|
Скачать 4.54 Mb.
|
|
А: В «момент» и в «точке» перехода значений физических величин (ФВ) от множества их значений, выраженных в действительных числах R, корректно определяемых в уравнениях, во множество их значений, выраженных в комплексных числах С, и обратно – возникает изменение физической топологии пространства и времени существования физического тела с появлением или устранением дополнительных измерений ФВ и переходом (возвратом) его энергии и импульса в новые (прежние) измерения. То есть, таким образом, если ранее внимание было обращено на тот факт, что при изменении физической топологии в области столкновения, перехода, скачка количества измерений пространства существования физического тела (и его энергии) возникает волновое движение – круговое, поверхностное, поперечное, – описываемое в элементарном виде формулой Эйлера, то теперь при переходе в процессе изменения переменной (переменных) в математической формуле от «мнимых» значений к действительным и обратно ожидается, что топология пространства существования объекта изменяется. При этом изменяются: 1) формы объекта, 2) формы его существования, 3) импульно-энергетические характеристики, 4) методы его математического описания. Пример 8. Пусть прямолинейное механическое движение тела m описывается формулой для его координаты: . Тело движется из «точки» x ~ – ∞, испытывая колебания вдоль оси Х. До момента времени t = 1/ω значение х было действительным, после этого момента оно стало комплексным. В математике – только скачок значений х от множества R к множеству С. В физике при корректно поставленной задаче в момент t = 1/ω должно происходить изменение физической топологии и, как следствие, появление волнового движения – в данном случае перпендикулярно оси Х. Согласно положению А, амплитуда и частота качественно нового вида движения определяются подкоренными величинами (при их произвольном виде). Поскольку этот момент рассмотрения физического процесса изменения пространства существования объекта, движущегося в реальных условиях, важен для приложений, приведем иллюстрацию – рис. П1. Пусть теперь физическое тело массы m движется по оси х из «точки» – ∞ в «точку» + ∞ по закону . В «точках» происходит бифуркация, и материя объекта превращается: 1) в вещество; 2) в излучение. Движение вещества в этой простой модели прекращается после t = t2 (вещества нет), а движение волновой формы материи возникает. Некоторая часть энергии-импульса от вещества передается полю, другая часть переходит в энергию-импульс деформации реальной области бифуркации, а не «точки», и ее нагрев. В этом случае область бифуркации Ω можно рассматривать как некий трансформатор энергии-импульса тела m в энергию-импульс поля ω с потерями в области Ω.
Примечательно, что подобные явления происходят в обычных электроприборах свечения и трансформаторе, изобретенных российскими физиками-электротехниками П. Н. Яблочковым и И. Ф. Усагиным, соответственно. Если существует переход энергии из одного вида в другой вид в области изменения физической топологии, а он, как мы видели, существует, то интерес вызывает, как работают и работают ли при этом законы сохранения физики. Если они работают, то как конкретно и по каким правилам меняется, например, собственная частота, свойственная, согласно волновой механике, всем тела, в том числе макроскопическим. И как частоты новой фазы существования физического тела – испускаемой энергии-импульса – зависят от де-бройлевских частот, которыми тело обладало до перехода. А как мы увидим в следующем разделе, все макротела являются и генераторами своих собственных волн, и поглощают их, и являются своеобразными хранилищами других волн – как естественные резонаторы. Пока же, в целях подготовки и облегчения восприятия рассмотрим иллюстрации к двум видам движения и перехода.
