которая позволяет для любого значения аргумента x определить искомую величину функции y. График этой функции представлен на рис. 6 (пунктир) вместе с узловыми точками (крестики). Из рис. 6 видно, что в узловых точках VX_i значения функции f_i(x) совпадают с табличными VY.



Рис. 6 Проведение кусочно-линейной интерполяции в MathCAD

Как видно из рис. 6, результаты кусочно-линейной интерполяции при достаточно малом числе узловых точек получаются довольно грубыми. Поэтому в целях повышения точности целесообразнее использовать сплайновую интерполяцию, при которой исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были их первые и вторые производные.

Для выполнения сплайновой интерполяции в MathCAD имеются четыре встроенные функции. Три из них обеспечивают получение вектора вторых производных сплайн-функций при различных способах сплайновой интерполяции:

• 
  cspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;
  
• 
  pspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;
  
• 
  lspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой.
  

Четвертая функция interp (VS, VX, VY, x) определяет для найденного ранее вектора вторых производных VS и заданной при помощи векторов VX и VY исходной табличной зависимости y(x) интерполяционную сплайновую функцию.

Таким образом, сплайновая интерполяция в MathCAD производится в два этапа. На первом этапе определяется вектор вторых производных VS при помощи одной из трех функций (cspline, pspline или lspline), а на втором – определяется интерполяционная зависимость посредством функции interp. Пример дан на рис. 7.


Рис. 7 Проведение сплайновой интерполяции в MathCAD
Как видно из сравнения графиков, представленных на рис. 6 и 7, сплайновая интерполяция дает более гладкий и точный график интерполяционной функции.

Регрессионный анализ

Широко распространенной задачей обработки данных является представление результатов эксперимента некоторой функцией y(x). Задача регрессионного анализа заключается в получении параметров этой функции, описывающей (аппроксимирующей) экспериментальные данные, заданные векторами VX и VY, с наименьшей среднеквадратической погрешностью (метод наименьших квадратов).

Довольно часто используется линейная регрессия, при которой аппроксимирующая функция y(x) имеет вид y(x)= a+bx , для определения коэффициентов которой в MathCAD служат следующие встроенные функции:

• 
  intercept(VX, VY) – возвращает значение параметра a (величины отрезка, отсекаемого линией регрессии на оси OY);
  
• 
  slope (VX, VY) – возвращает значение параметра b (тангенса угла наклона линии регрессии).
  

Пример дан на рис. 8.


Рис. 8 Линейная регрессия
В приведенном примере (рис. 8) рассчитан коэффициент корреляции (связи) двух множеств VX и VY с помощью функции corr. Чем ближе этот коэффициент к единице по модулю, тем точнее исходные табличные данные, определенные векторами VX и VY, описываются линейной зависимостью y(x)= a+bx.

Проведение полиномиальной регрессии, т.е. аппроксимации табличной зависимости полиномом n-й степени, выполняется посредством встроенной функции regress(VX, VY, n). Данная функция возвращает вектор, назовем его k, элементы которого, начиная с четвертого, представляют собой коэффициенты аппроксимирующего полинома P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_n-1x^n-1+a_nxⁿ т.е.



Пример выполнения полиномиальной регрессии представлен на рис. 9.


Рис. 9 Полиномиальная регрессия
Замечание. Для нахождения корней полинома произвольной степени в MathCAD используется функция polyroots.

Кроме того, в MathCAD имеется ряд других функций для проведения регрессионного анализа [2], например, linfit, loess, genfit.

Задания для самостоятельной работы

В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом два задания (табл. 3).

1. 
   Выполнить в MathCAD заданного вида интерполяцию табличных данных y= f (x). Построить графики.
   
2. 
   Аппроксимировать таблично заданную зависимость y= f (x) указанной функцией с помощью регрессионного анализа. Построить графики.
   

Таблица 3

№ варианта	Исходные данные y=f(x)	Задание 1 (вид интерполяции)	Задание 2 (регрессионный анализ)
1	x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9] y=[12.5 10 13.6 17.4 21.5 20.5 29.3 27.6 31.2]	Кусочно-линейная	Модель – полином 4-й степени
2	x=[5 10 15 20 25 30 35 40] y=[99.1 50.6 23.5 20.1 45.7 51.1 76 110.1]	Сплайновая	Линейная модель
3	x=[0.5 0.7 1 1.1 1.5 1.8 1.9 2.2 2.3] y=[14.5 10.1 9.6 5.5 3.6 0.5 -0.3 -7.6 -8]	Кусочно-линейная	Модель – полином 3-й степени
4	x=[0 3 4 5 7 8 11 14 17] y=[-3 0 2 10 9 14 21 25 31]	Сплайновая	Модель – полином 2-й степени
5	x=[-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4] y=[12 23 33 41 47 56 59]	Кусочно-линейная	Модель – полином 4-й степени
6	x=[3.7 5.1 6 7.2 8 8.3 8.9 9.4 9.6] y=[14 16 12 12 10.3 9 7 8.9 5 1]	Сплайновая	Линейная модель
7	x=[1.3 1.5 2 3.4 6.1 7 9.3 10.2 11] y=[120 115 100 99 81 72 64 55 48]	Кусочно-линейная	Модель – полином 3-й степени
8	x=[100 111 120 124 128 131 156 163 170] y=[315 299 250 266  270 111 91 100 78]	Сплайновая	Модель – полином 2-й степени
9	x=[0.5 0.7 1 1.1 1.5 1.8 1.9 2.2 2.3] y=[14.5 10.1 9.6 5.5 3.6 0.5 -0.3 -7.6 -8]	Кусочно-линейная	Модель – полином 4-й степени
10	x=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50] y=[99.1 50.6 23.5 20.1 45.7 51.1 76 110.1 156.1 176.2]	Сплайновая	Линейная модель
11	x=[0 3 4 5 7 8 11 14 17] y=[-3 0 2 10 9 14 21 25 31]	Кусочно-линейная	Модель – полином 3-й степени
12	x=[1 2 3 4 5 6 7 8] y=[12.5 10 13.6 17.4 21.5 20.5 29.3 27.6]	Сплайновая	Модель – полином 2-й степени
13	x=[2 4 6 8 10 12 14] y=[1 1.5 1.2 3 4.1 7.2 5.5 3.4]	Кусочно-линейная	Модель – полином 4-й степени
14	x=[0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8] y=[1 0.5 0.3 -0.2 0.1 0.6 0.3 -0.2 0]	Сплайновая	Линейная модель

Список литературы

1. 
   Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. – М.: Нолидж, 2001. – 1296 c.
   
2. 
   Дьяконов В.П. MathCAD 2000: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 501 с.
   
3. 
   Дьяконов В.П. Справочник MathCAD PLUS 6.0. – М.: СК Пресс, 1997.
   
4. 
   MathCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. – М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1996.
   
5. 
   www.mathsoft.com – официальный сайт фирмы MathSoft Inc. – разработчика MathCAD.
   
6. 
   www.exponenta.ru – русскоязычный сайт, посвященный системам автоматизированных расчетов.
   
7. 
   Система MathCAD в инженерной практике: Лаб. работы / Сост.: А.Ю. Сенкевич, А.А. Чуриков: – Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. – 28 с.