II. Физическая картина бытия
Из этого наблюдения мы видим, что субъект отделен и отделяет себя от остального мира. Значит, он уже с пеленок вживается в осознание множественного начала бытия, своей отделимости от Иного. В этом – первое проявление в сознании субъекта дробности, фрактальности пространства его существования. Одновременно с данным проявлением фундаментального свойства окружающего мира начинается процесс его освоения сообразно заложенной программе определения вкуса и запаха поедаемого. Следовательно, эффективно работают и эти не менее важные органы чувств. Спросим себя: а что было бы, если бы мир не был множественным и фрактальным? Если бы мир был только един, то есть был бы монолитом, то ничего бы не было. Не было бы отделимости его составляющих друг от друга, не было бы самих составляющих, не было бы движения. Какое, например, может быть движение вашей ложки в монолитной глыбе гранита? Отсюда выводы: 1) мир множествен и фрактален; 2) мир предстает в единстве субъекта и всего им поедаемого, поглощаемого – в том числе у прозревшего котенка поглощаемого электромагнитного излучения. Теперь, когда человек протер глаза, он начинает замечать вокруг себя какие-то странные явления, объекты, поступки других представителей жизни. Как статуя Э.Кондильяка. И начинается процесс переваривания и утрамбовки в его самом важном месте, а им является голова (ею он ест), – упаковки и изъятия этой vetus furiis информации. И он видит радугу. Различает семь ее цветов на фоне иного (черного, или свинцового неба). Затем наш герой задает себе вопрос: если радуга и всё вокруг нее предстают передо мной в восьмицветном лике, то какие градации у других органов чувств? И тут же статуя начинает вспоминать свои ощущения. Соленое, кислое, горькое, сладкое… А есть ли вариации вкусовых ощущений? Конечно есть! Затем каменное изваяние перебирает тепловые ощущения: обжигающее, горячее, теплое, холодное, ледяное, стужа, лютый мороз… Плюс отключение сознания (разрушение камня – материала статуи) при зашкаливании температур. А запахи как? Нюхаем всё, что попадется, и отмечаем. Восьмерку запахов точно наберем, включая запах воздуха с озоном! И так далее, вплоть до размеров всех микроскопических, макроскопических, космических и мегател. Не важно, что в метрике степеней от их размеров, – ведь частота колебаний тоже записывается с легкой руки Л.Эйлера как степень: . Итак, мы выявили некую избранность восьмеричного способа восприятия субъектом свойств и качеств окружающего мира. Далее. Как показано выше (стр. 18), «наше» макроскопическое пространство, которое нам более всего по нраву, обладает неслыханными и невиданными свойствами, незаметными для сочинителей теории так называемых множеств. Пространство не коммутативно (не перестановочно – 5 кл. СШ) и не ассоциативно (не сочетательно – 5 кл. СШ) в отношении поворотов в нем физических тел на углы (и, следовательно, на меньшие и большие углы). А это означает, например, что элементарные частицы, имеющие собственный момент вращения в долях постоянной Планка (такие как фермионы, а это в том числе электроны и протоны), нельзя собрать в одну и ту же кучу разными способами. Каждый раз, меняя порядок втаскивания тех или иных частиц в их аквариум, мы получаем разные кучи. Образно говоря, одна куча начинает мяукать, другая кашляет, а в третий раз сборище начинает источать запахи. И так далее. А ведь электроны, казалось бы, были одни и те же. То есть свойства конгломерата из частиц зависят от их выбора, от пути и способа доставки при компоновке «множества». Однако в математических теориях множеств это не учитывается, а все они строятся по аналогии со стандартной моделью арифметики, которую предложил Дж.Пеано еще полтора века назад. В этой арифметике все операции коммутативны и ассоциативны. Как для кучек карандашей на столе или яблок в портфеле толстой соседки по парте.
С другой стороны, физик Дж.-У. Гиббс ввел в математику векторное исчисление. Векторы, конечно, это не вращения тел, показанные на стр. 18, но их свойства по векторному ум-
ножению векторов – не коммутативны. Это уже ближе к природе! Проведя несложный опыт с поворотами в пространстве, которые представляем как умножение начального состояния на углы в произвольном направлении и в произвольном порядке, мы открываем, что пространство некоммутативно и неассоциативно. Это значит, что для описания движения в нем нужна алгебра с такими же свойствами по умножению, а не только и не столько алгебра векторов (и неизбежное матричное исчисление для преобразования векторов 18). Ищем алгебру и находим – это алгебра октав. Она некоммутативна и слабо неассоциативна по умножению. Слабо неассоциативна – это означает, что два числа из этой алгебры имеют свойства по тернарному умножению: (uv)v = u(vv), u(uv) = (uu)v. То есть скобки мы переставляем, а результат умножения не меняется. Такое свойство называется альтернативностью. Алгебра октав восьмимерная, имеет единицу и обратный элемент, то есть имеет деление: vv–1 = 1, v–1 = . Кроме того, она нормирована, то есть в ней можно ввести расстояние (между 8-мерными числами). И еще один плюс: чисто векторные кватернионы этой алгебры напоминают по свойствам умножения так понравившиеся физикам вектора. А таких кватернионов два в алгебре октав, поэтому алгебраисты говорят, что эта алгебра бинарнолиева (хотя они, судя по таблице умножения, перевернутые кватернионы). Что это значит? Во-первых, смысл приставки «би» состоит в том, что операция умножения выполняется над двумя числами (а не над тремя и более). Во-вторых, в алгебре октав – два кватерниона, содержащих следы лиевой структуры. Она определяется просто, введением аксиом умножения для сложных чисел: 1) [xy] = –[yx] (не-, антикоммутативность), откуда [xx] = 0; 2) [x[yz]] + [y[zx]] + [x[xy]] = 0. Для чисто векторных кватернионов можно положить, что все реальные числа – пустота (нули). Если алгебра только с некоммутативным умножением, то она называется неабелевой группой, а алгебра с неассоциативным умножением – квазигруппа. Следующая алгебра – алгебра двойной октавы, или двойной радуги, биоктетная алгебра. В ней от приятных свойств октетной алгебры остается только единица. Такая алгебра называется моноидом. «Настоящая» неассоциативная по умножению алгебра сложнее: в ней (uv)v ≠ u(vv), u(uv) ≠ (uu)v и вообще (uv)w ≠ u(vw). Если перемножаются не три числа, а более, то понятие неассоциативности для соответствующих алгебр заменяется на понятие обобщенной неассоциативности. В этом случае количество исходов умножения чисел оценивается следующим образом. Если в тернарном умножении – два возможных исхода в зависимости от расстановки скобок (в физике – в зависимости от порядка движения), то для n чисел для определения количества возможных исходов N нужно учесть, что скобок требуется 2(n – 2), а мест для их попарного размещения всего n + 1. Тогда N ~ , где – число сочетаний из q элементов по p элементам. Число N быстро растет с ростом количества сомножителей, а если еще учесть, что сомножители могут меняться местами вполне независимо от расстановки скобок, то есть переставляться, то уточненное количество исходов умножения n чисел будет уже ~ , где n! – число перестановок n чисел: n! = 1∙2∙3∙4∙5…n. Таким образом, «мощность» Ξ множества исходов перемножения чисел в обобщенно неассоциативной алгебре (при n → ∞) не то, чтобы больше мощности счетного множества всех натуральных чисел или мощности множества континуум (всех точек на оси координат), «вычисленных» по числу всех сочетаний ассоциативной и коммутативной компоновки множества из его элементов (сравните с основной теоремой арифметики Пеано, пригодной для перемножения длины на ширину и высоту вне зависимости от порядка сомножителей), а «кардинал» Ξ = lim > … проканторовских теорий множеств. Другая оценка количества результатов всех возможных перемножений, всех n-арок, начинается с очевидных случаев и условий: n0 = 1, n1 = 2, n k = n –k. Для нечетных n > 2 имеем: . Для четных n 2 имеем: . С учетом некоммутативности получаем: Ξ = . Если С1 = “2n”, то Ξ > “N!” = > С1, где “N!” – мощность некоммутативного континуума 19. Выводы: 1) мир физических движений неизмеримо богаче и разнообразней любой математической абстракции; 2) физика, опирающаяся на формализм ассоциативного тензорного исчисления, не улавливает и толику событий окружающей природы; 3) физические теории, построенные на базе ассоциативных функций, не способны объяснить тонкие, мельчайшие, микроскопические, да и макроскопические, космические и вселенские свойства окружающего мира; 4) поэтому в основу физической теории необходимо положить, как способ краткого описания явлений природы, математический аппарат, содержащий некоммутативные и неассоциативные операции. Так как обобщенно неассоциативные алгебры пока еще сложны для восприятия проснувшегося субъекта познания, ему предлагается использовать алгебру октав. Тем более что есть простая возможность от системы семи крутящихся монстров {i, j, k, E, I, J, K} с одной ангельской единицей е перейти к системе обычных чисел, с помощью которых распределяются яблоки в парте и карандаши на парте. При этом, создавая теорию на основе адекватного математического аппарата, необходимо учитывать весь негативный и позитивный опыт усилий физиков прежних лет. Еще раз о природе ощущений. Философская, а затем и чисто математическая абстракция, – устремление какого-либо свойства, качества, величины к бесконечно недостижимому пределу. В математическом анализе записывается это верование с помощью символов так: Рассмотрим сравнение яблок вглубь. Если брать доли яблока (яблочную массу), то дойдем до нескольких молекул, в совокупности дающих вкус, запах, ощущение влажности. Сама по себе ни молекула, ни совокупность их запахом и вкусом не обладают. Субъект органами чувств воспринимает их химическое воздействие, сигналы идут в мозг, где идентифицируются и вследствие этого меняется состояние того участка мозга, который «курирует» данную форму взаимодействия с окружающей средой. Точно так же с принятием оптического излучения. В клетках сетчатки глаза после попадания излучения, интенсивность которого превышает порог срабатывания, в зависимости от частоты попадающего на них света возникают определенные фотохимические реакции, вырабатывается череда электрических импульсов, которые устремляются в кору головного мозга. В зрительной коре идет процесс идентификации сигналов, возникают возбужденные скопления нейронов и появляются образы, им соответствующие, которые далее обрабатываются по вложенной программе. Но глаз не видит того множества световых импульсов, которые через хрусталик попадают в него. Он выполняет функции преломления, определенных фотохимических реакций, выработки электрических импульсов и направления их по зрительным нервам. Возможна конструктивная альтернатива: зрительные нервы являются волноводами. А радуга? Разделения по цветности нет в начальном потоке фотонов. Ощущения цветности появляются внутри индивида в результате различных биохимических реакций принимающей биологической структуры. Дифференциация по частоте сигнала осуществляется на базе взаимодействия импульсов, приходящих по зрительным нервам, с полусвободными электронами больших органических молекул. Но существенно то, что живая ткань, обладая восьмеричной градацией реакции на электромагнитное излучение, оптимальным образом соответствует структуре явлений окружающей природы. Это главное. Итак, мы яблоко дробить можем только до определенного, ощущаемого предела. Далее качество измельчаемого материала меняется. Далее дробить вещество нужно уже не зубами, а более хитрым образом. Имеется определенный процесс разложения материала на составляющие – есть определенный предел его осуществления. Если в математике вводится понятие непрерывной величины, то в физике нет места сакральной формуле . Вместо ее написания и пристального изучения знаков, в нее входящих, нужно менять способы и методы исследования объекта. С другой стороны, если появляется особенность (то есть расходимость величины, выраженной количественно, то есть величина становится в голове у теоретика бесконечной), нужно менять физическую картину явления и переходить на качественно новые пути исследований, – это как указатель к смене парадигм. Выше на примере излучения Черенкова – Вавилова было замечено, что в области попадания электронов в новую среду с другим коэффициентом преломления возникает процесс преобразования его энергии, в том числе ее диссипация (в том числе затраты на нагрев новой среды). В математике вводится понятие области бифуркации, а в физике явление рассматривается шире и вводится понятие не области би-, а мультифуркации. То есть процесс после попадания физического тела в эту область не раздваивается, а распадается на множество ветвей развития. И, кроме того, процесс связан с глубокими изменениями в структуре меняющегося объекта. В этой области процессы протекают другие, нежели движение электрона по инерции в менее плотной среде и движение электрона и возникающего излучения в более плотной среде. Это переходная область, и для описания соответствующих процессов в ней нужны новые методы. Рассмотрим еще один пример. Возьмем в среднем покоящийся атом с электронной оболочкой. Когда на него падает фотон, происходит поглощение γ-кванта. В результате некий электрон из свиты ядра атома меняет свою орбиту (меняет свое состояние). В квантовой механике вместо орбиты электрона (или орбит всех электронов оболочки) вводится понятие электронного облака вокруг ядра атома, так как всё размазано. Выше уже было сказано о физической сущности соотношений неопределенностей Гейзенберга (СНГ). Оно хорошо и служит благой цели, когда надо оценить порядок (изменения) какой-либо величины, когда есть намеки, что ее напарница в СНГ имеет такое-то конкретное значение. Но в силу вторичности СНГ и первичности (космического) фонового излучения величины в СНГ должны иметь не статический характер, а динамический. Говоря проще, они меняются от места и времени, в каких оказывается объект рассмотрения: ΔΘΔθ ~ h → ΔΘ(x, y, z, t)Δθ(x, y, z, t) ~ h. Например, для фотона СНГ вообще бессмысленно. Второклассник догадывается, почему. Так вот, несложные оценки показывают, что атом «освобождается» от упавшего на него фотона не сразу, а через некоторое время, после того как придет в себя после удара. Это время соответствует обратной частоте пойманного γ-кванта. За это время, если γ-квант является рядовым членом реликтового излучения РИ температуры ТГамов ~ 2.7 K, электрон водородоподобного атома с квантовым числом n ~ 1 успеет обернуться вокруг ядра порядка 10000 – 15000 раз. То есть облако облаком, а оно не застывшая данность квантово-механистических представлений, а тоже физический процесс. Связанный в атоме электрон даже в модели Бора все равно движется. Но что это говорит нам о сути подобных процессов? Если траектория γ-кванта до попадания в атом была обозначена числом +1, а в атоме он «топчется», то есть испытывает нестандартные пертурбации (0), то после времени жизни возбужденного состояния он вылетает из атома и возвращается в родную стихию – в море реликтового излучения (–1) . Процесс распространения электромагнитного излучения физикой достаточно изучен – это вне атома. Процесс движения электрона вокруг ядра, несмотря на запреты движения со стороны стражей-канонов квантовой механики, – тоже не так таинствен. А вот моменты «прилипания» γ-кванта к электронному монстру и его развода с приютившим его кусочком вещества – не слишком ясны (особенно в так называемой волновой области). Выскажем предположение: если жизнь γ-кванта среди своих собратьев можно описать с помощью школьной алгебры и статистических методов, а его внутренние пертурбации – некоммутирующими матрицами, то есть в том числе и на основе бинарного умножения октав, то означенные пикантные моменты из бытия радиации – с помощью ассоциаторов. Иначе говоря, с помощью выражений вида a = (xy)z – x(yz). Таким образом, мы подошли к рассмотрению и распределению ролей основных актеров гиперкомплексного исчисления: операций коммутативных, некоммутативных и неассоциативных. Об алгебре свободы и заточения. Хаос – это максимум свободы для его элементов, которые неразличимы. Пусть из хаоса Х выделены некоторые объекты. Акт выделения уже накладывает на эти объекты ограничения. Теперь скопление выделенных объектов будем различать по какому-либо признаку (по их цвету). Это второй шаг «лишения свободы». Пусть мы умеем различать красный, белый, синий, зеленый цвета. Когда мы раскладываем фишки в произвольном порядке на плоскости стола, объединяем их в какие-то неопределенные автономные кучки – это всё ещё свободная алгебра (фишек). Но вот ребенок решил, что фишки нужно объединять по цвету. Тогда он отделяет из общей кучи одноцветные объекты и собирает груды синих, белых, красных, зеленых фишек. Это всё ещё торжество свободы, хотя немножко ущемленной. Но вот дитя с вложенной программой, называемой врожденным любопытством, решает, что одноцветные груды могут состоять только из некоторого числа кружков, или шариков. Он оставляет право на существование одиноким объектам, строит из других подобие треугольников из трех шариков, четырехугольников из четырех шариков, некие груды. Он так решил, ибо умеет считать только так: 1, 3, 4, много. Юный математик ввел в груды разноцветных объектов аксиоматику – для расположения и объединения их на плоскости согласно цвету, количеству и геометрии. Затем вундеркинд думает, как эти груды между собой будут взаимоотноситься, или реагировать друг на друга. Так как он дитя природы, его породившей, то кто-то кого-то будет у него пожирать, а кто-то будет защищать другого от пожирания. Значит, сформированным грудам надо дать свободу передвижения по столу. По определенным правилам. Так вводятся некоторые правила – не все. Пусть с края стола синий одинокий шарик норовит пробраться к некоему кругу А в центре стола и поразить лежбище из зеленых груд. Круг А ждет прибытия красных каре (с кислородом и – пусть – с чем-то вкусненьким), а синие шарики пытаются в него поникнуть, изменить цвет и вернуть в первозданный Хаос = хаос Х. То есть синие шарики выполняют роль освободителей, или, как это принято называть у взрослых дядей, носителей демократии. Они освобождают салатное сообщество от жизни. Но что делают белые шарики? Они выстраиваются в оцепление вокруг лежанки зеленых груд и не пускают демократов-освободителей. Нужно ввести теперь правила пожирания белыми треугольниками синих шариков и степень прозрачности оцепления. И так далее, до установившегося процесса возникновения синих, нейтрализации их белыми, снабжения красными и разумного разрастания зеленых. Это – одна из простейших моделей алгебры, но уже, как говорят математики, приведенной. Заметим, что термин приведенная алгебра – это не от слова «приведение» (в полицейский участок для заточения), хотя элементы предметного множества (фишки или яблоки), правила их объединения, расстановки и операции над ними и ограничивают первозданную свободу, данную хаотическим кучам до их рождения из неструктурированного Х. Таким способом можно построить игрушечно-ознакомительную модель μ не только иммунной системы теплокровного животного Жμ, а и настоящие настольные развлекалки, а и в пространстве – что-то по типу кубика Рубика, а и серьезные математические модели спортивных, экономических и геополитических игр. А нас интересует актуальная модель вещественно-полевого существования объекта Ж – с его появлением из Х, с волнением в вещественной (белковой) оболочке О и возвратом в (структурированный) хаос Х. Как в математической биоритмологии с качественными физическими основаниями. О моделировании. Запишем модель в виде тройки: , где – множество, – аксиоматика с сигнатурой (набором знаков операций, отношений), – правила вывода. Знак множества математики опускают. Физики добавляют в символическую запись физической модели еще один значок I – система интерпретации. В итоге для модели физики получаем: . Что это значит? В математике неважно, что из себя представляет предметное множество , лишь бы изучить операции над его элементами и все выводы и резюме. Для математика это примерно следующее. Со дна илистого водоема поднимаются на его поверхность пузыри. Пузыри это или нет – неважно, главное – уловить количество элементов, их распределение, математическую плотность, связность. Физик же определяет, что пузыри – газовые, физическая плотность их меньше плотности жидкости, наполняющей водоем, вспоминает Архимеда. Далее он ощущает запахи, возникающие после того, как пузыри лопаются. Тем самым он интерпретирует результаты появления пузырей на поверхности водоема и их исчезновения. Строит физическую теорию газовых пузырей. При этом математик и физик не утруждают себя изучением истории возникновения и поднятия пузырей. Для математика это простительно, так как он изучает готовенькое, то есть данности, застывшие формы. Для физика-прагматика и физика-позитивиста это тоже простительно, так как они изучают, либо не утруждают себя изучением, только то, что «лежит» на поверхности водоема событий 20. В лучшем случае, напрягшись извилинами, они скажут, что где-то когда-то был «взрыв». Потом, сделав вид, что подумали, многозначительно добавят: «Большой Взрыв». Наше резюме. Для физика важно, что из себя представляет предметное множество . Для физика крайне важно и то, что на самом деле происходит, какое это имеет значение и как соотносится с природными явлениями – включается система интерпретации I. Настоящий физик, ничтоже сумняшеся, полезет в водоем, наберет в свои легкие воздуха, нырнет и возьмет с его дна пробы грунта, чтобы затем под микроскопом поймать момент зарождения пузырьков. Это – развитие ранее доминировавшей пузырьковой теории, конец теории «Большого Взрыва», а затем и возникновение теории иловых отложений. Правда, тут наш неленивый физик кончается и начинается сначала биофизик, а затем и биолог, да еще микро. Вы когда-нибудь видели микробанкира или микроматематика? А вот микробиологи бывают! О формализации. Прежде чем возвести абстрактные леса будущей теории, обратим внимание еще на одну сторону способа нашего существования. Как мы движемся, если оказываемся перед угрозой заминки в вечном процессе нашего метаболизма? Мы идем в гастроном (+1) за продуктами бытовой химии. В магазине мы топчемся в товарном зале (0) и выбираем пищу по виду, а не по вкусу и запаху. Затем мы, ничуть не сомневаясь в качестве товара, делаем вынужденную покупку и возвращаемся домой (–1). Итак, тремя числами мы обозначили три возможных состояния нашего движения: +1 – туда (в гастроном), 0 – нет движения (крупных перемещений), –1 – оттуда (обратно из магазина). Смотрим, что этой трилемме соответствует в теории чисел. Оказывается, в математике тоже есть тройка избранных чисел, а именно таких, что E2 = 1, Ω2 = 0, I 2 = –1 и сумма их квадратов связана равенством E2 + I 2 = Ω2. Эти числа называются двойственными, дуальными и комплексными, соответственно. А если организовать вереницу чисел последнего типа, то получим гиперкомплексные числа. Естественно, чтобы с чем-то эти числа сравнивать, нужно держать на столе еще одно число: единицу е = 1, знакомую нам еще с первого класса. Теперь, чтобы идти в ногу со временем, вспомним, что говорили Платон и Аристотель о противоположностях, противоборствах, противостоянии. Оказывается, антагонизмы находятся: 1) в «борьбе»; 2) в единстве. Это называется единством и «борьбой» противоположностей – диалектика! Воспользуемся сим наследием античной мысли и внимательно посмотрим на нашу триалектику чисел E, Ω, I. Если задаться целью от небесной избранности этой троицы опуститься на землю (а придется), то нужно воспользоваться свойствами каждого числа из этой святой троицы. Во-первых, так как есть доктрина диалектики, то объединим противоположности, +1 и –1, в нечто единое: EI. Но тут предъявляет право на жизнь триалектика, и мы производим означенное выше математической действие: (EI)2 = Ω2 = 0. А что такое квадрат абстрактного математического произведения двух противоположностей, да еще и равный нулю? Если было E2 = 1, I 2 = –1, то «единое» под знаком квадрата тоже должно разбиваться на противоположности? Следуя заветам античных диалектиков, мы логически последовательно разбиваем квадрат (а не просто произведение EI) на противоположности: (EI)2 = ()(EI), = ⊕, или (EI)2 = (⊕)(EI). Пусть операции ⊕ = и они перестановочны, а I = , тогда получим уравнение: (I)(EI) = 0. Как из движения «туда» и «оттуда» получить покой? Если наша житейская алгебра позволяет, то вынесем знаки I за скобки и получим: ()I = 0. Теперь оказывается, что операция – просто оснащения ядра противоположностей неким статусом гиперкомплексности. Не меняя буквы обозначений величин и Е, напишем: = 0. В математике есть две противоположности обычному, спокойному (0) значению переменчивого числа Х (вчера было 3 яблока, сегодня в портфеле 4 яблока, завтра 1, послезавтра будет 2…). Первая противоположность – это дифференцирование количества яблок, то есть сравнение его по дням (по времени). На практике это последовательность новых чисел: 4 – 3 = 1 (на второй день яблок прибыло на одно), 1 – 4 = –3 (на третий день яблок убыло на три) и так далее. Дифференцировать – значит, определять изменение количества яблок ото дня ко дню, во времени. Цепочка наших новых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Вторая противоположность – интегрирование. Интегрировать – это накапливать количество поедаемых яблок ото дня ко дню. В нашем случае в конце вчерашнего дня это число есть 3, сегодня оно равно 7, завтра будет уничтожено всего 8 яблок и так далее. Цепочка чисел поедаемых яблок возрастает. Но мы теряем в этом случае динамику числа яблок. Поскольку яблоки нам еще понадобятся, выберем первую альтернативу – дифференцирование. У царицы наук результат операции дифференцирования величины Х по времени t обозначается как , а сама операция как , или с помощью значка оператора над величиной: . Последнее означает, что над величиной Х выполняются некоторые математические операции, в том числе определение разницы ее значений по суткам. Итак, мы получили формулу = 0 и выбрали метод дифференцирования. Теперь сравним две формулы: Е2 = 1 и = 0, или Е2 = 1 и = 0. Что это нам напоминает? Первая формула напоминает нам выражение для окружности радиуса R = 1, если ядро оснащено только двумя единицами: i и е. Вспомним единичный круг на плоскости с радиус-вектором, вращение которого отображается с помощью формулы Эйлера . Если единиц будет три, то с помощью этой формулы определяется положение точки на поверхности шара в 3-мерном пространстве. Это уравнение сферы. Если единиц будет 8, как в алгебре октав, то шар внутри сферы будет 8-мерным, а размерность ограничивающей его сферы будет равна 7. Не надо только забывать, что 7 чисел, образующих алгебру октав, имеют свойство: ss = –1. Благодаря этому сфера в 8-мерном пространстве называется гиперсферой (по размерности, которая больше трех, и по названию гиперкомплексного пространства, в котором эта сфера построена). Вторая формула, полученная после дифференцирования по t левой и правой частей от знака равенства первой формулы, напоминает нам, что размер гиперсферы не меняется во времени. Это значит, что она устойчива, неизменна, статична, а компоненты ее аналитического представления вступают между собой в новые отношения. В итоге мы получаем, что из святой троицы чисел E, Ω, I диалектико-триалектический подход к их свойствам, дополненный элементарными знаниями из школьной арифметики яблок, позволяет наметить первые шаги в формализации физической теории. Забегая вперед, сообщим, что в основу формализации описания физических объектов и явлений положен метод А.И.Мальцева. Оказывается, математика в части алгебраических теорий предлагает четкий план, или алгоритм, пригодный для построения системы уравне-
ний физики. Еще раньше В.Гейзенберг рассматривал 4-мерные алгебры, названные его именем, на что обратил внимание физик-теоретик С.С.Санников-Проскуряков. Но всё это выяснилось после вывода системы уравнений физики, то есть тогда, когда в дифференциальном виде теория уже была построена. Благодаря формульной интуиции обнаружилась некая связь между соотношениями Даламбера – Эйлера, уравнениями Лапласа, канонической формой уравнений классической механики Гамильтона и уравнениями электродинамики Максвелла, что и было претворено в модель физической теории над гиперкомплексным пространством – по алгоритму 21.
Об аналогах математических операций. Чем отличается дизъюнкция от конъюнкции, а инъекция от сюръекции и проекции? Булева алгебра сплошных, без выбоин и прокусов площадок на плоскости поясняет первые два понятия. Одно множество точек собрано в синем круге, другое – в красном. В математике для множеств А и В, их не соединяя, можно написать формулу объединения. Если множества не соединять, то их пересечение будет пусто. Если у геометра точки на части плоскости бесконечно малы, близкие точки неотличимы друг от друга и цвет не имеет значения, то у химика два разноцветных реактива, не вступающих в реакцию, перемешиваются так, что глаз воспринимает нечто среднее от былых цветов двух растворов – лиловый окрас (рис. Д). Так из красного и синего растворов получается лиловый раствор. Но химик знает, что в микроскоп он увидит в очень малой капле μ микрочастицы синего и красного цвета. Ровно то же самое, казалось бы, можно сказать об окрасе раствора на пересечении (рис. К). Однако у химика такое с растворами невозможно, а физик, поместив колбы одна за другой, увидит, что визуальное пересечение колб (с реактивами желтого и голубого цвета) стало зеленым. Это при том, что растворы в них были и остаются желтым и голубым – без смешения. Значит, малая капля μ с разными по окрасу частичками – обман логики, но не зрения с его конституционно малой разрешающей способностью. Замечание 1. Если эти демонстрационные множества касаются в счетном множестве «точек», то смешения не происходит, иначе скорость потока точек разного цвета была бы бесконечной – с необходимостью устанавливать череду их движения. Если же множества имеют непрерывную общую границу, то обмен возможен и с конечной скоростью. Замечание 2. При перемешивании красок и цветов в случаях на рис. Д и К и пересечение (конъюнкция), и объединение (дизъюнкция) двух множеств (с общей границей, как минимум) содержат в каждой μ-области разрешимости глаза элементы из их предкового множества. Математика от качеств множеств и их элементов отвлекается. Замечание 3. Если равномерно смешать все цвета радуги, то получим белый цвет. Это ощущение – от воздействия символического среднеарифметического от суммы всех частот радуги. Если равномерно смешать все краски, соответствующие цветам радуги, то получим черный цвет. Это ощущение возникает оттого, что деления частот красок не предусмотрено. Уникальный случай: желтые и голубые краски и цвета дают при смешении зеленые краску и цвет. Это некая избранность зеленого цвета. Множества бывают непрерывными (или континуальными), как цельные круги на плоскости, и прерывными (или дискретными), как яблоки в портфеле. В непрерывном множестве его элементы (близкие точки) друг от друга не отделяются, в дискретном множестве между яблоками есть воздух и можно просунуть руку. Пример 1 пересечения дискретных множеств. Имеется множество П людей, у которых плоскостопие, и имеется множество Л лысых людей. Пересечение П ∩ Л – это множество лысых плоскостопых. Оно, вполне вероятно, пустое, так как может оказаться, что одновременно лысых и плоскостопых нет. Пример 2. Составлен Б-список от «а» до «я» фамилий брюнетов. Составлен подобный список Г людей, у которых нос с горбинкой. Пересечение – это множество горбоносых брюнетов, у которых фамилия начинается с буквы К. То есть пересекаются уже три множества. Пересечение может оказаться пустым по причине отсутствия субъектов с фамилией на букву К в одном или в двух предковых множествах, определяемых по внешнему виду субъектов, по причине присутствия, например, только курносых брюнетов на букву К. Пересечение нетривиальное, если Карасёв, Карпов и Килькин – горбоносые брюнеты. Они не могут числиться среди лысых, так как с волосами, а быть плоскостопыми – пожалуйста!
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Поиск на сайте Главная страница Литература Доклады Рефераты Курсовая работа Лекции |